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『解析概論』輪読

256：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:55:43
定理の証明
f(x)が微分可能であるので(x,⊿x)の関数ε_1(x,⊿x)で,
⊿y=f'(x)⊿x+ε_1(x,⊿x)・⊿xであり,
固定されたxに対してlim_[⊿x→0]ε_1(x,⊿x)=0
を満たすものが存在する.また,
φ(t)が微分可能であるので(t,⊿t)の関数ε_2(t,⊿t)で,
⊿x=φ'(t)⊿t+ε_2(t,⊿t)・⊿tであり,
固定されたtに対してlim_[⊿t→0]ε_2(t,⊿t)=0
を満たすものが存在する.
このとき,
⊿y=(f'(x)+ε_1(x,⊿x))(φ'(t)+ε_2(t,⊿t))・⊿t
=f'(x)φ'(t)・⊿t+ε_1(x,⊿x)φ'(t)・⊿t+ε_2(t,⊿t)f'(x)・⊿t+ε_1(x,⊿x)ε_2(t,⊿t)・⊿t
=f'(x)φ'(t)・⊿t+(ε_1(x,⊿x)φ'(t)+ε_2(t,⊿t)f'(x)+ε_1(x,⊿x)ε_2(t,⊿t))⊿t
で,⊿t→0とするとε_2(t,⊿t)→0で⊿x→0.
よってε_1(x,⊿x)→0.
したがって⊿t→0のとき
(ε_1(x,⊿x)φ'(t)+ε_2(t,⊿t)f'(x)+ε_1(x,⊿x)ε_2(t,⊿t))→0となるので
dy=f'(x)φ'(t)dt.■
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