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「集合・位相入門」輪読会
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≦が集合Aの順序関係であるとき次の(1.4),(1.5)が成り立ちます.
(1.4) a<b⇒¬(b<a).
(1.5) a<b∧b<c⇒a<c.
証明:(1.4) ¬(a<b⇒¬(b<a))⇔¬(¬(a<b)∨¬(b<a))⇔a<b∧b<a
⇔a≦b∧a≠b∧b≦a∧b≠a⇔a=b∧a≠bは偽である.■
(1.5) a<b∧b<cとするとa≦b∧b≦cだからa≦c,ここでa=cであるとすると
(1.1)よりc≦c,c=aよりc≦a.よってa≦bと合わせてc≦b,b≦cなので
(1.2)よりb=cこれは矛盾.■
∀(a,b)∈A×A,a≦b∨b≦a
であるときaとbは比較可能であるといいます.Aのどの2元も必ず順序≦で
比較可能であるとき≦は全順序とか線形順序とかいいます.
N(Z,Q,R)における≦は全順序です.
Nにおける|は2と3が比較可能でないので全順序じゃありません.
{Φ,{1},{2},{1,2}}における⊂は{1}と{2}が比較可能でないので全順序
じゃありません.
全順序じゃない順序を半順序ということがあります.古い言い方だけど.
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