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「集合・位相入門」輪読会
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>>976(その3)
＞(II)x>x_0のとき
＞∀y∈W<x>；f(y)=yを仮定する。
＞xがWの中に直前の元を持つか、持たないかの一方のみが必ず成立。
＞xが直前の元x_*を持つ場合、fが順序同型写像である(f(m)≧f(n)⇔m≧n)ことから、
＞f(x_*)はW'<b'>の中で、従ってまたW'の中で、f(x)の直前の元となる。ここで仮定により
＞f(x_*)=x_*であるから、条件(iii)によりf(x)=φ(f(x_*))=φ(x_*)=xである。
「x_*がxの直前の元でfが順序同型写像のときf(x_*)はf(x)の直前の元」はなぜ？既出？
一応、最後に「超限帰納法によりすべてのx∈Wに大してf(x)=xであることが示された」
って書いておいてほしいです.
＞xが直前の元を持たない場合、fが順序同型写像であることから、f(x)もW'<b'>の中に、
＞従ってまたW'の中に直前の下を持たない。
＞ここで、f(W<x>)=(W'<b'>)<f(x)>(>>917より)=W'<f(x)>(>>912より)なので
＞∀y∈W<x>；f(y)=yよりf(W<x>)=W<x>∴W<x>=W'<f(x)>
＞よって条件(iv)によりf(x)=sup(_A)W'<f(x)>=sup(_A)W<x>=x。
「直前の元を持たない元の順序同型写像による像も直前の元を持たない」理由を。
「超限帰納法により云々」って決まり文句を。
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