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「集合・位相入門」輪読会
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順序集合(A,≦)の台の元や部分集合を,そのまま順序集合の元,部分集合と呼びまます.
Mが順序集合(A,≦)の部分集合であるとします.Mに順序≦_Mを
(a,b)∈M×Mに対し
a≦_Mb⇔a≦b
で定義します.
このとき順序集合(M,≦_M)は順序集合(A,≦)の部分順序集合であるといいます.
≦_Mは≦をMに制限したものだから通常単に≦で表します.このように順序集合の
部分集合には自然に順序が入り,その部分集合自身も順序集合であると考えること
が多いのです.
順序集合(A,≦)が全順序集合であるとするとその部分順序集合も全順序集合と
なりますが,(A,≦)が全順序集合でない順序集合であるときでもその適当な
部分順序集合が全順序集合となることはあり得ます.たとえば
a∈Aなら{a}はいつでも全順序部分集合です.
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