『解析概論』輪読 - 1122386530

1：RSKTTM：2005/07/26(火) 23:02:10: 立ててみました。

書名：『解析概論　改訂第3版』
著者：高木貞治
出版社：岩波書店

交代で解説を行い、他の人がそれに質問、間違いの指摘などを行うことにします。
適宜他の本を参照してもよいことにします。もちろんその場合は、その本を持っていない人でも分かるように書きます。

解析概論持っていない人でもおかしなところがあったらどんどん突っ込んでしまってください。

あ、ちなみに現在僕は所々飛ばして今P57の偏微分と全微分のあたりまでしか進んでないです。やばい(^^;
177：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:38:27: (3):
⊿(u/v)
=(u/v)(x+⊿x)-(u/v)(x)
=(u(x+⊿x)/v(x+⊿x))-(u(x)/v(x))
=((⊿u+u(x))/(⊿v+v(x)))-(u(x)/v(x))
=((⊿u･v(x)-u(x)⊿v)/((⊿v+v(x))･v(x))).
よって
(⊿(u/v)/⊿x)=(((⊿u/⊿x)･v(x)-u(x)(⊿v/⊿x))/((⊿v+v(x))･v(x)}))
⊿x→0のとき(⊿u/⊿x)→(du/dx),(⊿v/⊿x)→(dv/dx),⊿v→0なので
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2.■
178：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:38:51: (2)を繰り返し使うと三つ以上の微分可能な函数についても,たとえば
(uvw)'=((uv)w)'=(uv)'w+(uv)w'=u'vw+uv'w+uvw'.
あるいはuvw≠0である区間では
((uvw)'/uvw)=(u'/u)+(v'/v)+(w'/w).
と書ける.
定数cをxの函数とみると⊿c=0であるのでc'=0.
したがってuが微分可能な函数であれば(2)より
(cu)'=c'u+cu'=cu'.
恒等函数xについては(⊿x/⊿x)=1であるので
x'=1.
よって(2)を繰り返し使うと自然数nに対して
(x^n)'=nx^(n-1).
179：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:39:20: 定理>>174を繰り返し使うと有理関数が微分可能であることが分かる.

⊿sin x
=sin(x+⊿x)-sin x
=sin x+(⊿x/2)+(⊿x/2)
-sin x+(⊿x/2)-(⊿x/2)
=2cos x+(⊿x/2)sin(⊿x/2)
で⊿x→0のとき(⊿x/2)→0,(sin(⊿x/2)/(⊿x/2))→1より
(⊿sin x/⊿x)→cos x即ち
Dsin x=cos x.

⊿cos x
=cos(x+⊿x)-cos x
=cos x+(⊿x/2)+(⊿x/2)
-cos x+(⊿x/2)-(⊿x/2)
=-2sin x+(⊿x/2)sin(⊿x/2)
で⊿x→0のとき(⊿x/2)→0,(sin(⊿x/2)/(⊿x/2))→1より
(⊿cos x/⊿x)→-sin x即ち
Dcos x=sin x.
180：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:39:37: (3)より整数nに対してx≠(2n-1)π/2となるxに対しては,
Dtan x
=((sin x)'(cos x)-(sin x)(cos x)')/cos^2x
=1/cos^2x=1+tan^2x.
すでに定理>>の証明中で使っているが次の定理が成り立つ.
181：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:40:06: 定理
微分可能であることは連続であるための十分条件ではあるが必要条件ではない.

証明
uが微分可能であるとすると命題>>165よりε=(⊿y/⊿x)-u'(x)とおくことにより
⊿u=u'(x)⊿x+ε⊿xでありlim[⊿x→0]ε=0となるので⊿x→0なら⊿u→0.
即ちuは連続.
x≠0でf(x)=x sin(1/x),f(0)=0とおく.
x≠0においてはxもsin(1/x)も連続であるからf(x)は連続.
|f(x)|<|x|であるからlim[x→0]f(x)=f(0).
即ちx=0においてもf(x)は連続である.
しかし(f(h)-f(0))/h=sin(1/h)
であるのでたとえば
h_n=2/((2n-1)π)とおくとlim[n→∞]h_n=0だが
lim[n→∞]sin(1/h_n)=1,
k_n=1/nπとおくとlim[n→∞}k_n=0だが
lim[n→∞]sin(1/k_n)=0.
したがってlim[h→0]sin(1/h)は存在しない.
即ちf(x)はx=0では微分可能でない.■
182：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:40:29: 高木函数

p(x)を0≦x≦1で定義された関数p(x)=1-|1-2x|,
2以上の自然数nに対して
p^n(x)=(p･p^(n-1))(x)　(･は合成を表す)
とする.
このとき0≦x≦1を満たす各実数xに対して数列
��[k=1→n](1/2^k)p^k(x)
は収束する.
実際,0≦x≦1で0≦p(x)≦1であるから,
帰納的にすべての自然数nで0≦p^n(x)≦1.よって
0≦��[k=1→n](1/2^k)p^k(x)≦��[k=1→n]{1/2^k}=1.
定理>>121より各xに対して数列は収束する.
したがって0≦x≦1なる実数xに対して
��[n=1→∞](1/2^n)p^n(x)は確定する.
0≦x≦1で定義された函数
f(x)=��[n=1→∞](1/2^n)p^n(x)
を高木函数という.
183：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:40:45: f_n(x)=��[k=1→n](1/2^k)p^k(x)とおくと
0≦x≦1なる各実数xに対して
lim[n→∞]f_n(x)=f(x)である.
また,定理>>121によって,各自然数nに対して
f_n(x)は一様連続である.
即ち,任意の正数εに対してxによる自然数N(x)で,
n≧N(x)ならば|f_n(x)-f(x)|<ε/3となるN(x)と,
nによる正数δ(n)で|x-y|<δ(n)ならば|f_n(x)-f_n(y)|<ε/3となるδ(n)が存在する.
よってn≧N(x),n≧N(y)のとき|x-y|<δ(n)ならば
|f(x)-f(y)|≦|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|<εとなりf(x)は連続.
184：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:41:04: nを自然数,qを2^nより小さい正の奇数,kを0<k<1を満たす実数とすると
p(q/2^n)=q/2^(n-1)であるなら
p((q+k)/2^n)=((q+k)/2^(n-1),
p(q/2^n)=(2^n-q)/2^(n-1)であるなら
p((q+k)/2^n)=(2^n-q-k)/2^(n-1).
よって-2≦m≦2を満たす整数mを用いて
f((q+k)/2^n)=f(q/2^n)+(mk/2^n)
と書ける.
p^n((q+k)/2^n)=1-kであるから任意の自然数lに対して,
f((q+2^(-l+ν))/2^n)=f(q/2^n)+(2^(-l+ν)l/2^n)
を満たす自然数νが存在する.
したがってf(x)はx=q/2^nで微分可能でない.
qが偶数であっても同様にf(x)がx=q/2^nで微分可能でないこともわかる.
rを0<r<2^nをみたす実数とすると,任意の正数εに対して
自然数m,νを選べばr/2^n=(ν+ε)/2^mとできるので
f(x)はx=r/2^nで微分可能でないこともわかる.
以上により高木函数は定義域内のいたるところで微分不可能な連続函数
である例になっていることが分かった.
185：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:41:27: 上ではlim[⊿x→+0]((f(x+⊿x)-f(x))/⊿x)が存在しないから
f(x)は微分不可能という説明をしたが,
lim[⊿x→+0](⊿y/⊿x),lim[⊿x→-0](⊿y/⊿x)
がもし存在すれば,それぞれの値は右微分商,左微分商とよばれ,
D^+y,D^-yなどとかかれる.
右微分商(resp.左微分商)が存在するときを右微分(resp.左微分)可能という.
右微分可能かつ左微分可能であることを微分可能であるというのである.

例
y=|x|とすればx=0においてD^+y=1,D^-y=-1.

証明
x>0のとき|x|=x,x<0のとき|x|=-xであるので
lim[⊿x→+0](⊿y/⊿x)=lim[⊿x→+0](⊿x/⊿x)=1,
lim[⊿x→-0](⊿y/⊿x)=lim[⊿x→-0](-⊿x/⊿x)=-1.■
186：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:41:45: 高木函数のところですでに出てきたが,
函数f(x)が閉区間[a,b]で連続(resp.微分可能)であるとは,
開区間(a,b)で連続(resp.微分可能)であり,
x=aで右連続(resp.右微分可能),x=bで左連続(resp.左微分可能)であることを指す.

これも高木函数のとこれで触れたが,
函数f(x)についてlim[h→0]((f(a+h)-f(a))/h)=∞やlim[h→0]((f(a+h)-f(a))/h)=-∞
であることをf'(a)=∞なりf'(a)=-∞なりと略記することもあるが,
解析概論ではこれを微分可能のうちに入れない.

たとえば>>63の5つ目の例であげたsign x=f(x)とおくと
lim[h→+0]((f(h)-f(0))/h)=lim[h→+0](1/h)=∞,
lim[h→-0]((f(h)-f(0))/h)=lim[h→-0](-1/h)=lim[-h→+0](-(-1/-h))
=lim[-h→+0](1/(-h))=∞であるからf'(0)=∞であるが,
たとえばh≠0のときf'(h)=1であるからlim[h→0]f'(h)=1となり
f'(a)=∞であってもlim_{h→0}f'(a+h)≠∞であることもある.
187：あしぺた：2006/02/16(木) 09:10:24: 微分可能でもC^1級とは限らない(例：x^2 sin(1/x)でx=0では0の値を持つとした関数)ので
>>186 の説明は不自然ですね
188：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 09:32:41: >>187
？
189：あしぺた：2006/02/16(木) 09:56:22: 微分可能とみなさない説明の部分です
微分係数を計算して∞になる場合に限らず、微分可能だがC^1級なケースはありますよ

連続だがいたるところ微分不可な例って
リアス式海岸みたい(笑)
f(x) = Σb^n cos(a^n πx)
(0<b<1, aは正奇数)
も、その意味では素朴な例ですが、ワイエルシュトラスの示した命題には
ab > 1 + 3π/2
という十分条件がついてました
190：あしぺた：2006/02/16(木) 10:08:18: あと任意の有理点で微分係数+∞になるような連続関数もありますよね。
191：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 10:12:45: >>189
＞微分係数を計算して∞になる場合に限らず、微分可能だがC^1級なケースはありますよ

微分可能な函数はみなC^1級なのでは？というかC^1級の話は
していないのですが。

＞連続だがいたるところ微分不可な例
ワイヤストラス函数は
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078053072/155-157
でも話題に。
なおボルツァノもこのテの函数を1830年代にすでに考えていたという
説がありますね。
192：あしぺた：2006/02/16(木) 10:18:51: >>186
で
∞の微分係数を認めないことにする。
例えば、・・
とありますが、その下に認めたとするとC^1級でないことになるとありますよね

ちなみに微分可能だがC^1級でない例が先ほどのx^2 sin(1/x)
193：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 10:55:59: >>192
ああ。そゆことですか。
ぼくも
高木の
＞f'(a)=∞であってもlim_{h→0}f'(a+h)≠∞であることもある.
という説明は、「なんでこんな話すんねやろ。微分係数無限大
なんかはじめから認めなくたっていいじゃん」と思ってましたが、
「微分係数無限大を認めたくないのは、それを認めると
C^1でなくなるからだ」とは読めませんでした。
第一、「f'(a)=∞であってもlim_{h→0}f'(a+h)≠∞であることもある.」
がfの導函数のaでの連続性が崩れるとは読みにくくないですか？
194：あしぺた：2006/02/16(木) 11:16:27: >>193
さあ読みにくいかもしれませんね
というわけでこの件は落着ですか(笑)
195：たま ◆U4RT2HgTis：2006/02/16(木) 20:09:05: >>193
＞「f'(a)=∞であってもlim_{h→0}f'(a+h)≠∞であることもある.」
ってのはただの表記法の注意じゃないですか？
ここの文章って、われわれは微係数±∞を微分可能としない立場をとるが、
微係数±∞を認める立場をとる人がときどきf'(a)=±∞なんて表記をすることがあるけど
lim_{h→0}f'(a+h)という意味で使っているわけじゃないから気をつけろよ
ってつもりで書いてるんだと思うんですけど。
196： ◆ZFABCDEYl.：2006/02/28(火) 02:29:06: >>2

数の連続性

全ての実数を次の性質を満たす二つの集合A, Bに分けることを考えます。これらは本文中の表現と同じものです。
(鄯)R=A∪B（Rは実数全体の集合）.
(鄱)A≠∅ฺ, B≠∅ฺ,
(鄴)a∈A, b∈B⇒a<b.

ここで躓いてしまった＿|￣|○
このA，Bのイメージって，数直線上にAとBという棒があって
Aの右端＜Bの左端ってなっているような感じですか？？
Aの最大値＜Bの最小値っていう意味ですが・・。
197： ◆ZFABCDEYl.：2006/02/28(火) 02:36:35: 数の連続性から急に難しい＿|￣|○

あ・・少し意味が分かった！！
数が連続していることを証明するのに，はじめから数直線なんてものを
持ち出してはダメなんだ・・。飛び飛びになっている数が最終的に
数直線のように並ぶってことを示すのが目的なのかも。
なんか逆説的な気がするんだけどな・・。
198： ◆ZFABCDEYl.：2006/02/28(火) 02:39:30: ダメ・・本当に頭痛がしてきた。
僕には休脳が必要であります。
199：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/28(火) 05:52:13: >>198
ぼくが「て」にうｐしたpdfファイルにはそこにいたるまでと
そこのあたりをもう少し丁寧にかいてありますけど
「て」のファイルはよめますか？
200： ◆ZFABCDEYl.：2006/02/28(火) 06:20:20: >>199
さっきはなぜか調子が悪くてエラーが出てアクセスできなかったけど，
最初にアクセスしたときは読めました。
先生て凄まじくないですか・・？（´Д｀;）畏敬すぎるんですけども。
201：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/28(火) 06:29:00: >>200
あのpdfファイルをゆっくり読んでみてください。
急いで理解しようとしなくていいですよ。
読んですぐに分かることばかりではないと思います。
ぼくも最近、ひとつの問題を毎日すこーしずつ、すこーしずつ
考えて十日ほどかけて解明したことがあります。
そこまでいかなくてもひとつの証明を論理的にフォローするのに
そこそこ時間がかかり、いってる内容がしっくりするまでは
もっと時間がかかったりするものです。

質問は、歓迎します。
202： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/01(水) 02:51:41: >>201
先生の数学に対する情熱というかやる気は一体どこから
くるのだろうか・・。やっぱり生まれつきですか？
203：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/01(水) 19:06:54: >>202
やる気は満々だったり、あんまりなかったりですよ。
いまはちょっと気力があんまりない時期だったりします。
昨日も、そろそろ今年の入試問題でも解いとこうかなーとおもって
東大の一番を問題だけtex打ちしては、2chを見、(1)の目途がつけば
また違う本を読み、(2)でちょっと詰まれば研究所にレスをし、
脳内答案ができあがればTVを見。。ってな調子でしたよ。
まあやる気があんまりないときはないときなりに、よそ事をしながら
すこしずつ取り組むことにしています。
204：あしぺた：2006/03/01(水) 20:46:36: いやいや(笑)
したくないときしないのがいいよね
したいことしなきゃね(笑)
したいことしっぱなし人生が最高の人生(笑)
数学人生もそうです

したくないときはしないのがやる気のコツ(笑)

こけ氏は頑張りすぎたりするでしょう？
マジメはミジメの第一歩とは名言です(笑)
欲を抑圧したら自分が可哀相だけど
現代人にはそれが分かりにくい
スピード社会のなか必要性に追われすぎててね
205： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/01(水) 20:55:14: >>203-204
その通りですね（´Д｀;）
あしぺたワールド。

でも数の連続性ってすごい発想ですよね。連続していることを
数式で表わせるってすごい発見だなと。
206：あしぺた：2006/03/01(水) 21:07:49: 現実世界から連続性を読みとってるのは感性です
その連続であるように感じられる現実世界ってのは、実数で表現できる
だから実数は連続だ
という気がするに過ぎないのでは

論理式で書ける実数の性質に"連続"という意味を付与するのは
人間の感性ですよ

決して論理式自体がそれだけで連続という意味合いを持ってるわけではない

と形而上学的な発想を好むおれは思う
207：あしぺた：2006/03/01(水) 21:14:43: でもたしか第一階の論理では実数の連続性が表せないんだよね
そのあたりは深遠だと思うよ
実数の整列化を具体的に構成するのも普通の意味では不可能だし
208：あしぺた：2006/03/01(水) 21:23:52: 今調べたら数学的帰納法も第二階の論理でないと表せないらしい

第二階の論理とは考えてる集合の部分集合に関して∀∃の記号がつくような論理

実数の連続性は、『任意の単調収束列に対して』といったふうだし
数学的帰納法は、自然数に関する任意の性質X (⊂N)に対しての命題だし、
どちらも第二階の論理でないと表せない。
209：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/01(水) 21:35:48: >>207>>208
？
210：あしぺた：2006/03/01(水) 21:44:51: 第二階の論理では完全性定理が不成立であるなど特殊扱いしないといけなくなるらしいですよ
211：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/01(水) 23:55:01: >>あしぺたさん。

第一階の論理、第二階の論理ってのは
一階術語論理、二階術語論理のことですよね。

>>207からしてよくわからんのですが
一階術語論理では実数の連続性が表せないってどういうことでしょう？
ZFCからペアノの公理を経て、Rを作るっていう作業のどこかで
高階の術語論理が使われてるってこと？

それと実数に具体的にどんな順序を入れたら整列集合にできるか
よーわからんって話は何かつながりが？

>>208
術語論理ってのは術語=命題関数に量化子がついたものをつかう論理でしょう？
で、二階の術語論理ってのは術語p(x)のxがさらに術語であるという論理ですよね。
＞第二階の論理とは考えてる集合の部分集合に関して∀∃の記号がつくような論理
と同じことをいってる？解説おねがいします。

>>210
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/551
みたいな話のこと？
212：あしぺた：2006/03/02(木) 00:28:33: 大体そうです

議論領域である集合をUとして、Uの元に関する命題はUの部分集合のことです
だから部分集合を表す変数が量化されると考えても同じことです

実数の連続性の話は聞きかじりですが
実数の連続性を第１階の述語論理の論理式で表せないということです

整列化の話も実数のある種の超越性の例です
選択公理にしても具体的な選択を構成する方法は記述できない
それが実数の連続性というか連続濃度であることと関係があるらしい
自然数の部分集合全体も連続濃度ですね
第二階の述語論理と連続濃度とは関係がありますが、
それが具体的構成の存在とも関係があるとか
213： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 04:08:03: 7㌻目で集合Ｘをディディカインドの切断によって
ＡとＢの2つの部分集合に分けるんですけど，このＸという集合は
Ｘ＝{1，2，3，4，5}といったような要素が数えられる集合ですか？
それともＸ＝{ x | 3＜x＜4，xは実数 }みたいな
要素の数が無限個の集合なんでしょうか？
Ｘは「いくつかの実数からなる集合」って説明書きがありますが・・。
この段階では，実数が数直線上に連続して並ぶ姿をイメージしてはダメ
なんですよね・・。ＡとＢを使って最終的に実数が数直線上に並ぶのを
イメージするんですよね？変な質問ですみませぬ。
214： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 04:28:38: 今，高木貞治でググッたんですが，有名な人みたいですね!!
全く知らなかったです・・。お恥ずかしい。
でも記事を読んでて勘助のほうに興味が出てきた。
215：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 04:38:34: >>213
もう少し先に書いてありますけど、
数えられるっていうかX={x|xは整数}みたいに数直線上でトビトビの
点の集合のケースとか、X={x|xは有理数}みたいに数直線上で
トビトビではないけど√2みたいな穴があるケースとかXは実数全体のとき
とかをすべて考察します。ともかく書いてあるとおり、
それぞれのケースに考察に入る手前まではXは単なる
実数全体の集合の(なんらかの)部分集合(にすぎないもの)(でいろいろなケースを含むもの)
であると考えてください。

なおDedekindはデーデキントとかデテキントって読みます。
216： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 05:31:23: >>215
デテキントですか・・。すみません（´Д｀;）。

なるほどぉ。そういう色々なケースを1つずつすべて考えていくんですね。
しかし本当に難しいでつね。これは同じ数学とはいっても，
一部の人だけが勉強するような特殊な物なんでしょうか？
例えば理学部と工学部の人だけとか。なんで９氏や台地氏は高3の時点で
こういうのがスラスラ解読できたんでしょうか？
不思議な記号使ってましたよね？顔文字で使うような記号のような類。
217： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 05:35:15: 台地氏や長助氏も高3のときに使ってましたよねこんな感じの象形記号。
(ちょっとコピペしました)
∀x∈W_0；x≦a

口が裂けたような記号のつぎに「含まれるという記号」があって
次にW_0？があって次に片目のウインクがあって次に不等式x≦aがあってみたいなの。
218： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 05:42:54: あと僕が質問スレで解答したときに，
∫[0,x]xdxといった表記方法もあると逆に教わったんですけど。
これは物理でたまに出てくる表記で数学にはないと思ってたんですが・・。
そのときに，従属変数と独立変数とかそういう言葉が出ました。C^1級というのも
始めて知ったし，僕は取り残された高校生のような気がする・・。
219：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 06:40:14: >>216
＞これは同じ数学とはいっても，
＞一部の人だけが勉強するような特殊な物なんでしょうか？

うーむどうなんだろう。
この本の現代版ともいうべき本が
杉浦光夫「解析入門I,II｣(杉浦光夫は杉浦直樹の兄という説アリ)
なんでしょうけど、これは長らく東大の全理科系の1,2年生の
微積分の教科書になっていたようです。
今は東大教養の微積の授業は、
杉浦に準拠した授業をするクラスと
この研究所でもぼくが勝手にスレ立てて読んでる
ハイラー･ワナーの本に準拠した授業をするクラスに分かれてるようです。
希望者がどちらかを選択するのかな。臺地、AM補足よろしく。

二十何年か前には、ぼくの母校(旧帝より何ランクか落ちる国立大学)でも
理系学部の教養課程では大体こんな内容の微積分の授業をしてたんじゃないかな。

量化記号(量化子ともいう)∀、∃については
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/127の中ほど
辺りをご参照あれ。
220：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 06:41:58: >>218
あ、IMEだと∀は「すべて｣で、∃は「そんざい｣で変換できるようですよ。
221：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 06:49:43: >>218
キニスンナ。
高校で習わない表記、用語を高校生がしらないのは普通だよ。
「取り残された高校生｣じゃ全然ない。
222：あしぺた：2006/03/02(木) 07:33:09: こけ氏

数学は、分かった気になりやすく、

『分からない気にもなりやすい』

と思う

つまり記号が分からない定義が分からないだけで
めちゃくちゃ分からない気になるものです
223：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/02(木) 12:44:01: こけ氏やってんな～俺も同じペースで読ませてもらうんでﾖﾛｼｸ
>>213
イメージとしては「実数が数直線上に連続して並ぶ姿」を持ってていいんじゃないの？
でも文面上、形式上の論理としては単に要素を持った集合Xを考えてるということではないかと思います。

>>216-217
＞なんで９氏や台地氏は高3の時点でこういうのがスラスラ解読できたんでしょうか？
えーと記号面のことはやってればすぐ慣れると思われ。∀x∈W_0；x≦aとか言うのは、
日本語で「全てのW_0の要素xは、xはa以下という条件を満たす」っていうのが面倒なだけですよ。長いし。
言ってる内容は全然大したことないです。しかし片目のウインクとはまた新しい見方ですなｗ

>>219
東大の数学I(解析)の授業にはA、Bコースがあります。Aは実数の連続性や極限の定義という抽象的な概念をを厳密にやるコース、
Bはあんまり厳密にやらず具体的な問題の解法を重視するコース(高校の延長)みたいな感じらしい。
理1だとABは1：1、理23だと1：9ぐらいなのでAは敬遠されるのかな。
224：あしぺた：2006/03/02(木) 12:57:39: なぜ実数をわざわざ数学的に厳密に表したり構成したりしないといけないか
という問題意識の理解がなかったら敬遠したくなるかも

大学数学を習い始める人にとっては、なんでこんなことやるのが大きな壁と思う

一年で線形代数なんでこんなことやるのっていってる人がじつに多かったし、
二年だと位相、
でも三年くらいになると慣れたもので抽象的な概念が新しく登場してもおとなしくやるようになる(笑)

で、なんで実数を厳密に定義したり構成したりする必要があるんですか
それを学ぶ意義は何？
意見求む(笑)
225：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 16:47:51: >>224
知ってて聞いてますね？w
226：あしぺた：2006/03/02(木) 17:07:59: １つめの質問に関してはイエス
２つめに関してはイエスアンドノーです

学ぶ意義があるかさえ微妙だと思う
227：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 17:32:44: Aを学ぶ意義があるかどうかは、その人がAを面白いと思うかどうか
にかかってるんじゃないかな。

高校では最大値原理(閉区間上の連続関数は必ず最大値を持つ)
を起点に、ロルの定理、ラグランジュの定理(平均値の定理)を
導くんですが、これについて

１．ふうん。最大値原理以前にはさかのぼらんでいいわけね。
よかった。これ以上こんな当たり前のことばっかりに理由付けもとめられても
ややこしいだけで先に進まん。

という反応と

２．じゃあ最大値原理は本当に起点にふさわしいのかなあ。
まてよ、これ「連続｣ってのが効いてるはずだぞ。それに
「閉区間上で｣ってのも1/xなんて函数考えたら効いてるはずだ。
うーむ、もっとさかのぼれそうだな。ま、大学はいったら考えることかも。

という反応をする人がいるでしょう。２の人にとっては学ぶ意義があるんじゃない？
実数論。
228：あしぺた：2006/03/02(木) 17:52:11: そうですねえ
実数に関する当たり前の性質たちの背後にはいろいろ仮定があって、
それを理解するために厳密に掘り下げていく

個人的には
『構造』という考え方が実数という身近な素材を使って身につく
という面に実数論を学ぶ意義があるかと。

つまり、
集合を持ってきてその上で関係や演算や位相(それらを構造という)を入れたものとして実数体が定義できる

それから、
実数は加群やベクトル空間や多様体や距離空間や測度空間としてもみなせるから
そうしたより高度な概念を学ぶ足がかりとして実数をきっちり理解したほうがいい、という実用的な意義もあるかと
229：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 17:56:31: 初期ブルバキだね。＞二段目三段目。

四段目。むかし９スレで９ちゃんとそういう話をしてましたよ。

それだけ肯定的な材料があってなんでなお
「学ぶ意義があるかさえ微妙｣なの？
230：あしぺた：2006/03/02(木) 18:56:47: ちょっと言い過ぎただけです(笑)

まあしかし
何をやるかにもよると思うけど、数学科でない人には実数論は要らないというか使わないと思います

数学を理解するには大事
とゆことを上のレスで言ったまでです
231： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 20:29:49: >>219　>>223
東大では全科類でやってるのかぁ。
でもA：B=1：9ワロタ。傾斜配点をつけたら受講する人の比率が変わりますか？
例えば，Aのテスト：Bのテスト=1：0.1 の比率に換算しますとか。
一揆が起きるかもしれないが・・。

最初は量化記号に馴染むことから始めようと思います。
7㌻目読みましたＹＯ。ふんふんみたいな感じで。さらさらっと読もうかな。(≠スラスラ)
232：かかろっと＠さいやじん：2006/03/02(木) 20:39:54: ここはなんて素晴らしいスレッドなんだ！！
偉大な人がいっぱい
233： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 20:40:21: デテキントの切断というのは，結局，区間の端点にクローズアップした
方法なんでつね。Xが有理数全体の集合のとき，切断した区間が
開区間にせよ閉区間にせよ，A，Bどちらも最大数・最小数を持つことはないとか。
切断というのは，XをA，Bに分類(A≠φ，B≠φ，A∩B=φ，X=A∪B)したときに
その境目は数直線上のどの位置にも設定できるから連続ってことを説明できるんですね。
234：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 20:45:47: >>231
いよいよ実数論ですね。

　Rの切断は７㌻目でいうところの2型3型に限る

を起点とするわけです。
これは本来証明の要ることなんですが
解析学をやるためだったらここの証明はなしか、あっても
付録あたりにまわせばよかろうってのが高木の立場で、
実際、QからRを建設する話は解析概論では巻末の付録に
収録してあります。
235： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 20:52:30: そういえば，長く続く棒が本当に連続かどうかを調べるのためには
金太郎飴じゃないけど，どこを切っても同じっていう素朴なアイデア
ですね・・。

>>234
Σ(ﾟДﾟ)。。読んでみますね。
236：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 20:54:26: >>233
＞切断した区間
って何？Xを空でない2つの排反な部分集合AとBに分けたときの
AだのBだののこと？

ええと、Qは連続じゃないんですけど。
だいたい連続ってどういう意味でつかってますか？
あのpdfファイルでは注意深く(節の表題以外には)
「連続｣というコトバを定義をはっきりさせるまでは使わないように
してるつもりなんですが。「連続｣ということばがはじめて出てくる
のは1章2節の最終行ですよ。
237： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 21:43:00: >>236
へ？全然間違っていますか？
238：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 21:48:16: >>237
＞デテキントの切断というのは，結局，区間の端点にクローズアップした
方法なんでつね。

「区間｣というのがちょっと引っかかるけどまあ言いたいことは分かる。
そのとおり。

＞Xが有理数全体の集合のとき，切断した区間が
＞開区間にせよ閉区間にせよ，A，Bどちらも最大数・最小数を持つことはないとか。

やっぱり「区間｣というのに引っかかりがあるけど
Qの切断は2型,3型,4型に限るということを言ってるってのと
そのことが「端点に着目してる｣んだろうなっておもたって感想を
いってるのだとしたらおｋ

＞切断というのは，XをA，Bに分類(A≠φ，B≠φ，A∩B=φ，X=A∪B)したときに
＞その境目は数直線上のどの位置にも設定できるから連続ってことを説明できるんですね。

この部分が何いってるのかわからんのです。
で>>236
239： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 21:58:23: AとBの要素は常にa＜bになっているから，
A＜Bだと思っていたんですけど・・。AとB自体は連続じゃなくて
どちらも「スカスカの棒」なんだけど，AとBのつなぎ目が連続だから
数直線上で2つの「スカスカの棒」をスライドしていけば連続になっている
んじゃないというふうな感じで。

>>238
(((（ ;ﾟДﾟ)))
240： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 22:01:22: >>236
Ｑは連続じゃない？！
新たに発覚した脅威の真実＿|￣|○
241：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/02(木) 22:05:30: おおっ盛り上がってんな

>>227
激しく同意ですね。興味がなければやっても仕方ないでしょうし。
もともとがどっから来てるのかってことが気になる人向きなんでしょうね。

>>231
1：9は極端だったかも・・・一揆が起きるって言うかそんなことしたらBの人ほとんど赤点じゃんｗ

>>232
かかろと氏も参戦！

>>240
こけ氏が言いたいのは「どんな有理数のすぐそばにも有理数がある」ってことじゃない？
それは「稠密」っていうらしいですよ
242： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 22:06:35: あ・・本当に連続って言葉は7㌻目には出てこない。
1-2の最後に「～ことを実数の連続性という」って書いてある。
243：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 22:07:45: >>239
リロードせずに書いたかなw

＞AとBの要素は常にa＜bになっているから，
＞A＜Bだと思っていたんですけど・・。

じゃあそもそもA<Bの定義ってなに？
もともとない表記法を独自に使いたいなら
妥当な定義を、与えないと。

後半はやっぱり分かりにくいなあ。好意に解釈すれば
君が何をイワンとしてるかはなあんとなく伝わってくるけど
やっぱり「連続とはなんぞや｣をまだ定義しないうちから
「連続｣を連発してるのが分かりにくくなってる原因かと。
さっきなあんとなく伝わるってかいたけど
ナントナクじゃなくってゲンミツに定義しようというのが
この節の目的ですよ。

>>240
「連続｣というコトバを自分流に解釈してるからだとおもわれ。
（まだでてきてないのに！)

>>242
精読してね。ゆっくりよんでね。
きついこといってるようだけど、悪意あるわけじゃないんで
気を悪くしないでね。
244： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 22:09:39: そうかあ。
有理数がどんなにたくさんあっても数直線上には穴が開いているんでしたけ。
数直線上には無理数があるから。
じゃあＱは連続じゃないですね。間違ってますた。
となると全部間違えて自己解釈してたくさいです。

>>241
Ｂコース希望です・・。
245：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 22:13:34: >>244
＞Ｂコース希望です・・。
じゃあここじゃなくって

　　ハイラー/ワナーを読む
　　http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1098628177/

の住人の方がいいかな。これ東大Bコースのテキストになってるんじゃなかったっけ？臺地。

ハイラーワナースレの次の原稿はいまかいてる最中でもうすぐできます。
今書いてるのはπの近似値がアルキメデス以来どんなふうに実際に行われてきたか
ってのを、かなーり面倒な計算例を挙げて書いております。

こっちのがいい？
246：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/02(木) 22:20:59: 言葉を自分流に解釈するのって悪くないと思うけどなぁ
でもどの言葉が厳密に数学的な意味で言ってて、どの言葉を直観的な頭のイメージで言ってるか
っていうのをはっきりさせておかないと、先生みたいな人には叱られてしまいますね。
何度も間違えて、そのたびに自己解釈を修正して、最終的に
｜ちゃんと理解してる人の考え方-自分の考え方｜<ε(時間→∞)になるもんだと思います。

>>245
Bコースのテキストにしてるクラスもあります。残念ながら∃にとどまり、∀ではありませんｗ
そういえばハイラーワナーも最近読んでないや・・
247：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 22:24:07: >>246
コトバを自分流に解釈すること事体は
むしろやらなくちゃいかんことでしょうけどね。
248： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 22:36:59: ふむふむ。もう1度ゆっくり読んでみます・・。
>>246-247
厳しいものがありまつね。でも叱られながらやらないと
身につかないものだとも思ふ。

＃Ｃコース希望。
249： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/02(木) 22:40:26: 僕の興味としてはＢコースよりこっちの方が強いんですね。
なんでかな。
250：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/02(木) 22:44:46: >>248
Cコースなんかねぇよｗ

>>249
やはり源流を知りたいってことじゃない？
たとえば脱税とか談合事件とかが見破られる発端とか気になったりしませんか？
(昔ﾗﾒﾝ氏にそれと数学は関係ないと断言されましたが・・・)
251：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/02(木) 23:36:32: >>248-249
では、Bコースの内容を一年二年という制限なしで
ゆっくりやっていくってのをCコースと名づけましょうかw
252： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/03(金) 01:29:04: >>250-251
Ｃコース=「しけぷりポエム」
しけぷりをポエムの暗唱として扱う特殊コース。
僕が発案しますた。
253： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/03(金) 01:43:50: 今ふと思ったんだけど，しけぷりの内容が間違ってたら
すごいことになりそう。そのときはお経の暗唱が必要に。
東大の長い歴史の中で過去にそんな事件の1つや2つはなかったのであろうか。
254：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:54:56: 3.合成函数の微分
y=f(x)を[x_0,x_1]で定義された函数,x=φ(t)を[t_0,t_1]で定義された函数とする.
任意の[t_0,t_1]に属するtに対してφ(t)∈[x_0,x_1]であるとする.
このときF(t)=f(φ(t))とおくとy=F(t)はtの函数であるが,
もしもf(x),φ(t)ともに連続であるとすると
s∈[t_0,t_1]なるsに対してt→sならφ(t)→φ(s),
このときf(φ(t))→f(φ(s))即ちF(t)→F(s)なのでy=F(t)も連続である.
定理
[x_0,x_1]で定義された函数y=f(x),[t_0,t_1]で定義された函数x=φ(t)がともに微分可能であり,
s∈[t_0,t_1]なるsに対してφ(t)∈[x_0,x_1]であるとする.
このときF(t)=f(φ(t))とおくとy=F(t)は[t_0,t_1]で微分可能であり,
dy/dt=dy/dx・dx/dt.

不完全な証明
tの変動を⊿tとすると,それに対応するxの変動は⊿x,
それに対応するyの変動は⊿yである.
このとき,
⊿y/⊿t=⊿y/⊿x・⊿x/⊿t.
⊿t→0とすると⊿x→0で⊿x/⊿t→dx/dt.
よってこのとき⊿y/⊿x→dy/dx,⊿y/⊿t→dy/dt.
即ちdy/dt=dy/dx・dx/dt.■?
255：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:55:25: 上の証明の不完全なところは⊿tがいろいろな値をとりながら0に近づく際,
⊿x=0となってしまうことがあるのに目をつぶっているところである.
>>165や>>167のε=ε(x,⊿x)は,もともとε=⊿y/⊿x-f'(x)として⊿x≠0で定義されたものである.
εはxを固定したとして,⊿xの函数であるが,lim_[⊿x→0]ε(x,⊿x)=0
であるのでε(x,0)=0として⊿x=0のときにも定義域を延長すると,⊿x=0のときも連続となる.
εをこのように延長された定義域で定義された函数とする.
定理を精密に証明しなおす.
256：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:55:43: 定理の証明
f(x)が微分可能であるので(x,⊿x)の関数ε_1(x,⊿x)で,
⊿y=f'(x)⊿x+ε_1(x,⊿x)・⊿xであり,
固定されたxに対してlim_[⊿x→0]ε_1(x,⊿x)=0
を満たすものが存在する.また,
φ(t)が微分可能であるので(t,⊿t)の関数ε_2(t,⊿t)で,
⊿x=φ'(t)⊿t+ε_2(t,⊿t)・⊿tであり,
固定されたtに対してlim_[⊿t→0]ε_2(t,⊿t)=0
を満たすものが存在する.
このとき,
⊿y=(f'(x)+ε_1(x,⊿x))(φ'(t)+ε_2(t,⊿t))・⊿t
=f'(x)φ'(t)・⊿t+ε_1(x,⊿x)φ'(t)・⊿t+ε_2(t,⊿t)f'(x)・⊿t+ε_1(x,⊿x)ε_2(t,⊿t)・⊿t
=f'(x)φ'(t)・⊿t+(ε_1(x,⊿x)φ'(t)+ε_2(t,⊿t)f'(x)+ε_1(x,⊿x)ε_2(t,⊿t))⊿t
で,⊿t→0とするとε_2(t,⊿t)→0で⊿x→0.
よってε_1(x,⊿x)→0.
したがって⊿t→0のとき
(ε_1(x,⊿x)φ'(t)+ε_2(t,⊿t)f'(x)+ε_1(x,⊿x)ε_2(t,⊿t))→0となるので
dy=f'(x)φ'(t)dt.■
257：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:56:06: 無限小
独立変数の一定の変動にしたがって0に収束する変数を無限小という.
例えばx→0のときのsin xは無限小である.
αもβも無限小であってβ/α→0であるとき,βをαより高位の無限小であるという.
即ちβ=εαとするとε→0である.
αよりも高位の無限小はみな一様にoαと書く.
β=oα,γ=oαであるとするとβ=ε_1α,γ=ε_2αにおいてε_1→0,ε_2→0.
よってβ+γ=(ε_1+ε_2)αにおいてε_1+ε_2→0であるからβ+γ=oα.
このことをoα+oα=oαとも書く.βとγとβ+γが相等しいわけではない.
uが有界とする.uεαでε→0とするとuε→0であるのでuoα=oα.
ε_1(uα+ε_2α)=ε_1uα+ε_1ε_2α=(ε_1u+ε_1ε_2)α
においてε_1→0,ε_2→0とするとε_1u+ε_1ε_2→0であるので
o(uα+oα)=oα.
258：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:56:25: これらの記号を用いると,
定理の証明は
⊿x=φ'(t)⊿t+o(⊿t),
⊿y=f'(x)⊿x+o(⊿x)
より
⊿y=f'(x)(φ'(t)⊿t+o(⊿t))+o(φ'(t)⊿t+o(⊿t))
=f'(x)φ'(t)⊿t+f'(x)o(⊿t)+o(φ'(t)⊿t+o(⊿t))
=f'(x)φ'(t)⊿t+o(⊿t)+o(⊿t)
=f'(x)φ'(t)⊿t+o(⊿t)
となる.
259：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:56:40: α,βが無限小でありβ/αが有界であるとき,
即ちβ=ωαとするとωが有界であるときβ=Oαと書き,αとβは同位の無限小であるという.
もしβ=oαであるとするとβ=ωαにおいてω→0であるからβ=Oαであるが,
β=Oαであるからといってβ=oαであるとは限らない.
例えばsin x=ω・2xにおいてx→0であるとするとω→1/2であるからωは有界であるが勿論ω→0ではない.
βがα^nと同位の無限小であるときβはαに関してn次の無限小であるという.
lim[x→0](x^2/sin^2x)=1であるのでx→0のときx^2はsin xに関して2次の無限小である.
記号o,Oは無限小に対してでなくても使える.
例えばlim_[x→∞](x/e^x)=0であるが,このことを
x→∞のときx=o(e^x)と書いたりする.
αが無限小であることはα=o(1)と表される.
一定の独立変数の変動に伴いεαとしたときε→0となればoα,
ωαとしたときωが有界であるならOαとするのである.
260：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:58:37: 一章一節の改訂版と二章三節を「て」
http://groups.msn.com/61m4frk8dd99uihb3fbshibfu7/page.msnw
にうｐ。
261：ＮＵＳＣ：2006/10/31(火) 18:41:15: φ，θがＣ2級でコーシーリーマン方程式を満たすなら、△φ＝０，△θ＝０（△はラプラシアン）であることを示せ。

この問題の解き方、どなたか教えていただけませんか？
262：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/11/01(水) 01:41:08: >>261
φ,θがコーシー・リーマンの方程式を満たすってのは
φ∈R^(R^2),θ∈R^(R^2)でC∋x+iy→φ(x,y)+iθ(x,y)∈Cが
φ_x=θ_y, φ_y=-θ_xを満たすってことですか？でしょうね。

えと。じゃあたとえばφがC^2ならφ_xy=φ_yx等が成り立つ
ってことを証明してほしいのですか？
263：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:08:45: 4.逆函数の微分法
区間[a,b]で定義された連続関数f(x)が与えられているとする.
定理>>117よりf(x)は最大値pと最小値qを持つ.
また定理>>115よりf(x)は[q,p]内のすべての値をとる.
さらにf(x)が狭義単調であるなら
[q,p]内の各値ηに対してf(ξ)=ηなる[a,b]内の値ξがひとつだけ定まる.
f(ξ)=f(λ)=η,ξ≠λであるとするとf(x)の単調性に反するからである.
したがってηに対してξを対応させる対応は函数となるが,
この函数をf(x)の逆函数という.

f(x)が単調でないとする.
i=1,2,3に対してf(x_i)=y_iと書くことにする.
例えばx_1<x_2<x_3,y_1<y_2>y_3であるなら,
y_2>η>max{y_1,y_3}なるηに対して,
区間(x_1,x_2)内にひとつ,区間(x_2,x_3)内にひとつf(x)=ηとなるxが存在する.
264：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:14:27: 定理　ある区間においてxの函数yが狭義単調であれば,
yの変動区域においてxはyの逆函数である.yが連続であればxも連続であり,
yが微分可能であればxも微分可能であり
　　　　　　　　　　(dy/dx)･(dx/dy)=1.
265：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:14:42: 証明　y=f(x),x=φ(y)とする.
yの変動区域内の任意の点をηとし,
{y_n}を値をyの変動区域内にとるηに収束する単調数列であるとする.
各y_nに対してy_n=f(x_n)となるx_nがとれるが,{x_n}も有界単調.
よって
　　　　　　　　　　lim[n→∞]x_n
が存在するが,
この点をξとおくとfが連続であることから,
　　　　　　　　　　η=lim[n→∞]y_n=lim[n→∞]f(x_n)=f(ξ).
よってφ(η)=ξ.
即ち
　　　　　　　　　　lim[n→∞]φ(y_n)
　　　　　　　　　　=lim[n→∞]x_n=ξ=φ(η),
即ちφも連続.
　　　　　　　　　　(⊿x/⊿y)=(1/(⊿y/⊿x))
が成り立つがここで⊿y→0のとき⊿x→0となるが,
このとき
　　　　　　　　　　dx/dy=1/(dy/dx)．
ただし,dy/dx=0となるところでは⊿x/⊿y→±∞.
(このことをdx/dy=±∞と書いたりもする.)■
266：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:19:18: 逆三角函数
1. arcsin
y=sin xは区間[(2n-1)π/2,(2n+1)π/2](nは整数)において狭義単調で,[-1,1]に値をとる.
よってnを一つの値に固定すれば逆函数が存在するが,これをarcsinと書く.
詳しくはarcsinの一つの枝という.これらarcsinの無数の枝のうち,
[-π/2,π/2]に値をとるものを主値といい,Arcsinと書く.

x=sin yとすれば,d sin y/dy=cos yより
　　　　　　　　　　d Arcsin x/dx=1/cos y=1/±√(1-x^2),
主値に関しては
　　　　　　　　　　-π/2≦y≦π/2だからcos y≧0.
よって
　　　　　　　　　　d Arcsin x/dx=1/√(1-x^2).
267：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:21:11: 2. arctan
y=tan xは区間[(2n-1)π/2,(2n+1)π/2](nは整数)において狭義単調で,(-∞,∞)に値をとる.
よってnを一つの値に固定すれば逆函数が存在するが,これをarctanと書く.
詳しくはarctanの一つの枝という.これらarctanの無数の枝のうち,
[-π/2,π/2]に値をとるものを主値といい,Arctanと書く.
x=tan yとすれば,
　　　　　　　　　　d tan y/dy=1/cos^2y
より
　　　　　　　　　　d Arctan x/dx=cos^2y=1/(1+x^2).
268：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:23:58: 3. arccos
　　　　　　　　　　y=arcsin√(1-x^2)
　　　　　　　　　⇔sin y=√(1-x^2)
　　　　　　　　　⇔sin^2y=1-x^2
　　　　　　　　　⇔x^2=cos^2y.
よってarcsinの値を主値にとれば,
グラフは(-1,0),(0,, {π/2}),(1,0)の3点をとおり,点(0,π/2)で尖っている.
arcsinの値を-1≦x≦0では[π/2,3π/2]に,0≦x≦1では主値にとれば,
グラフは
　　　　　　　　　　(-1,π),(0,π/2),(1,0)
の3点を通る滑らかな曲線になる.
これは,値を[0,π]にとったときのarccos xの枝である.
arcsinの値を-1≦x≦0では主値に,0≦x≦1では[π/2,3π/2]にとれば,
グラフは
　　　　　　　　　　(-1,0),(0,π/2),(1,π)
の3点を通る滑らかな曲線になる.
これは,値を[0,π]にとったときのarccos(-x)の枝である.
269：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:26:01: 　　　　　　　　　　d Arcsin√(1-x^2)/dx
　　　　　　　　　=1/√(1-(√(1-x^2))^2)･(-x/√(1-x^2))
　　　　　　　　　=(-x/|x|)･(1/√(1-x^2)).
x=0では,D^+(Arcsin√(1-x^2))=-1,D^-(Arcsin√(1-x^2))=1.
270：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:29:21: 4. arccot
　　　　　　　　　　y=arctan(1/x)
　　　　　　　　　⇔tan y=1/x
　　　　　　　　　⇔x=cot y.
arctanの値を主値にとれば,グラフは
　　　　　　　　　　(-3,-π/6),(-1,-π/4),(0,-π/2)
を通る断片と
　　　　　　　　　　(0,π/2),(1,π/4),(3,π/6)
を通る断片を併せたx=0で不連続となるものである.

arctanの値をx≦0では(π/2,3π/2)に,x>0では主値にとれば,
グラフは
　　　　　　　　　　(-√3,5π/6),(-1,3π/4),(0,π/2),(1,π/4),(√3,π/6)
を通る滑らかな曲線になる.
これは値を(0,π)にとったときのArccot xの枝である.
arctanの値をx≦0では主値に,x>0では(-3π/2,-π/2)にとれば,
グラフは
　　　　　　　　　　(-√3,-π/6),(-1,-π/4),(0,-π/2),(1,-3π/4),(√3,-5π/6)
を通る滑らかな曲線になる.
これは値を(-π,0)にとったときのArccot xの枝である.
271：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:33:23: 例. y=arcsin2x√(1-x^2).
　　　　　　　　　　y=arcsin2x√(1-x^2)
　　　　　　　　　⇔sin y=2x√(1-x^2)
　　　　　　　　　⇔2sin(y/2)cos(y/2)=2x√(1-x^2)
　　　　　　　　　⇔sin(y/2)√(1-sin^2(y/2))=x√(1-x^2).
よって
　　　　　　　　　　sin^2(y/2)(1-sin^2(y/2))=x^2(1-x^2)
　　　　　　　　　⇔x^4-x^2+sin^2(y/2)-sin^4(y/2)=0
　　　　　　　　　⇔(x^2-sin^2(y/2))(x^2+sin^2(y/2))-(x^2-sin^2(y/2))=0
　　　　　　　　　⇔(x^2-sin^2(y/2))(x^2+sin^2(y/2)-1)=0
　　　　　　　　　⇔(x^2-sin^2(y/2))(x^2-cos^2(y/2))=0.
arcsinの値を主値にとれば,
　　　　　　　　　　-1≦x≦-(√2/2)でx=-cos(y/2),
　　　　　　　　　　-(√2/2)≦x≦(√2/2)でx=sin(y/2),
　　　　　　　　　　√2/2≦x≦1でx=cos(y/2).
272：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:51:10: 5.指数函数および対数函数
底aをa>1とすれば,指数函数a^xは-∞<x<∞で連続かつ単調増加であることは
>>108-113ですでに見た.
任意の正数Mに対してx_0=log[a]Mとおけば,x>x_0を満たすすべての実数xに対して
　　　　　　　　　　a^x>a^(x_0)=M
であるので
　　　　　　　　　　lim[x→∞]a^x=∞.
これより
　　　　　　　　　　lim[x→∞]a^(-x)=lim[x→∞](1/(a^x))=0.
よってa^xは0<a^x<∞.
273：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:51:37: h>0に対しては,
　　　　　　　　　　(a^(x+h)-a^x)/h
　　　　　　　　　　=a^x･((a^h-1)/h)
　　　　　　　　　　=a^x･(1/(1/(a^h-1)))･(log[a]a^h)
　　　　　　　　　　=a^x･(1/(1/(a^h-1)))･(log[a](1+(a^h-1)))
　　　　　　　　　　=a^x･(1/(log[a](1+(a^h-1))^(1/(a^h-1)))).
>>108-113において指数函数は連続であることを示したので
　　　　　　　　　　lim[x→0]a^x=a^0=1.
よって
　　　　　　　　　　lim[x→0](a^x-1)=0
となるので
　　　　　　　　　　lim[h→0]((a^(x+h)-a^x)/h)
　　　　　　　　　　=a^x･(1/log[a]e)=a^xlog[e]a.
274：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:51:57: h<0なら
　　　　　　　　　　(a^{x+h}-a^x)/h
　　　　　　　　　　=a^x･((a^h-1)/h)
　　　　　　　　　　=a^x･((a^(-(-h))-1)/(-(-h)))
　　　　　　　　　　=-a^x･((1-a^(-h))/(-h))･(1/(a^(-h)))
　　　　　　　　　　=a^x･((a^(-h)-1)/(-h))･(1/a^(-h))
より
　　　　　　　　　　lim[h→0]((a^(x+h)-a^x)/h)
　　　　　　　　　　=a^xlog[e]a･(1/a^(-0))
　　　　　　　　　　=a^xlog[e]a.
以上より
　　　　　　　　　　d(a^x)/dx=a^xlog[e]a.
275：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:52:16: 底aを0<a<1とすると,
　　　　　　　　　　a^x=((1/a))^(-x)
であるので
　　　　　　　　　　d(a^x)/dx
　　　　　　　　　　=-((1/a)^(-x))log[e](1/a)
　　　　　　　　　　=a^xlog[e]a.
特にa=eとすれば
　　　　　　　　　　d(e^x)/dx=e^x.
定理>>264よりa>0,x>0のとき
　　　　　　　　　d(log[a]x)/dx=1/(xlog[e]a),
　　　　　　　　　d(log[e]x)/dx=1/x.
底がeである対数函数はかくのごとく便利がよい.
以下単にlogと書けば底はeであるとする.このeを底とする対数を自然対数といい,
log nat,lnなどと書く.
276：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/24(日) 04:52:38: x<0に対して,
　　　　　　　　　D(log(-x))=(-1)/(-x)=1/x
であるのでxが負の場合もこめて
　　　　　　　　　Dlog|x|=1/x.