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「集合・位相入門」輪読会
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第３章 順序集合, Ｚｏｒｎの補題
§１ 順序集合
Ａ） 順序関係
集合Aにおける関係Oが次の(1),(2),(3)をみたすとき,OをAにおける順序関係
または単に順序(order)といいます.
(1.1) ∀a∈A, aOa.
(1.2) ∀(a,b)∈A×A, aOb∧bOa⇒a=b.
(1.3) ∀(a,b,c)∈A×A×A, aOb∧bOc⇒aOc.
(1.1),(1.2),(1.3)をそれぞれ反射律,反対称律,推移律といいます.
Oは反射的かつ反対称的かつ推移的ともいいます.
(1.1),(1.2),(1.3)を全部合わせたものを順序の公理といいます.
例１. N,Z,Q,Rにおける大小関係≦は順序である.実際,≦は,
a∈N(resp.Z,Q,and R)に対してa=aだからa≦aであり反射的,
(a,b)∈N×N(resp.Z×Z,Q×Q,and R×R)に対してa≦bかつb≦aならば
(a<bまたはa=b)かつ(b<aまたはb=a)だから(a<bかつb<a)またはa=b,
即ちa=bであり反対称的,
(a,b,c)∈N×N×N(resp.Z×Z×Z,Q×Q×Q,and R×R×R)に対して
a≦bかつb≦cならば(a<bまたはa=b)かつ(b<cまたはb=c)だから
a<cまたはa=cまたはa<cまたはa=c即ちa≦cであり推移的である.
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