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『解析概論』輪読
184
:
Мечислав(☆12)
◆QRDTxrDxh6
:2006/02/16(木) 03:41:04
nを自然数,qを2^nより小さい正の奇数,kを0<k<1を満たす実数とすると
p(q/2^n)=q/2^(n-1)であるなら
p((q+k)/2^n)=((q+k)/2^(n-1),
p(q/2^n)=(2^n-q)/2^(n-1)であるなら
p((q+k)/2^n)=(2^n-q-k)/2^(n-1).
よって-2≦m≦2を満たす整数mを用いて
f((q+k)/2^n)=f(q/2^n)+(mk/2^n)
と書ける.
p^n((q+k)/2^n)=1-kであるから任意の自然数lに対して,
f((q+2^(-l+ν))/2^n)=f(q/2^n)+(2^(-l+ν)l/2^n)
を満たす自然数νが存在する.
したがってf(x)はx=q/2^nで微分可能でない.
qが偶数であっても同様にf(x)がx=q/2^nで微分可能でないこともわかる.
rを0<r<2^nをみたす実数とすると,任意の正数εに対して
自然数m,νを選べばr/2^n=(ν+ε)/2^mとできるので
f(x)はx=r/2^nで微分可能でないこともわかる.
以上により高木函数は定義域内のいたるところで微分不可能な連続函数
である例になっていることが分かった.
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