『解析概論』輪読

254：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/09/05(火) 03:54:56: 3.合成函数の微分
y=f(x)を[x_0,x_1]で定義された函数,x=φ(t)を[t_0,t_1]で定義された函数とする.
任意の[t_0,t_1]に属するtに対してφ(t)∈[x_0,x_1]であるとする.
このときF(t)=f(φ(t))とおくとy=F(t)はtの函数であるが,
もしもf(x),φ(t)ともに連続であるとすると
s∈[t_0,t_1]なるsに対してt→sならφ(t)→φ(s),
このときf(φ(t))→f(φ(s))即ちF(t)→F(s)なのでy=F(t)も連続である.
定理
[x_0,x_1]で定義された函数y=f(x),[t_0,t_1]で定義された函数x=φ(t)がともに微分可能であり,
s∈[t_0,t_1]なるsに対してφ(t)∈[x_0,x_1]であるとする.
このときF(t)=f(φ(t))とおくとy=F(t)は[t_0,t_1]で微分可能であり,
dy/dt=dy/dx・dx/dt.

不完全な証明
tの変動を⊿tとすると,それに対応するxの変動は⊿x,
それに対応するyの変動は⊿yである.
このとき,
⊿y/⊿t=⊿y/⊿x・⊿x/⊿t.
⊿t→0とすると⊿x→0で⊿x/⊿t→dx/dt.
よってこのとき⊿y/⊿x→dy/dx,⊿y/⊿t→dy/dt.
即ちdy/dt=dy/dx・dx/dt.■?

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