『解析概論』輪読

181：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/02/16(木) 03:40:06: 定理
微分可能であることは連続であるための十分条件ではあるが必要条件ではない.

証明
uが微分可能であるとすると命題>>165よりε=(⊿y/⊿x)-u'(x)とおくことにより
⊿u=u'(x)⊿x+ε⊿xでありlim[⊿x→0]ε=0となるので⊿x→0なら⊿u→0.
即ちuは連続.
x≠0でf(x)=x sin(1/x),f(0)=0とおく.
x≠0においてはxもsin(1/x)も連続であるからf(x)は連続.
|f(x)|<|x|であるからlim[x→0]f(x)=f(0).
即ちx=0においてもf(x)は連続である.
しかし(f(h)-f(0))/h=sin(1/h)
であるのでたとえば
h_n=2/((2n-1)π)とおくとlim[n→∞]h_n=0だが
lim[n→∞]sin(1/h_n)=1,
k_n=1/nπとおくとlim[n→∞}k_n=0だが
lim[n→∞]sin(1/k_n)=0.
したがってlim[h→0]sin(1/h)は存在しない.
即ちf(x)はx=0では微分可能でない.■

新着レスの表示

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板