『解析概論』輪読

263：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:08:45: 4.逆函数の微分法
区間[a,b]で定義された連続関数f(x)が与えられているとする.
定理>>117よりf(x)は最大値pと最小値qを持つ.
また定理>>115よりf(x)は[q,p]内のすべての値をとる.
さらにf(x)が狭義単調であるなら
[q,p]内の各値ηに対してf(ξ)=ηなる[a,b]内の値ξがひとつだけ定まる.
f(ξ)=f(λ)=η,ξ≠λであるとするとf(x)の単調性に反するからである.
したがってηに対してξを対応させる対応は函数となるが,
この函数をf(x)の逆函数という.

f(x)が単調でないとする.
i=1,2,3に対してf(x_i)=y_iと書くことにする.
例えばx_1<x_2<x_3,y_1<y_2>y_3であるなら,
y_2>η>max{y_1,y_3}なるηに対して,
区間(x_1,x_2)内にひとつ,区間(x_2,x_3)内にひとつf(x)=ηとなるxが存在する.

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