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「集合・位相入門」輪読会
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例２. 自然数bが自然数aで割り切れることをa|bと書くことにすると,
|はNにおける順序である.実際,|は,
a∈Nに対してa=a･1だからa|aであり反射的,
(a,b)∈N×Nに対してa|bかつb|aならば∃p∈N;b=paかつ∃q∈N;a=qb
だからb=pqbとなりp=q=1.すなわちa=bであり反対称的,
(a,b,c)∈N×N×Nに対してa|bかつb|cならば∃p∈N;b=paかつ
∃q∈N;c=qbだからc=qpaかつqp∈Nなのでa|cであり推移的である.
例３. 任意の集合系Ｍにおける包含関係⊂は順序である.実際,⊂は,
A∈Ｍに対してA=AだからA⊂Aであり反射的,
(A,B)∈Ｍ×Ｍに対してA⊂BかつB⊂Aであるならば集合の相等の定義
よりA=Bであり反対称的,
(A,B,C)∈Ｍ×Ｍ×Ｍに対してA⊂BかつB⊂Cであるとすると,
任意のAの元xはA⊂BによりBの元であり,任意のBの元はB⊂Cにより
Cの元であるのでx∈C,即ちA⊂Cであり推移的.
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