『解析概論』輪読

182：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:40:29: 高木函数

p(x)を0≦x≦1で定義された関数p(x)=1-|1-2x|,
2以上の自然数nに対して
p^n(x)=(p･p^(n-1))(x)　(･は合成を表す)
とする.
このとき0≦x≦1を満たす各実数xに対して数列
��[k=1→n](1/2^k)p^k(x)
は収束する.
実際,0≦x≦1で0≦p(x)≦1であるから,
帰納的にすべての自然数nで0≦p^n(x)≦1.よって
0≦��[k=1→n](1/2^k)p^k(x)≦��[k=1→n]{1/2^k}=1.
定理>>121より各xに対して数列は収束する.
したがって0≦x≦1なる実数xに対して
��[n=1→∞](1/2^n)p^n(x)は確定する.
0≦x≦1で定義された函数
f(x)=��[n=1→∞](1/2^n)p^n(x)
を高木函数という.

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