『解析概論』輪読

265：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/05(火) 04:14:42: 証明　y=f(x),x=φ(y)とする.
yの変動区域内の任意の点をηとし,
{y_n}を値をyの変動区域内にとるηに収束する単調数列であるとする.
各y_nに対してy_n=f(x_n)となるx_nがとれるが,{x_n}も有界単調.
よって
　　　　　　　　　　lim[n→∞]x_n
が存在するが,
この点をξとおくとfが連続であることから,
　　　　　　　　　　η=lim[n→∞]y_n=lim[n→∞]f(x_n)=f(ξ).
よってφ(η)=ξ.
即ち
　　　　　　　　　　lim[n→∞]φ(y_n)
　　　　　　　　　　=lim[n→∞]x_n=ξ=φ(η),
即ちφも連続.
　　　　　　　　　　(⊿x/⊿y)=(1/(⊿y/⊿x))
が成り立つがここで⊿y→0のとき⊿x→0となるが,
このとき
　　　　　　　　　　dx/dy=1/(dy/dx)．
ただし,dy/dx=0となるところでは⊿x/⊿y→±∞.
(このことをdx/dy=±∞と書いたりもする.)■

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