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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>948
えーっと。我々は問題を解いているのではなく、テクストを解読してるわけでありまして、
テクストの中に「問題」は演習のページを除いて一切ありません。補題はlemmaの訳で
補助命題とでも言うべきものです。補題や命題や定理の主張内容のことは、
ステートメントと言います。
＞とりあえず表現を「問題文より」に統一
したりしないで下さい。「仮定より」とかくより「かくかくしかじかという仮定より」と
書いてほしいだけです。
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>>949
＞＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ
＞も書くべきだと思う人がいるかもしれません。
？。書いてあると思うけど。？？
＞加減がわからないです・・。
ご自分でテクストを読まれたとき、著者の主張にたいしてご自分で主張の成り立つ理由を、補足
されながら進むような箇所については、その主張の成り立つ理由も書く、という基準は
いかがでしょう。とりあえず、次スレのテンプレには
･テクストを持ってない人が読んでもわかるレスを心がけましょう。
･大学受験生にとってセルフコンテインドになるくらいのスレッドになるよう心がけましょう。
･過去ログ、過去レスを参照して読むことが多くなるでしょう。レスアンカーを忘れずに。
くらいは書いとこうと思ってます。まあ、自分の思うとおりに書いて、質問がきたり
もう少し詳しく書いてっていう要請が来たりすれば、より詳しく書けばいいと思いますよ。
で、あまりに質問が来るようだと、全体にもう少し詳しく書く方針にすればいいし、
逆に、そんなに詳しく書かんでも。。ってレスが沢山くるようであれば、全体にもう少し
省略して書く方針にすればいいと思いますよ。
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>>949(つづき)
＞段落わけ
すんませんでした。
＞xとyを両方とも含むW_λ'を考えるということです。このようなλ'の存在は(1)で示してます。
？。たしかにこのようなλ'の存在は(1)で保証されてるけど。。
x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すつもりなのでしょう？
x⊂W_λとy∈Wとx>yを仮定すると,y∈Wだから∃λ'∈Λ(y∈W_λ')がいえて,
整列集合の比較定理によって場合わけされたケースのうち,
W_λ=W_λ'のケースはx>yなんぞを仮定してもしなくてもy∈W_λが言え,
W_λ'がW_λの切片のケースはW_λ'⊂W_λなんだから,
これもx>yなんぞを仮定してもしなくてもy∈W_λがいえる
って言うわけでしょう？
xがW_λ'の元と限定するなら
x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λ
ではなくて
x∈W_λ∩W_λ'∧y∈W_λ'∧x>y⇒y∈W_λ
をいうことになりませんか？
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>>949(その3)
＞ちょっと意図をはかりかねます。先生自身もその後で
＞＞(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときはλ'=λだから
これは僕の書き間違いです。
(W_λ,≦_λ)=(W_λ',≦_λ')のときはW_λ'=W_λだから
と書くつもりでした。すんませぬ。
＞問題文によれば
たしかに問題文に(じゃなくて補題の仮定に、だけど)、
λ≠λ'⇒W_λ≠W_λ'
つまり集合族が単射って仮定がかかれてありますね。すんませんでした。
書いてほしかったけどね。
でもこの補題自体は、集合族が単射でなくたってなりたつんじゃない？
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>>950
＞>>942修正その1
＞「前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは常に真だから命題は成立。」
あの。。
W_λ'=W_λのときはy∈W_λ'⇒y∈W_λは恒等式です。
W_λ'がW_λの切片のときは、W_λ'⊂W_λ(が真)だからy∈W_λ'⇒y∈W_λ(も真)です。
前者においては前件(後件と同じ文)が真であっても偽であっても「常に」y∈W_λ'⇒y∈W_λは真ですが,
後者において「常に」真ってどういうことですか？
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>>950(つづき)
＞＞「より」は「を仮定するなら」の意味ですね
＞そうです。
「pがなりたつときqである」を示す際、pより云々で、云々だからカンヌンで、カンヌンだからq
って書き方をすると、まるでpは仮定ではなく、既にいえてしまった事実のような印象を
与えてしまいませんか？
こういうとき「より」を使いたいなら、先ず最初に「(以下では)pを仮定する」とでも
書いておけば、文の不自然さはまぬかれると思いますが。
＞「(W_λ,≦_λ)が(W_λ',≦_λ')の切片であるから、W_λ=W_λ'<a>とおく。
＞x∈W_λだからx<aで、W_λ<x>=(W_λ'<a>)<x>=W_λ'<x>。
＞よってy∈W_λ'<x>ならばy∈W_λ<x>⊂W_λ∴y∈W_λ。」
おｋです。>>912使いましたね。
なんだかきつい物言いになってしまって、気を悪くなさらないで下さい。
反論遠慮なくどぞ。
これからもよろしく。。
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>>951
あ・・・とんでもない勘違いでした。「問題」じゃないですよね。直します。
「仮定より〜」と直後に書くのでなく「〜というのが仮定だから」と直前に書けってことですか？
直前でも直後でもそそれほど変わらないと思いますが、そんなにわかりにくいですか？
>>952
＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λとなる理由を・・・
というのが趣旨でした。
＞セルフコンテインド
って何でしょう？
＞自分の思うとおりに書いて・・・
そうすることにします。考えてみればそのための輪読会ですからね
>>953
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すつもりなのでしょう？
そのとおりです。
＞W_λ=W_λ'のケースは・・・って言うわけでしょう？
相違ありません。
＞xがW_λ'の元と限定するなら・・・をいうことになりませんか？
これもそのとおりなんですが・・・
xとyとλは与えられたもので、任意固定です。目標は上に書いたとおり
x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すことです。ところがこのままでは、
yとx∈W_λとを関連付けて議論の出来る存在がなくて困っています。そこで、
xとyの両方を元として含むW_λ'⊂W=∪W_λ(このλは変数)を設定できるので、
そこで議論しているわけです。λ'はxとyを関連付けるために取っているのです。
結局x∈W_λ∩W_λ'∧y∈W_λ'∧x>y⇒y∈W_λを示せばよいことになります。
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>>954
書き間違い了解。
問題文→補題の仮定に訂正了解。
＞でもこの補題自体は、集合族が単射でなくたってなりたつんじゃない？
問題文・・・じゃなかった、、補題1の仮定で
「二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。」
を取り去っても補題1の五つの主張の成立が示せるってことですか？
A=N、Λ={1,2}、W_λ1={1,2,3}、W_λ2={6,7}としたときW=∪W_λ={1,2,3,6,7}で、
2と6をともに含むW_λは存在しません。よって補題1の(1)は成立しません。
すると関係≦が定義できなくなり補題1の主張は崩壊すると思うのですが。
>>955,956前半
実は同じ現象で先生に困惑を与えているみたいです。いままで、
「命題p⇒qを示す」と書いたとき、俺はpが「既に仮定されたもの」という認識でいました。
「前2つの場合にはy∈W_λ'⇒y∈W_λは常に真だから命題は成立。」というのは、
【「前2つの場合」を前提とすると、つまり「前2つの場合」の条件のもとでは、
y∈W_λ'⇒y∈W_λという命題が常に正しい】
ということが言いたかったのです。
つまり前件も後件もその命題が真であることを前提として述べたものでした。
確かにこのやりかたは独り善がりでわかりづらいところがあると思いました。
先生の仰るとおり、不自然さを解消する努力をしていきたいと思います。
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>>956後半
はい。>>912を使いました。また引用付け忘れてました。
＞なんだかきつい物言いになってしまって、気を悪くなさらないで下さい。
理解しにくい文章を書いたのなら仕方ありません。自分では当たり前に思っていることでも
他のひとにはそうは感じられないということが痛いほどわかりました。人にわかりやすく伝え
るのは本当に難しいです。
数学におけるそういう技能を少しでも磨けていけたら素晴らしいなぁと思います。
そのための輪読会ですもんね。盛り上げていきたいです
＞これからもよろしく。。
こちらこそです。拙い文章読んでいただきありが㌧です。
さらなる文句歓迎！
・・・ですが一応次項のことも・・・どなたが担当されますか？
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久しぶりっす。
次Zornの補台？そろそろ復帰しまつ
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>>960
おひさしぶりっす！
えっと、俺は本スレの閑居人で、今度は輪読会に参加させてもらってます。
再びよろしく〜
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昔の話で悪いが一応レスしとく。（スルーして構わんので）
>>884
＞supMが存在するなら一意であるってのはなんで？
sup＝最小上界だからminの一意性よりsupも一意
＞(a),(b),(c)それぞれ例を挙げてください。理由も書いてください。
A＝Rとする
(a) M＝{0}, maxM＝supM＝0
自明
(b) M＝(0,1), maxMなし, supM＝1
Mの上界として1がある。
1未満の数cはMの上界にはならない。
仮にcがMの上界であったとすると、Rの稠密性よりc<c'<1なる数c'が存在して上界の定義に矛盾する。
よってsupM＝Mの最小上界＝1。
またmaxMは存在しない。これもRの稠密性による。証明は同様なので略
(c) M＝R, maxMなし, supMなし
周知の事実
>>885
＞"逆の場合"と"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"の例を挙げてください。
"逆の場合"
M＝(-∞, √2)∩Q, A_1＝M∪{3}, A＝Q
このときsup_{A_1}M＝3だがsup_{A}Mは存在しない。
"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"
M＝(-∞, √2)∩Q, A_1＝M∪{3}, A＝M∪{2.5, 3}
このときsup_{A_1}M＝3≠2.5＝sup_{A}M。
ちなみに上の2つの場合において、勿論sup_{R}M＝√2である。
＞相対概念の件
納得しますた。
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>>961
よろしく。漏れ説明が雑なとこ多いけど大目に見てください。
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>>957
＞「仮定より〜」と直後に書くのでなく「〜というのが仮定だから」と直前に書けってことですか？
＞直前でも直後でもそそれほど変わらないと思いますが、そんなにわかりにくいですか？
「仮定より○×」は仮定(のうちのいくつか)より○×が導かれるの意、
「●△なる仮定より」は●△仮定(のうちのどれか)そのものの意、
意味が違います。直前、直後という言葉をおく順序がわかりにくさに影響しているわけでは
ありません。
＞＞(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λとなる理由を・・・
えと、この理由を書いて欲しいのは、理由なしだと、あなた自身がわかりにくいからですか？
「∀λ'∈Λ-{λ},W_λ'⊂W_λだから(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')⊂W_λで,
(★)一般にA,B,Cを集合としてA⊂BがなりたつならA∪C⊂B∪Cがなりたつ
からです.
(★)の証明.
は,x∈A∪Cならばx∈A∨x∈C,x∈AならA⊂Bよりx∈B,B⊂B∪C(>>50の(2.2))より
x∈B∪C,x∈CならC⊂C∪BでC∪B=B∪C((>>52の(2.5))よりx∈B∪C.いずれにせよ
x∈A∪Cならx∈B∪C.■」
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>>957(続き)
ある本がセルフコンテインドとは、その本の内容を読むだけで、他の本を参照したりせずとも
了解可能であるということです。もちろん中学生にとってのセルフコンテインドと
大学1年生にとってのセルフコンテインドは違います。
＞xとyとλは与えられたもので、任意固定です。目標は上に書いたとおり
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>y⇒y∈W_λを示すことです。ところがこのままでは、
＞yとx∈W_λとを関連付けて議論の出来る存在がなくて困っています。そこで、
＞xとyの両方を元として含むW_λ'⊂W=∪W_λ(このλは変数)を設定できるので、
＞そこで議論しているわけです。λ'はxとyを関連付けるために取っているのです。
＞結局x∈W_λ∩W_λ'∧y∈W_λ'∧x>y⇒y∈W_λを示せばよいことになります。
了解しました。やっと。
x∈W_λ∧y∈W∧x>yならば(x,y)∈W^2だから(1)により∃λ'∈Λ((x,y)∈(W_λ')^2)で,
さらにx>yならばy∈W_λ'<x>,>>950最下段よりy∈W_λってわけですね。
どうも、分かりが悪くて。。失礼。
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>>958
＞問題文・・・じゃなかった、、補題1の仮定で
＞「二元λ,λ'に対して(W_λ,≦_λ),(W_λ',≦_λ')のいずれか一方は他方の切片になっている。」
＞を取り去っても補題1の五つの主張の成立が示せるってことですか？
そうではなく、集合族(W_λ|λ∈Λ)は単射でなくたっていいんじゃないかっていっただけです。
たとえば、A=N,Λ={1,2,3},W_1=W_2={1,2},W_3={1,2,3}順序はすべて通常の大小ってしたって,
補題1の(1)から(5)はすべておｋですよね。
ってこってす。そのときはW_λ=W_λ'とλ=λ'は同値じゃないですよね。
＞「命題p⇒qを示す」と書いたとき、俺はpが「既に仮定されたもの」という認識でいました。
えと、p⇒qを示すにはpが真であることを前提として、そのときqが真であることを示せばよい
と思って居たのですか？
えー、「√2が有理数ならば2√2も有理数である」は真ですよね。これは前提が偽だから
命題自体は真で、当たり前かもしれませんが(cf.講義と演習「代数系入門｣
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/153-157)
「e^πが有理数ならばe^π/3も有理数である」だって真です。(えーと、e^πがQの元か否かって未解決じゃ
なかったかな).
前提pの真偽に関わらず、命題「p⇒q」が真になるような推論はあり得ます。
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>>959
えー、次のＢ）Ｃ）Ｄ）はこのスレッドの山場中の山場ですねー。
担当した人は、確実にいろんな観点で有意義でありましょう。
これは、私のような(たとえ二十年前の、であろうと)既習者は遠慮すべきだと思われます。
マジメな話。われと思わん方は是非担当を立候補してください。
>>960
ｵﾋｻｼﾌﾞﾘ!!
というわけで、もしこのあたりの話、未修であるなら、
ＢかＣかＤのいずれかを担当してみませんか？
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>>961
＞sup＝最小上界だからminの一意性よりsupも一意
了解。
＞(a)、自明。
まあそうですけど、「順序関係の公理のひとつ、反射律よりわかる」くらいは書いてほしかった。
＞(b)、
おｋ.1以上のAの元はみなMの上界、ってのをつかったわけね。
＞(c)、周知の事実
∃x∈A∀y∈M(y≦x)であるとするとx+1≦x,Rが和+について群であることから1≦0
これは≦が通常の大小順序であることに反する。
…なんかこんなんでいーんかなーって説明だなー。
A=Q, M=[0, 1)でよかったんじゃない？
＞"逆の場合"
おｋ
＞"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"
おｋ
今後とも宜しく。
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>>964
＞意味が違います。
そうだったんですか。同じだと受け取っていました。
これからは「〜という仮定より○○だから」という表現を使うか、もしくはいきなり
「○○だから」と書くことにします。
＞理由なしだと、あなた自身がわかりにくいからですか？
「(∪[λ'∈Λ-{λ}]W_λ')∪W_λ⊂W_λ∪W_λ」となる理由を言う必要がないのなら、
「W_λが他のW_λ'を全て含むならば、W_λ=W」となる理由を言う必要もないと
感じた、ということです。ここら辺は人によって感じ方のずれがあるので、>>957でも
言った通り、まずは自分の思うように書いて人から指摘されたらその都度深くつっこんで
みることにします。
★の証明は納得です。
>>965
＞セルフコンテインド
なるほど。そういう言葉があったんですね
＞x∈W_λ∧y∈W∧x>yならば(x,y)∈W^2だから(1)により∃λ'∈Λ((x,y)∈(W_λ')^2)
もっとこうやってびしっと書くべきでした。
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>>966
＞集合族(W_λ|λ∈Λ)は単射でなくたっていいんじゃないかっていっただけです
＞そのときはW_λ=W_λ'とλ=λ'は同値じゃないですよね。
そういうことでしたか。了解
＞p⇒qを示すにはpが真であることを前提として、そのときqが真であることを示せばよい
＞と思って居たのですか？
基本的にそうです。
(p⇒q)⇔¬p∨qは知っていましたが、¬pの場合は考える意味があまりないことも多いです。
たとえば集合AがBの部分集合であることを証明するためにはx∈A⇒x∈Bを示しますが、
「じゃあxがAの元でないときはどうするんだ」と言われても、それを考えることには、
A⊂Bの証明を目標とする立場からは意味はないと思います。
だからx∈Aの場合だけ考え、これは結局x∈Aを前提するのと同じことだと思います。
俺はこういう思考を無意識の内に行っているので、>>942(5)でもその癖が出たみたいです。
しかし、
＞「e^πが有理数ならばe^π/3も有理数である」だって真です
こういう場合には¬pを考えることにも意味が出てくるので思考の仕方が変わります。
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えー。臺地くん。とりあえず、B）担当してみますか？
あなたがBを書いてる間に、C）D）の立候補者をまつということで。
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では漏れはＣをやることにしよう
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>>971
別に俺は構わないんですが、3連発はちょっとまずくないですか？
一応準備しておきます。
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第3章 順序集合,Zornの補題
§3 Zornの補題,整列定理
p108 B)Zornの補題
選出公理を用いていよいよツォルンの補題を証明します。
わくわくしながらその主張を見てみると・・
【定理5(Zornの補題)】
帰納的な順序集合は少なくとも一つ極大元を持つ。
ホントにこれが選出公理と同等なのかと驚きますが・・・とりあえず帰納的って何？
【定義】-帰納的
順序集合Aは、その任意の空でない全順序部分集合がAの中に上限を有するとき、
帰納的(inductive)であると言う。
これで定理の主張を理解できるはずなんですが、あまりイメージがわきませんでした。
ので具体例を・・
たとえばAを実数の開区間(0,1)、順序は普通の大小関係とするとこれは帰納的ですね。
極大元は1でたしかに存在します。
また、A={{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,2,3},{1,2,4}}、順序は包含関係とすると、その全順序部分集合を
考えたとき、かならずAの中に上限を持ちます。よってAは帰納的です。
極大元は{1,2,3},{1,2,4}の二つが存在します。
【注意】
上に述べた帰納的順序集合の定義は通常とは異なっています。定理6の後の注意にも記し
ます。本書で上の定義を採用したのは、次の定理の証明で、今までに述べてきた整列集合
に関する命題を利用したいからです。実はZornの補題の証明を整列集合に関する命題と無
関係に与えることも可能らしいのですが、本書で与える証明のほうが思考内容の点でいくぶ
ん直接的また直観的だろうとのことです。
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定理5の証明に入ります。この定理は次の二つの補題2,3から導かれます。これらの補題
のうち、補題2で整列集合に関する命題(たとえば前に述べたとおり補題1>>943)が用いられ
ます。また補題3では選出公理が利用されます。この二つの補題が示せれば、
対偶を取って定理5が示せるのがわかります。
【補題2】
(A,≦)を帰納的な順序集合とする。φ：A→Aは∀x∈A；φ(x)≧xを満たす。
このとき、∃a∈A；φ(a)=a
【補題3】
Aを極大元を持たない順序集合とすれば、∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)
イメージとしてはxy座標平面でグラフを考えてもらえればよいでしょう。
証明が厄介なのは補題2です。はじめから意味不明な設定が出現します。とりあえず指針。
Aの一つの元x_0を任意固定する。W∈2^Aで、次の(i)〜(iv)を満たすものを考える。
(i)Wは整列集合
(ii)Wの最小値はx_0
(iii)x∈Wが直前の元x_*をもつならx=φ(x_*)
(iv)x(≠x_0)∈Wが直前の元を持たなければsup_AW<x>=x
以上の四条件を満たすAの部分集合の全体をΨ(ホントはドイツ文字W)とすると
Ψが>>943の系の仮定を満たすことを示す(超限帰納法登場！)。
∪Ψ=W_0∈Ψ(⇔W_0が上の四条件を満たす)を示す。
W_0はWにおける最大元。Aが帰納的だからa=supW_0が存在。W_0∪{a}∈Wを示して､
W_0の最大性よりa∈W_0∴a=maxW_0。同様にしてW_0∪{φ(a)}∈Wを示して、
最大性よりW_0∋φ(a)≧a=maxW_0∴φ(a)=a
補題3は選出公理を使うもののそれほど難儀ではありません。方針略。
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>>975【補題2の証明】くどいですが仮定はもう一回書きます
Aの一つの元x_0を任意に固定しておき、Aの部分集合Wで次の四条件を満たすものを
考える：
(i)WはAの部分順序集合として、整列集合である
(ii)minW=x_0
(iii)x∈WがWの中に直前の元x_*をもつならば、x=φ(x_*)
(iv)x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たなければ、W<x>={y∈W｜y<x}の
Aにおける上限がxと一致する。つまりx=sup(_A)W<x>
(i)〜(iv)を満たすAの部分集合の全体をΨ(本当はドイツ文字Wなんですが・・・)とおく。
Ψは空ではない。なぜなら、たとえば{x_0}は(i)〜(iv)を全て((iii)(iv)は仮定が偽だからという
意味で、"trivial"に)満たすからである。
次に、Ψの二元W,W'に対して、W=W'またはいずれか一方がその切片となることを示す。
W,W'は整列集合なので、定理4(比較定理)>>929により
(1)WはW'のある切片W'<b'>と順序同型
(2)W'はWのある切片W<b>と順序同型
(3)WはW'と順序同型
のどれか一つだけが必ず成立。(1)を示せば、(2)と(3)も同様だから(1)の場合のみ示す。
WからW'<b'>への順序同型写像が存在するから、それをfとする。このとき、f(x)=x、つまり
W=W'<b'>となることを超限帰納法によって示す。
(I)x=minW=x_0のとき
x_0はW'、したがってW'<b'>の最小元でもある。fが順序同型写像であることから、
f(x_0)=minW'<b'>。∴f(x_0)=x_0だから成立。
(II)x>x_0のとき
∀y∈W<x>；f(y)=yを仮定する。
xがWの中に直前の元を持つか、持たないかの一方のみが必ず成立。
xが直前の元x_*を持つ場合、fが順序同型写像である(f(m)≧f(n)⇔m≧n)ことから、
f(x_*)はW'<b'>の中で、従ってまたW'の中で、f(x)の直前の元となる。ここで仮定により
f(x_*)=x_*であるから、条件(iii)によりf(x)=φ(f(x_*))=φ(x_*)=xである。
xが直前の元を持たない場合、fが順序同型写像であることから、f(x)もW'<b'>の中に、
従ってまたW'の中に直前の下を持たない。
ここで、f(W<x>)=(W'<b'>)<f(x)>(>>917より)=W'<f(x)>(>>912より)なので
∀y∈W<x>；f(y)=yよりf(W<x>)=W<x>∴W<x>=W'<f(x)>
よって条件(iv)によりf(x)=sup(_A)W'<f(x)>=sup(_A)W<x>=x。
以上によりΨに属する任意の2つの集合は一致するか、一方が他方の切片となることが
示された。次に続く。
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したがって、∪Ψ=W_0とおけば、補題1の系>>943によりW_0も整列集合となる。しかも、
同じ系によりΨの任意の元はW_0と一致するかまたはその切片となる。このことを用いて
W_0も条件(i)〜(iv)を満たすことを示す。
(i)：W_0が整列集合であることはすでに述べた。
(ii)：ΨがAの整列部分集合族(W_λ)_λ∈Λであるとする。
∀λ∈Λ；minW_λ=x_0であるから、min(∪_[λ∈Λ]W_λ)=x_0∴minW_0=x_0
(iii)：xがW_0の中に直前の元x_*をもつとする。∃λ∈Λ；(x,x_*)∈W_λ^2(>>940の(1))
なので、このW_λのなかでx=φ(x_*)となることからWの中でもx=φ(x_*)。
(iv)：x(≠x_0)∈W_0が直前の元を持たないとする。
x∈W_λなるλに対して、x=sup(_A)W_λ<x>。
W_λはW_0と一致するかまたはその切片ゆえ、W_λ<x>=W_0<x>∴x=sup(_A)W_0<x>。
以上よりW_0∈Ψであることがわかった。W_0は包含関係⊂の意味でΨの最大元である。
ここで、Aが帰納的であり、W_0はその全順序部分集合であるから、
上限sup(_A)W_0=aが存在する。
a∈W_0を示す。まず、W_0∪{a}もまた条件(i)〜(iv)を満たす。実際、∀x∈W_0；x≦aだから
W_0∪{a}の任意の空でない部分集合は最小元を持つ。よってW_0∪{a}は整列集合で、
(W_0∪{a})<a>=W_0であることからΨの任意の元はW_0∪{a}と一致するかまたはその切片。
よって上と同様にしてW_0∪{a}∈Ψ。
¬(a∈W_0)とするとW_0はΨの元W_0∪{a}の真部分集合となるが、これはW_0がΨの最大元
であることに反する。∴a∈W_0。∴a=maxW_0。
このaに対してφ(a)=aとなることを示す。まず、W_0∪{φ(a)}∈Ψとなることが上のW_0∪{a}の
ときと同様にしてわかる。ここでもしφ(a)≠aと仮定すると、φ(a)>aでなければならない。
するとW_0はΨの元W_0∪{φ(a)}の真部分集合となるが、
これはW_0がΨの最大元であることに反する。∴φ(a)=a。
以上より補題2が完全に証明された。□
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>>975【補題3の証明】
Aの全ての空でない部分集合全体からなる集合系をΜ(本当はドイツ文字Mなんですが・・・)
とする。選出公理により、∃Φ∈A^Μ(∀M∈Μ；Φ(M)∈M)。
今、Aは極大元を持たないと仮定する。
各x∈Aに対しM_x={y∈A｜y>x}とおくと、∀x∈A；M_x≠φ⇔∀x∈A；M_x∈Μ。
よってΦ(M_x)∈M_xを満たすΜからAへの写像Φが存在する。
そこでAの任意の元xに対してφ∈A^Aをφ(x)=Φ(M_x)で定義すれば、
φ(x)∈M_x⇔φ(x)>xが任意のx∈Aに対して成立することになる。
よって示された。□
>>974【定理5の証明】
対偶：「順序集合(A,≦)が極大元を持たなければ、Aは帰納的でない」 を示せばよい。
Aが極大元を持たないとすると、補題3により∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)・・・①
ここでもしAが帰納的であると仮定すると、補題2により、
∀φ∈A^A{(∀x∈A；φ(x)≧x)⇒∃x∈A；φ(x)=x)}
⇔∀φ∈A^A{(∃x∈A；φ(x)<x)∨∃x∈A；φ(x)=x)}(∵p⇒q⇔¬p∨q)
⇔∀φ∈A^A(∃x∈A；φ(x)≦x)・・・②
①②は矛盾するので、Aは帰納的でない。よって示された□
-
てなわけで結局俺が三項連続で担当してしまいました・・・
同一人物の文章が続くのはきついかもしれませんが、突っ込みよろしくお願いします。。
Cが裏動画氏、Dがラメン氏でOK？
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もうついていけねぇよヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!
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>>974
(0, 1)は(0, 1)自身という空でない全順序部分集合が(0, 1)内に上限をもたないので,
帰納的じゃないですね.1だって極大元じゃないし(cf>>868, 極大元の定義).
そこをのぞけばおk。イメージがわかないとき具体例を考えるってのはよいですね。
受験生は、なかなかそういう作業をしてくれない。
>>975
＞W_0∪{a}∈Wを示して､
W_0∪{a}∈Ψを示して､
＞W_0∪{φ(a)}∈Wを示して、
W_0∪{φ(a)}∈Ψを示して、
ですか。
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>>976
仮定をなんどもかいてもらえるのは、嬉しいことです。いちいち読み返さなくて済む。
＞((iii)(iv)は仮定が偽だからという
＞意味で、"trivial"に)満たすからである。
(iv)の仮定が偽って、そんなにトリビアルかな。
(iv)の仮定って「x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たない」ですよね。
「x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たない」
⇔「xがx_0でない{x_0}の元であるならば, xは{x_0}のなかに直前の元を持たない」
「xがx_0でない{x_0}の元である」はxがなんであっても偽ですから
「xがx_0でない{x_0}の元であるならば, xは{x_0}のなかに直前の元を持たない」は真じゃない？
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>>981
・974について
開区間(0,1)がRの部分集合であることとごっちゃにして考えてしまいました。
Rの閉区間[0,1]に変更。これなら1∈[0,1]なので[0,1]自身もその中に上限をもち、
帰納的です。
・975について
そのとおりです。ドイツ文字Wを、最初はそのまま普通のアルファベットで書いていたん
ですが、わかりにくいので結局Ψを使い(理由はなんとなく似ているからorz)、直すのを
忘れていました。他に適当な字、ありますかね？
>>982
勘違いしていました。仰る通り、偽であるのは仮定条件の中の「仮定」(ややこしいですね)
なので、仮定条件は真です。
だから{x_0}が結論条件を満たすことを示さなくてはいけませんでした。
「{x_0}は(iv)の仮定条件：W∋x≠x_0ならばxはWの中に直前の元を持たない
を満たすから、結論：x_0=sup(_A)W<x_0> を示さなくてはならない。
sup(_A)W<x_0>=sup(_A){y∈W｜y<x_0}=min{y∈W｜y≧x_0}=minW=x_0
(¬a<b⇔a≧bを利用)よって示された。」
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>>983
>>974について。納得。
>>975について。Ψでいいですよ。ＷとWを使い分けるのもいいかもしれないけど、
違いがわかりづらいですね。
＞結論：x_0=sup(_A)W<x_0> を示さなくてはならない。
結論は「x=sup_(A){x_0}<x>」では？
「x_0=sup(_A)W<x_0>」だとしてもW={x_0}だからW<x_0>=Φですね。
命題「a∈Φ⇒a≦b」は任意のAの元bに対して真ですから
W<x_0>の上界全体の集合はAで、sup_(A)W<x_0>はAに最小元があるときのみminA,
Aに最小元がないときは、なし、なのでは？
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あ、失礼。>>869によるとΦの上界は定義されてませんね。。。
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難しいな。
もう2時間以上読んでるんだが理解できない。
もう少し時間ｸﾚ
納得したらＤ書き始める
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>>986
えと次はCです。。
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>>984
もう一回考え直してみたのですが、>>976の(ｉｖ)
＞(iv)x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たなければ、W<x>={y∈W｜y<x}
＞のAにおける上限がxと一致する。つまりx=sup(_A)W<x>。
の仮定は、「x≠x_0⇒xはWの中に直前の元を持たない」
(つまりx=x_0∨xはWの中に直前の元を持たない)ではなく、
「x≠x_0∧xはWの中に直前の元を持たない」です。
結局x=x_0のときは「仮定が偽」となるので、W={x_0}は(ｉｖ)を、"trivialに"満足する
という最初の認識でよいと思います。
あと>>983はメチャクチャでした。示すべき命題はW={x_0}が性質(iv)を満足することを言う
ためなのに、いつのまにか別のWを考えてしまいその要素x_0についての命題に摩り替え
てしまっているし、Aにおける上限であることを示すはずなのに({x_0}とは別の)Wの中の上限
であることを示しているし・・・。
(Aが整列集合なら性質(iv)は>>908によりどんなWでも成立します)
間違ったのに指摘するのは非常に恐縮なのですが、
＞結論は「x=sup_(A){x_0}<x>」では？
W={x_0}なので、x∈W⇔x=x_0ですから結局x_0=sup_(A)W<x_0>を示すことになるのでは？
で、これは示せないと思います。Aは全順序とは限らないし、>>985の通りφの上界も
定義されていませんから。
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>>986
読みづらくてすみませぬ。読解が終ったら、どこら辺がまずかったかどんどん指摘して下
さるとありがたいです。あと証明の本論の前に、証明の要約を方針として掲げていますが
これは役に立ってますか？感想くださいませ。
C）から先は次スレの方がいいかもしれませんね。
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>>988
了解。
(iv)は
「xがminWでなくてWの中に直前の元をもたないWの元ならばx=sup(_A)W<x>」
って書いてほしかったですね。
＞間違ったのに指摘するのは非常に恐縮なのですが、
ぜんぜん。そんなとこで遠慮してはいけないと思います。
で、内容ですが、
「xがminWでなくてWの中に直前の元をもたないWの元ならばx=sup(_A)W<x>」
でW={x_0}となったものを考えるわけですから
「xがx_0でなくて{x_0}の中に直前の元をもたない{x_0}の元ならばx=sup(_A){x_0}<x>」
であって、xが何者かを考える際、前件の「{x_0}の元」だけに着目すれば
x=x_0ですが、前件の条件はx≠x_0、xは{x_0}内に直前の元をもたない、x∈{x_0}
の3つの文の連言(∧で結ばれた文)です。
そもそも結論(後件)は何かという問には、前件からxがナニモノであるか
などは考えなくて単に、「x=sup(_A){x_0}<x>」と答えればいいように
思うのですけど。
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>>976(つづき)
＞(1)を示せば、
(1)の場合をしめせば ですね。(1)を示せば だといまから(1)そのものを示すように読めます.
＞(I)x=minW=x_0のとき
＞x_0はW'、したがってW'<b'>の最小元でもある。fが順序同型写像であることから、
＞f(x_0)=minW'<b'>。∴f(x_0)=x_0だから成立。
x_0はW'の最小元であるはW'∈ΨでΨの元は(ii)を満たすからでしょう？書いておいてほしいです。
順序同型写像は最小元を最小元に移すってのは、どこかで既出でしたっけ？既出ならレスアンカーを、
既出でないなら、理由を書いてください。読んでて「え？成り立ちそうやけどなんでやろ。
どっかでやったかな」て思いました。そしたらずーっとスクロールしてさかのぼらんなんし、
なかったら、じゃあ自前で考えようってことになる。で、自前で考える。
x_0がWの最小元でfがWからW'への順序同型写像だったら、
任意のW'の元x'に対してfは全単射(順序同型写像は順序単射かつ全射,
順序単射なら単射。c.f.>>874)だからf(x)=x'をみたすWの元xがひとつだけ存在する.
x_0はWの最小元だからxとは(したがってx'とは)無関係にx_0≦x.fは順序写像だからf(x_0)≦x'.
すなわち, 任意のW'の元x'に対してx'とは(fが全単射であることから、xとも)無関係な
W'の元f(x_0)がとれてf(x_0)≦x'.
こういう作業を読み手に任せず、担当者にやってほしいのです。
-
>>976(その3)
＞(II)x>x_0のとき
＞∀y∈W<x>；f(y)=yを仮定する。
＞xがWの中に直前の元を持つか、持たないかの一方のみが必ず成立。
＞xが直前の元x_*を持つ場合、fが順序同型写像である(f(m)≧f(n)⇔m≧n)ことから、
＞f(x_*)はW'<b'>の中で、従ってまたW'の中で、f(x)の直前の元となる。ここで仮定により
＞f(x_*)=x_*であるから、条件(iii)によりf(x)=φ(f(x_*))=φ(x_*)=xである。
「x_*がxの直前の元でfが順序同型写像のときf(x_*)はf(x)の直前の元」はなぜ？既出？
一応、最後に「超限帰納法によりすべてのx∈Wに大してf(x)=xであることが示された」
って書いておいてほしいです.
＞xが直前の元を持たない場合、fが順序同型写像であることから、f(x)もW'<b'>の中に、
＞従ってまたW'の中に直前の下を持たない。
＞ここで、f(W<x>)=(W'<b'>)<f(x)>(>>917より)=W'<f(x)>(>>912より)なので
＞∀y∈W<x>；f(y)=yよりf(W<x>)=W<x>∴W<x>=W'<f(x)>
＞よって条件(iv)によりf(x)=sup(_A)W'<f(x)>=sup(_A)W<x>=x。
「直前の元を持たない元の順序同型写像による像も直前の元を持たない」理由を。
「超限帰納法により云々」って決まり文句を。
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帰納的な集合ってイメージしにくくないですか？
たいていの集合は帰納的な気がするんですけど。
開区間以外に帰納的でない集合の例ありますか？
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>>993
順序集合については川のようなイメージを持てばよいと思います。
それも必ずしも一本だけ流れている川ではなく、支流がいっぱい
あったりする川。
上流へ行くほど「上」下流へ行くほど「下」。
全順序集合は「｜」。整列集合は「|」で下端があるもの。
一般の順序集合は「Ψ」(上端がすべて閉じてるとしたら極大元が3つ)。
そして帰納的順序集合は「Y」とか「Ψ」を上下ひっくり返したような形。
-
＞そして帰納的順序集合は「Y」とか「Ψ」を上下ひっくり返したような形。
上下ひっくり返す必要あるか？
「Ψ」も「Ｙ」も「ж」も上端が全部閉じてれば帰納的順序集合と言えるのでは？
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>>995
えーっと。
Y字型の順序集合ってのはA={a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, b_6, b_7, b_8, c_6, c_7, c_8}
に, 「a_1≦a_2≦a_3≦a_4≦a_5≦b_6≦b_7≦b_8,
a_5≦c_6≦c_7≦c_8,
任意の(i, j)∈{6, 7, 8}×{6, 7, 8}に対してb_iとc_jは比較できない」
という順序を与えたもののつもりですた。
そうするとたとえばB={a_4, a_5, b_6, b_7, c_6}は上界を持ちません。
(c_7≧c_6ですが、c_7はb_7と比較できませんし
b_8≧b_7ですが、b_8とc_6は比較できません。)
Aに真逆の順序を入れた場合はAは帰納的順序集合になります。
たとえばBの上限はa_4だしC={b_7, b_8, c_8}の上限はa_5。
-
>>996
帰納的の定義
順序集合Aは、その任意の空でない「全順序部分集合」がAの中に上限を有するとき、帰納的であると言われる。
というわけでその例も帰納的順序集合になると思うが
-
>>990
＞(iv)は・・・書いてほしかったですね。
はい
＞で、内容ですが、・・・思うのですけど。
例の癖です。仮定条件の一部「{x_0}の元」を前提条件として考えてました。
>>991
＞(1)の場合をしめせば ですね
はい
＞x_0はW'の最小元であるは・・
はい
＞順序同型写像は最小元を最小元に移すってのは
m≧n⇔f(m)≧f(n)でｆ：W→W'<b'>は全単射だから、
x_0=minW⇔∀x∈W；x_0≦x⇔∀x'∈W'<b'>；f(x_0)≦x'⇔f(x_0)=minW'<b'>
>>992
＞「x_*がxの直前の元でfが順序同型写像のときf(x_*)はf(x)の直前の元」はなぜ？
x_*がWにおけるxの直前の元⇔¬(∃y∈W；x_*<y<x)⇔¬(∃y'∈W'<b'>；f(x_*)<y'<f(x))
(∵m≧n⇔f(m)≧f(n)でｆ：W→W'<b'>は全単射)⇔f(x_*)がW'<b'>におけるf(x)の直前の元
＞「直前の元を持たない元の順序同型写像による像も直前の元を持たない」理由を。
x_*<x_を満たす任意のWの元x_*に対して∃y∈W；x_*<y<x
⇔x_*'<f(x)を満たす任意のW'<b'>の元x_*'に対して∃y'∈W'<b'>；x_*'<y'<f(x)
(∵m≧n⇔f(m)≧f(n)でｆ：W→W'<b'>は全単射)
＞一応、最後に・・・って書いておいてほしいです
はい
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>>997
あ、全順序か。そうですた。
二十年前も同じ勘違いを。。。
帰納的順序集合は上端が全部閉じたヤツですな。
どもすんませんでした。
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