『解析概論』輪読

117：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/21(金) 06:36:19: 定理　有界な閉集合K上で定義された連続函数f(P)は最大値と最小値を持つ.

証明　{f(P);P∈K}が上に有界でないとするとf(P_1)>0,P_1∈KなるP_1が存在する.
このP_1に対してf(P_2)>2f(P_1),P_2∈KなるP_2が存在する.
このP_2に対してf(P_3)>2f(P_2),P_3∈KなるP_3が存在する.
この操作を繰り返してKに属する無数の点{P_n;n∈N}がとれる.
>>53の二つ目の命題より点列{P_n}は収束する部分列{P_(n_k)}をもつ.
\lim_{k→∞}P_(n_k)=P_0とおくとKは閉集合であるのでP_0∈Kであるが,
f(P)が連続であるから命題>>94より\lim_{k→∞}f(P_(n_k))=f(P_0).
しかしf(P_(n_k))>2^((n_k)-1)f(P_1)となるのでこれは矛盾.
したがって{f(P);P∈K}は上に有界.
下に有界であることも同様に示される.
定理>>6より{f(P);P∈K}は上限Mと下限mを持つ.
f(P)=Mを満たすP∈Kが存在しないとしてg(P)=1/(M-f(P))とおくとg(P)は連続であるが,
Mが上限であることから有界閉集合Kで定義されたg(P)は{g(P);P∈K}が
非有界であることになってしまい不合理.よって
f(P)=MなるP∈Kが存在する.f(R)=mなるmの存在も同様に示される.
このM,mがf(P)のKにおけるそれぞれ最大値,最小値である.■

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