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「集合・位相入門」輪読会
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>>984
もう一回考え直してみたのですが、>>976の(ｉｖ)
＞(iv)x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たなければ、W<x>={y∈W｜y<x}
＞のAにおける上限がxと一致する。つまりx=sup(_A)W<x>。
の仮定は、「x≠x_0⇒xはWの中に直前の元を持たない」
(つまりx=x_0∨xはWの中に直前の元を持たない)ではなく、
「x≠x_0∧xはWの中に直前の元を持たない」です。
結局x=x_0のときは「仮定が偽」となるので、W={x_0}は(ｉｖ)を、"trivialに"満足する
という最初の認識でよいと思います。
あと>>983はメチャクチャでした。示すべき命題はW={x_0}が性質(iv)を満足することを言う
ためなのに、いつのまにか別のWを考えてしまいその要素x_0についての命題に摩り替え
てしまっているし、Aにおける上限であることを示すはずなのに({x_0}とは別の)Wの中の上限
であることを示しているし・・・。
(Aが整列集合なら性質(iv)は>>908によりどんなWでも成立します)
間違ったのに指摘するのは非常に恐縮なのですが、
＞結論は「x=sup_(A){x_0}<x>」では？
W={x_0}なので、x∈W⇔x=x_0ですから結局x_0=sup_(A)W<x_0>を示すことになるのでは？
で、これは示せないと思います。Aは全順序とは限らないし、>>985の通りφの上界も
定義されていませんから。
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