「集合・位相入門」輪読会 - 1078049875

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
812：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/28(木) 22:43: >>808
すいません雑です
他にも突っ込みどころがあればお願いします
813：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 00:32: >>809
(A×B)×CとA×(B×C)とA×B×Cは別の集合では？

A×Φ⊂Φを示してください。

(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)は示すか,リンク先を書いてください。
814：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 00:51: >>810
>>811
完璧に納得。

>>811のような写像の作り方、この手の定理の証明につきものですね。
815：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 00:59: (A×B)×C～A×B×C～A×(B×C)でした

http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/p0
の17でどうでしょう

直観的に明らかだと思うんですが
記号での証明がうまくいきません・・
816：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 03:04: (a,b)∈(A∪Ｂ)×C⇔(a∈A∪B)∧(b∈C)⇔((a∈A)∨(a∈B))∧(b∈C)
⇔((a∈A)∧(b∈C))∨((a∈B)∧(b∈C))
⇔((a,b)∈A×C)∨((a,b)∈B×C)⇔(a,b)∈(A×Ｃ)∪(B×C)
817：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 03:38: >>816
なるほど～
818：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 06:37: (A×B)×CからA×(B×C)への写像fをf((a,b),c)=(I_A,(I_B,I_C))　(a∈A,b∈B,c∈C)
とすればfは明らかに全単射。よって(A×B)×C～A×(B×C)。

一番上はこんなんでいいですか？
819：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 11:08: >>818
f((a, b), c)=(a, (b, c))ですね。
f((a,b),c)=(I_A,(I_B,I_C))だとfが(A×B)×CからA^A×(B^B×C^C)への写像になってしまう。
820：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 16:53: f(a,b,c)=(I_A(a),(I_B(b),I_C(c)))ならばおｋですか？
f(a,b)=(b,a)とf(a,b)=f(I_B(b),I_A(a))は別物ですか？
821：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 17:24: >>820
おｋです。
おなじです。
822：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 17:33: >>821
最初に書いたf((a,b),c)=(I_A,(I_B,I_C))だと
そもそも写像なのか(定値写像？)なんなのかわからないという
ことですか？
823：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/29(金) 18:02: >>822
そうです。
そうかくとfは
すべての(A×B)×Cの元((a, b), c)を一つの決まった
(I_A,(I_B,I_C))というA^A×(B^B×C^C)の元に写す
定値写像という意味になってしまいます。
824：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/10/29(金) 18:38: 納得しました
825：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 04:47: Ｂ)濃度の冪
m,nがともに1以上の濃度であるとします.cardA=m,cardB=nなる集合A,Bがとれますが
このときA^Bの濃度を冪m^nと定義します.この定義がwell-definedであることを言うためには
A～A',B～B'ならA^B～A'^B'がいえなきゃなんないけど,u∈A'^A,v∈B^B'なる全単射u,vをとっておいて
(A'^B')^(A^B)の元ΦをΦ(f)=ufvとおくと,任意のg∈A'^B'にたいしてu^{-1}gv^{-1}∈A^Bで
Φ(u^{-1}gv^{-1})=uu^{-1}gv^{-1}v=g.だからΦは全射,
Φ(k)=Φ(h)⇔ukv=uhv⇔u^{-1}ukvv^{-1}=u^{-1}uhvv^{-1}⇔k=hだからΦは単射だからおｋです.
m,nが自然数のときのm^nと濃度の冪としてのm^nが一致することは既に見ました.(>>471)

(3.10)　n^1=n,1^m=1

証明:前半:cardA=nなる集合Aと集合{1}をとる.Φ∈(A^{1})^Aを各λ∈Aに対して
Φ(λ)=f_λ,f_λ(1)=λと定義するとすべてのA^{1}の元gに対してg(1)∈Aが存在して
Φ(g(1))=f_(g(1)).f_(g(1))(1)=g(1)だからf_(g(1))=g.よってΦは全射.
Φ(λ)=Φ(η)⇔f_λ=f_η⇔λ=ηよりΦは単射.よってA^{1}～A.
後半:cardB=mなる集合Bと集合{1}をとる.h∈{1}^Bとすると,すべてのBの元bに対して
h(b)=1,これは{1}^Bの元ならどんなものにでもいえる性質であるので{1}^Bは値1をとる
定値写像のみからなる集合である.よって{1}^B～{1}.■
826：我疑う故に存在する我：2004/10/31(日) 14:21: 　　　　　　　　　 ...,､ -　､∞
　　　　　　,､ '　ヾ　、;;;;;;;　丶,､ -､
　　　　／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　 |　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　イ　　∫　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　▽　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　／ヾ_　　◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
とは云わない
827：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 16:19: (3.11)m≦m',n≦n'⇒m^n≦m'^n'

証明:cardA=m,cardA'=m',cardB=n,cardB'=n'なる集合A,A',B,B'をとる.
m≦m',n≦n'より全射u∈A^A'と単射v∈B'^Bが存在する.
(B'^A')^(B^A)の元ΦをΦ(f)=vfuと定義すると
Φ(f)=Φ(g)⇔vfu=vgu.このとき>>569よりv'v=I_B,uu'=I_Aなるv'∈B^B',u'∈A'^Aが存在する.
よってf=g,即ちΦは単射.■

次の定理は,濃度の冪についていわゆる指数法則が成り立つというものです.

定理１０　0でない任意の濃度m,n,pに対して
(3.12)p^mp^n=p^(m+n)
(3.13)(mn)^p=m^pn^p
(3.14)(p^m)^n=p^(mn)

証明:集合A,B,CをcardA=m,cardB=n,cardC=p,A∩B=Φを満たす集合とする.
(3.12):Φ_1∈((C^A×C^B)^(C^(A∪B))をΦ_1(f)=(f|A,f|B)と定義すると
任意のC^A×C^Bの元(g,h)に対してk∈C^(A∪B)をk(x)=f(x) if x∈A,k(x)=g(x) if x∈B
で定義するとΦ_1(k)=(g,h).よってΦは全射.
Φ_1(u)=Φ_1(v)⇔(u|A,u|B)=(v|A,v|B)⇔u=vよりΦ_1は単射.
828：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 18:16: (3.13)(mn)^p=m^pn^p
(3.14)(p^m)^n=p^(mn)
(3.13):Φ_2∈(A^C×B^C)^((A×B)^C)をΦ_2(f)=(pr_Af,pr_Bf)と定義すると
任意のA^C×B^Cの元(g,h)に対してk∈(A×B)^Cをk(c)=(g(c),h(c))なる写像kが存在し,
Φ_2(k)=(g,h).よってΦ_2は全射.
Φ_2(u)=Φ_2(v)⇔(pr_Au,pr_Bu)=(pr_Av,pr_Bv)⇔u=vよりΦ_2は単射.

(3.14):Φ_3∈((C^B)^A)^(C^(A×B))を次のように定義する.
任意のC^(A×B)の元fに対してΦ_3(f)∈(C^B)^AをΦ_3(f)(a)=f(a,･).
ここで記号f(a,･)はC^Bの元でf(a,･)(b)=f(a,b)であるものとする.
このとき任意のg∈(C^B)^Aに対してh(a,b)=g(a)(b)でh∈C^(A×B)を定義すると
Φ_3(h)=g.よってΦ_3は全射.
Φ_3(u)=Φ_3(v)ならば任意の(a,b)∈A×Bに対してu(a,b)=v(a,b)なのでu=v.
よってΦ_3は単射.■
829：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 18:29: >>557で述べたようにΠ[λ∈Λ]B_λですべてのλでB_λ=Bであったとすると
ΠB_λ=B^Λとなります.ですからこのときcard(ΠB_λ)=(cardB)^(cardΛ)で,
これは標語的に言えば
m"個"のものをn"回"かければm^n
であることを表しています.
またAの冪集合は>>472で触れたとおり{0,1}^Aと対等です.このことが
Aの冪集合を2^Aと書き表す根拠となっていました.card(2^A)=2^(cardA)です.
したがって定理８(>>793)を簡単に述べればm<2^mとなります.
830：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/31(日) 19:13: ｺﾝﾊﾞﾝﾊ
いきなり質問で恐縮ですが
上のｆ｜Ａとかｖ｜Ａはどういう意味の記号なんでしょうか
831：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/10/31(日) 19:16: >>830
あ、出てきたと思ってた。えっとf|Aはfの定義域をAに制限した写像です。
832：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/10/31(日) 20:42: 出てきてた。失礼した
833：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/02(火) 07:44: (3.15)　2^m>m
についての言及がないようだけど先に進めていいの？
834：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/02(火) 13:18: >>833
>>829の最後の三行に書いたつもりですが。
835：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/03(水) 20:58: >>825-827
納得です。
細かいですが、
>>827
下から3行目f(x)→g(x)、g(x)→h(x)では？
>>828
m=cardB,n=cardAですか？
836：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/03(水) 21:01: >>825-829の間違いでした。

(3.14)が今1つよくわからないです・・・
837：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/04(木) 01:19: >>835
>>827のご指摘そのとおりです。すみません
>>828のご指摘
Φ_3の属する集合、((C^B)^A)^(C^(A×B))∈((C^B)^A)^(C^(B×A))
に換えて読んでみてください。
838：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 07:31: >>834
見落としすまん
LAR-men殿の疑問が解決したら次に進ませてもらいまつ
839：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/04(木) 11:17: >>838
おｋです
Cお願いできますか？
840：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/04(木) 13:45: 訂正の訂正。>>837下から二行目、
×　Φ_3の属する集合、((C^B)^A)^(C^(A×B))∈((C^B)^A)^(C^(B×A))
○　Φ_3の属する集合、((C^B)^A)^(C^(A×B))を((C^B)^A)^(C^(B×A))
841：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:15: C)　濃度ℵฺo、ℵฺに関する演算
可算の濃度ℵฺo=a, 連続の濃度ℵฺ=cとしてそれらの演算を考える。

定理11　濃度a,cに関して次のことが成り立つ。
(3.16) n≦a⇒n+a=a　（特にa+a＝a)
(3.17) n≦c⇒n+c=c　（特にa+c=c+c=c）
(3.18) 1≦n≦a⇒na=a　(特にaa=a)
(3.19) 2≦n≦a⇒n^a＝c　（特に2^a=a^a=c)
(3.20) 1≦n≦c⇒nc=c　（特にac=cc=c)
(3.21) 2≦n≦c⇒2^c=n^c　（特に2^c=a^c=c^c)
842：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:18: 証明
(3.16)(3.18)の証明は>>775定理５でｶﾞｲｼｭﾂ
(3.17)の証明　実数の区間A=(-1,0),B=[0,1)をとればA∩B=φ、cardA=cardB=c
このとぃA∪B=(-1,1)だからcard(A∪B)＝c
ゆえにc+c=c
またc≦n+c≦c+c＝ｃだからｎ+c＝ｃ
843：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:19: (3.19)の証明　3段階に分けて証明する
[i] ２≦n≦aのとき２＾a≦n^a.　またn^a≦(2^n)^a≦2^(na)＝2^a.　よって2^a=n^a
[ii] 実数の区間J=(0,1)に属する任意の実数αは
（有限小数については末尾に0が無限個並ぶ記法で表すことにすれば）
α＝0.a_1a_2a_3...と一意に10進小数展開することができる。
a_i∈{0,1,...,9}だから(a_n)_{n∈N}∈{0,1,...,9}^Nと考えることができる。
しかもJの異なる現には異なる十進展開が対応するから即ち異なる(a_N)が対応することになる。
したがってf:J∋α→(a_n)∈{0,1,...,9}^Nは単射で、c=cardJ≦card{0,1,...,9}^N=10^a.
[iii] すべての項が1か2であるような数列(b_n)_{n∈N}∈{1,2}^Nに対して
十進小数0.a_1a_2a_3...はJの1つの元βを表し、
異なる(b_n)には異なるβが対応するからg:{1,2}^N∋(b_n)→β∈Jは単射
ゆえに2^a=card{1,2}^N≦cardJ=c

[i]～[iii]より2≦n≦a⇒n^a=c
844：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:24: （3.20）の証明　(3.19)よりc=2^aだからcc=2^a2^a=2^(a+a)=2^a=c
1≦n≦cならばc≦nc≦cc＝ｃよってｎｃ＝ｃ

(3.21)の証明　2≦n≦cなら2^c≦n^cは(3.11)から明らか
また(3.11)(3.15)(3.20)からn^c≦(2^n)^c＝2^nc＝2^c
ゆえに2^c=n^c
845：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/04(木) 23:28: これらからN×R～R×R～2^N～N^N～Rですべて濃度はc=ℵฺであることがわかる
また濃度2^cはしばしばfで表される
f＝card(R^R).
これにて§3終わり
846：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/05(金) 02:34: >>841->>845
担当ありがとうございました。
おおむね納得です。
えと、できますれば以前出てきた何を引用したのかを
明記していただければと思います。
たとえば>>842の最後の行では
ベルンシュタインの定理を使ってますので
できたらお書き添えください。
私もときどき忘れますから、お気づきでしたらご注意
賜りたく存じます。

また、担当していただければ幸いです。
848：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/05(金) 07:35: >>846
なかなか有意義な作業だった。またやらせてください。
ところでﾍﾞﾙﾝｼｭﾀｲﾝの定理は842のどこで使ってるというのでしょうかよくわかりません
849：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/06(土) 02:26: >>848
是非また担当してください。

c≦n+cとn+c≦cからn+c=cを結論付けてるわけですから。
濃度でこれをやってもいいってことを保障するのがベルンシュタインですよね。
850：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/06(土) 10:38: >>849
なるほどその通りだ。勉強になるな。
851：まぼ：2004/11/07(日) 20:51: 教科書買わずにこのスレ読むだけでも理解できそうですかね？
結構興味あります。

僕代数系も中途半端なのに・・・orz
852：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/07(日) 22:52: >>851
>>8にも書いてありますが、テキスト持ってない人にもわかる説明
ってのが原則です。
わからない事はレスアンカーつけて質問してください。
853：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/08(月) 16:12: >>841-845
乙であります
ついに第3章突入ですが§１の担当どうしましょう？
854：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/08(月) 16:25: >>853
A）B）で一人、C)で一人、D)E)で一人っていう感じですが。
皆さんでお決めくだされば私は残り物を担当します。
855：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/09(火) 02:29: ではＣ）で
856：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/10(水) 08:38: 漏れＤとＥやっていい？
857：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 11:09: ではのこりA）,B)を僕が。
858：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 14:42: 第３章　順序集合, Ｚｏｒｎの補題
§１　順序集合
Ａ）　順序関係
集合Aにおける関係Oが次の(1),(2),(3)をみたすとき,OをAにおける順序関係
または単に順序(order)といいます.
(1.1)　∀a∈A,　aOa.
(1.2)　∀(a,b)∈A×A,　aOb∧bOa⇒a=b.
(1.3)　∀(a,b,c)∈A×A×A,　aOb∧bOc⇒aOc.

(1.1),(1.2),(1.3)をそれぞれ反射律,反対称律,推移律といいます.
Oは反射的かつ反対称的かつ推移的ともいいます.
(1.1),(1.2),(1.3)を全部合わせたものを順序の公理といいます.

例１.　N,Z,Q,Rにおける大小関係≦は順序である.実際,≦は,
a∈N(resp.Z,Q,and R)に対してa=aだからa≦aであり反射的,
(a,b)∈N×N(resp.Z×Z,Q×Q,and R×R)に対してa≦bかつb≦aならば
(a<bまたはa=b)かつ(b<aまたはb=a)だから(a<bかつb<a)またはa=b,
即ちa=bであり反対称的,
(a,b,c)∈N×N×N(resp.Z×Z×Z,Q×Q×Q,and R×R×R)に対して
a≦bかつb≦cならば(a<bまたはa=b)かつ(b<cまたはb=c)だから
a<cまたはa=cまたはa<cまたはa=c即ちa≦cであり推移的である.
859：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 14:42: 例２.　自然数bが自然数aで割り切れることをa|bと書くことにすると,
|はNにおける順序である.実際,|は,
a∈Nに対してa=a･1だからa|aであり反射的,
(a,b)∈N×Nに対してa|bかつb|aならば∃p∈N;b=paかつ∃q∈N;a=qb
だからb=pqbとなりp=q=1.すなわちa=bであり反対称的,
(a,b,c)∈N×N×Nに対してa|bかつb|cならば∃p∈N;b=paかつ
∃q∈N;c=qbだからc=qpaかつqp∈Nなのでa|cであり推移的である.

例３.　任意の集合系Ｍにおける包含関係⊂は順序である.実際,⊂は,
A∈Ｍに対してA=AだからA⊂Aであり反射的,
(A,B)∈Ｍ×Ｍに対してA⊂BかつB⊂Aであるならば集合の相等の定義
よりA=Bであり反対称的,
(A,B,C)∈Ｍ×Ｍ×Ｍに対してA⊂BかつB⊂Cであるとすると,
任意のAの元xはA⊂BによりBの元であり,任意のBの元はB⊂Cにより
Cの元であるのでx∈C,即ちA⊂Cであり推移的.
860：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 14:43: 一般に順序は≦で書き表す習慣がありますので,
本スレッドでもこれに従いましょう.つまり記号≦を数の大小関係のみならず,
一般的な議論をするときの順序にも流用するわけです.
さらに大小関係にまつわるさまざまな用語も流用することにしましょう.
即ち,「以上」「以下」「越えない」などの用語を一般的な順序においても
使いたいのです.(必ずしも数の大小を意味しない)≦を(必ずしも数の集合でない)
集合Aの順序とし,(a,b)∈A×Aとしたとき
a≦b
であることを「aはb以下である」「bはa以上である」「bはaを超えない」と
読むことを許してもらいたいのです.言葉遣いの便宜上.
さらに,a≦bかつa≠bであることをa<bとかきこれも大小の用語を流用して
「aはbより小さい」「bはaより大きい」「aはbより前にある」「bはaより後にある」
などという言葉遣いをさせてください.
861：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 14:43: ≦が集合Aの順序関係であるとき次の(1.4),(1.5)が成り立ちます.
(1.4)　a<b⇒￢(b<a).
(1.5)　a<b∧b<c⇒a<c.

証明:(1.4)　￢(a<b⇒￢(b<a))⇔￢(￢(a<b)∨￢(b<a))⇔a<b∧b<a
⇔a≦b∧a≠b∧b≦a∧b≠a⇔a=b∧a≠bは偽である.■
(1.5)　a<b∧b<cとするとa≦b∧b≦cだからa≦c,ここでa=cであるとすると
(1.1)よりc≦c,c=aよりc≦a.よってa≦bと合わせてc≦b,b≦cなので
(1.2)よりb=cこれは矛盾.■

∀(a,b)∈A×A,a≦b∨b≦a
であるときaとbは比較可能であるといいます.Aのどの2元も必ず順序≦で
比較可能であるとき≦は全順序とか線形順序とかいいます.

N(Z,Q,R)における≦は全順序です.
Nにおける|は2と3が比較可能でないので全順序じゃありません.
{Φ,{1},{2},{1,2}}における⊂は{1}と{2}が比較可能でないので全順序
じゃありません.
全順序じゃない順序を半順序ということがあります.古い言い方だけど.
862：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 14:44: Ｂ）順序集合,部分順序集合
集合Aに順序≦が定められたとき,Aと≦とをセットにした概念(A,≦)を
順序集合といいます.集合Aに順序≦という構造が入ったものを順序集合
(A,≦)というわけです.もちろんAに≦_1,≦_2という別の順序が入りうるとき
(A,≦_1)と(A,≦_2)は違う順序集合であると考えねばなりません.

順序集合(A,≦)に対してAをその台集合,とか台と呼びます.
順序集合(A,≦)において≦が全順序なら(A,≦)を全順序集合とか線形順序集合
といいます.

順序集合(A,≦)において≦が分かりきってるときは省略して順序集合Aといったりもします.
とくに(N,≦),(Z,≦),(Q,≦),(R,≦)などは特に断らない≦は限り通常の大小を意味するものと
しますので順序集合Nなどという言い方をしたときは断らない限りNに入っている順序は
通常の大小だと思ってください.|などを順序とするときは断りを入れます.
集合系Ｍに入る順序も特に断らない限り⊂であるとします.
863：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/11/10(水) 14:44: 順序集合(A,≦)の台の元や部分集合を,そのまま順序集合の元,部分集合と呼びまます.

Mが順序集合(A,≦)の部分集合であるとします.Mに順序≦_Mを
(a,b)∈M×Mに対し
a≦_Mb⇔a≦b
で定義します.
このとき順序集合(M,≦_M)は順序集合(A,≦)の部分順序集合であるといいます.
≦_Mは≦をMに制限したものだから通常単に≦で表します.このように順序集合の
部分集合には自然に順序が入り,その部分集合自身も順序集合であると考えること
が多いのです.

順序集合(A,≦)が全順序集合であるとするとその部分順序集合も全順序集合と
なりますが,(A,≦)が全順序集合でない順序集合であるときでもその適当な
部分順序集合が全順序集合となることはあり得ます.たとえば
a∈Aなら{a}はいつでも全順序部分集合です.
864：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/18(木) 01:02: 遅らせてしまってすいません
先に進めてもらってもかまいません

復帰はもう少し先になりそうなので・・・
865：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/11/19(金) 00:38: >>864
んじゃＣも漏れがまとめてやっていい？
866：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/11/19(金) 18:35: >>865
よろしければ是非お願いします
867：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/01(水) 01:06: 遅くなってすまん
しばらくＰＣ立ち上げてなかったので
868：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/01(水) 01:06: C)　最大（小）元、極大（小）元、上限、下限
(A, ≦)を1つの順序集合とし、以下略して単にAと書く。
∃a∈A, ∀x∈A, x≦aが成り立つときaをAの最大元といいmaxAで表す。
同様に∃b∈A, ∀x∈A, x≧bが成り立つときbをAの最小元といいminAで表す。
maxAやminAはいつも存在するとは限らないが存在するならばいずれも一意的に定まる。
（a,a'がともにAの最大元であるとすれば定義よりa'≦aかつa≦a'。ゆえにa=a'//）

またa∈Aについてa<xなるx∈Aが存在しないときAを極大元と言う。
同様にb∈Aについてb>xなるx∈Aが存在しないときAを極小元と言う。
Aの極大元、極小元も一般に存在するとは限らない。
もしmaxAが存在すれば、明らかにそれはAの唯一の極大元。
同様にminAが存在すれば、それはAの唯一の極小元。

maxAやminAが存在しなくてもAの極大元や極小元が存在することがある。
また極大元や極小元は複数存在することもある。

Aが全順序集合である場合にはAの最大元と極大元、最小元と極小元はそれぞれ一致する。
証明　全順序ならばすべての元が大小比較可能だから
aがAの極大元⇔a<xなるx∈Aが存在しない⇔∀x∈A, a≧x⇔a＝maxA。極小元についても同様

例1　A＝N＼{1}を台とし整除関係｜を順序とする順序集合（Ａ，｜）を考える。
この中に2以上のすべての整数を割り切る元はないから明らかにminAは存在しない
最大元や極小元も明らかに存在しない。極小元は無数に存在し、それらはすべての素数をわたる。
869：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/01(水) 01:07: 次にＭをＡの1つの空でない部分集合とする。
a∈Aについて∀x∈M, x≦aが成り立つとき、aをMのAにおける上界という。
aがMの上界ならばそれ以上のAの元はすべてMの上界である
Ｍの上界が少なくとも１つ存在するとき、ＭはＡにおいて上に有界であると言う。
下界、下に有界も同様に定義される。
Ｍが上にも下にも有界であるときＭは単に有界であるという。

ＭのＡにおける上界全部の集合、下界全部の集合をそれぞれM^*、M_*で表す。
定義より、Mが上に有界⇔M^*≠φ、Ｍが下に有界⇔Ｍ_*≠φ.
Mが上に有界でminM^*が存在するとき、それをMのAにおける最小上界または上限といい、supMで表す。
Mが上に有界であっても必ずしもsupMが存在するとは限らない。(後述）
supＭが存在する場合、Ｍによって一意的に定まる。定義から明らかに
a＝supM　⇔　(i) a∈M^*、(ii) a=minM^* ⇔ (i) ∀x∈M, x≦a、(ii) ∀x∈M, x≦a' ⇒ a≦a'.

上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の３つの場合が考えられる。
(a) maxMが存在する。このときsupMも存在してmaxM＝supM
(b) maxMは存在しないがsupMは存在する。このときsupM∈M^c
（この書き方は若干苦しいがweb上なので止むを得ない。要はsupMはMの元ではないということ）
(c) supMが存在しない。このときmaxＭも存在しない。

上と同様にＭが下に有界でmaxM_*が存在するときそれをＭのＡにおける最大下界または下限といい、infMで表す。
870：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/01(水) 01:07: 例2　順序集合Ｑを全体集合とし、その部分集合Ｍ＝｛|x∈Ｑ，0<x、x^2<2｝を考える。もちろんＭ≠φで上に有界。
しかしMの中にsupMは存在しない。実際a=supMが存在したとするとa∈Qよりa^2≠2だから2<a^2 or a^2<2.
ここでa'=(3a+4)/(2a+3)とおけばa'も正の有理数で、2<a^2⇒2<a'^2<a^2, 2>a^2⇒2>a'^2>a^2でいずれにしても矛盾。
・・らしいのだがここが理解できない、。だれか代わりに解説してくれ

しかし今のMを順序集合Ｒの部分集合と考えた場合にはＭは上限を持ち、supM＝√2。
Rにおいては任意の空でない上に有界な部分集合が必ず上限を持つ。（実数の連続性）

例3　Ｍを任意の集合系とする。（φ≠）Ｎ⊂Ｍについて集合系Ｎの和集合∪Ｎ＝∪｛A|A∈N｝がＭの元であれば
それは順序集合ＭにおけるＮの上限となる。即ちsupＮ＝∪Ｎ．このことは第1章(2.17)(2.18)よりわかる。
（平たく言えば、Ｎに属するすべての集合を包む最も小さな集合が∪Ｎであるということ。）

上の例2でも見たように一般にが順序集合でＭ⊂Ａ_1⊂Aであるとき、MがA_1の中に上限をもたなくても
Aの中で持つことがある。その逆の場合もある。さらにMがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合もある。
こうした事態にまぎれがないように対処するために、必要があればsup_{A_1}M、sup_{A}Mと書いて区別する。infも同様。
871：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/01(水) 01:08: 例2が理解できなかったのでここでいったんストップして反応待ち
872：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/12/01(水) 23:59: >>871
a=supMがあったとするとa∈Qよりa^2≠2,
よってa^2<2か2<a^2.
a^2<2ならa∈Mなのでa=maxM.
よって∀x∈M,x≦a.
a-(3a+4)/(2a+3)=(2a^2-4)/(2a+3)=2(a^2-2)/(2a+3)<0より
a<(3a+4)/(2a+3)∈Qだから(3a+4)/(2a+3)∈Mで不合理.
2<a^2なら￢(a∈M)なのでa=minM*.
よって∀x∈M,x≦a.
また∀x∈M,x≦b⇒a≦b.
このときは(3a+4)/(2a+3)<a,
また2-(3a+4)^2/(2a+3)^2=(-a^2+2)/(2a+3)^2<0より
2<((3a+4)/(2a+3))^2で不合理.
873：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/07(火) 15:14: 理解しますた
874：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/07(火) 15:15: D)　順序同型（じゅんじょどうけい）
（A,≦）（A',≦）を２つの順序集合とする。ｆがAからA'への写像で、Aの任意の元ａ,ｂについて
（１．６）　ａ≦ｂ⇒ｆ（ａ）≦'f(b)
が成り立つとき，ｆを（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への（あるいは略してＡからＡ’への）順序写像または単調写像という。
ｆが順序写像でかつ（１，６）の逆
（１．７）ｆ（ａ）≦'f(b)⇒ａ≦ｂ
が成り立つ場合は、ｆは単射となる。（∵f(a)＝f(b)⇒a≦ｂ＆ｂ≧ａ⇒ａ＝ｂ）
そこで（１．６）（１．７）をともに満たす写像はＡからＡ’への順序単射と呼ばれる。
ただしfが順序単射であることとfが順序写像でかつ単射であることは同値ではない。
ｆが順序単射でかつAからA'への全射である場合は、ｆをAからA'への順序同型写像という。
このときｆは全単射で、ｆ＾-１も明らかにA'からAへの順序同型写像。

順序集合（A,≦）から(A'，≦'）への順序同型写像が少なくとも１つ存在するとき両者は順序同型であるという。
このことを書では（A,≦）⋍ฺ（A'，≦'）、または単にA⋍ฺA'と書く＜この記号のコードは＆＃8909；＆＃3642；＞

順序集合の間の順序同型については次が成り立つ
(1.8) A⋍ฺA
(1.9) A⋍ฺA'⇒A'⋍ฺA
（1.10）　A⋍ฺA',　A'⋍ฺA''⇒A⋍ฺA''

証明　(1.8)はAからAへの恒等写像がＡからＡへの順序同型写像だからOK
（1.9）はAからA'への順序同型写像ｆが存在するならば、逆写像f^(-1)がA'からＡへの順序同型写像だからOK.
(1.10)はAからA'への順序同型写像ｆとA’からA''への順序同型写像ｆ’についてその積ｆ’ｆがAからA''への順序同型写像でＯＫ
875：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/07(火) 15:16: （Ａ、≦）⋍ฺ（Ａ’，≦’）であるときＡからＡ’への順序同型写像の1つをｆとすれば
順序に関する諸関係で（Ａ，≦）の上で成り立つことはｆによってそのまま（Ａ’，≦’）に写され
逆に（Ａ’，≦’）の上で成り立つことはf^-1によってそのまま（Ａ，≦）にうつされる
したがって順序同型な（Ａ，≦）、（Ａ’，≦’）は順序集合として全く同じ構造を持つ。

Ａ⋍ฺＡ’⇒Ａ～Ａ’だがその逆は真ではない。
たとえばＮ，Ｚ，Ｑは互いに対等であるが順序同型ではない。

証明　Ｎ⋍ฺＺだと仮定するとminN=1よりminZが存在することになり矛盾。
ゆえにN⋍ฺZは成り立たない
同様にN⋍ฺQも成り立たない。
Z⋍ฺQだと仮定し、その順序同型写像fとz∈Zについてf(z)=p∈Q, f(z+1)=q∈Qとすれば
r=(p+q)/2∈Qについてz＜f^(-1)(r)(∈Z)＜z+1となり矛盾
ゆえにZ⋍ฺQも成り立たない。

またfが（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射であるとき
その終集合をｆ（Ａ）＝A_1'に変えた写像は明らかに（Ａ，≦）から（Ａ_１’，≦’）への順序同型写像。
逆にf'が（Ａ，≦）から（Ａ_1’，≦’）への順序同型写像ならばその州集合をＡ’に変えた写像は
（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射。
すなわち（Ａ，≦）から（Ａ’，≦’）への順序単射が存在する⇔（Ａ，≦）が（Ａ’，≦’）のある部分順序集合と順序同型。
876：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/07(火) 15:27: E)　相対概念、相対の原理
順序集合（Ａ，≦）、a,b∈Ａに対して
b≦a ⇔ a≦^(-1)b によって関係≦^(-1)を定義すれば明らかにそれもＡにおける1つの順序。
これを≦の相対順序といい、また（Ａ，≦＾(-1)）を（Ａ，≦）の相対順序集合という

相対順序を考えるとき互いに入れ換わる概念を順序についての相対概念と言う。
「以上と以下」「大きいと小さい」「最大元と最小元」「上限と下限」などはそれぞれ互いに相対概念。

自己相対的の話はよくわからないので割愛する

順序集合に関する命題に対し、その命題の中に現れる順序に関する概念を
それぞれその相対概念でおきかえて得られる命題をはじめの命題の相対命題という。
ある順序集合についてある命題が成り立つならば、その相対順序集合について前の命題の相対命題が成り立つ。

　↑証明しようと思うとかなり難しいと思うんだが。

このことから次が導かれる：

”一般に順序に関するある条件Ｃを満たすような任意の順序集合について成り立つ1つの命題があるならば,
その相対命題は, Ｃの中に含まれている諸概念を、それぞれその相対概念でおきかえて得られる条件C’を満たすような任意の順序集合について成り立つ。”
この事実を順序集合における相対の原理と呼ぶ。

　↑原理ってことは証明はできないのか？
877：裏画像収集家 ◆DKggGgggQQ：2004/12/14(火) 23:26: 反応なし？
878：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/12/15(水) 01:29: あれ？
879：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/12/15(水) 01:35: >>877
偽者？

いずれにせよ反応遅れてすいませんでした。
収集家氏乙です。

すいませんが質問です。
>>874の
＞ただしfが順序単射であることとfが順序写像でかつ単射であることは同値ではない。
これの反例を挙げていただけませんか？
880：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/12/15(水) 01:37: すんませんちょっと日本語おかしいですね

これの反例を挙げていただけませんか？
　　↓
これを示していただけませんか？
881：Святослав(☆8) ◆QRDTxrDxh6：2004/12/15(水) 03:33: test
882：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2004/12/15(水) 19:37: ８７７は本物。トリップの出し方間違えた。

８７４の例。
ｆ：（｛１，２，３｝、｜）→（｛1，2，3｝、≦）をｆ(1)＝1，ｆ(2)＝3，ｆ(3)＝2で定める。
ただし｜は自然数の整除関係、≦は通常の大小関係。
このときｆは順序写像でかつ単射だが、順序単射ではない。

ところで８７６の疑問を解決してくれる人はいませんか。
883：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/12/16(木) 01:51: >>882
なるほど。ありが㌧。
884：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/12/27(月) 04:42: >>868
最大元、最小元がともに存在しない例は
(Z,≦)ですね.

>>869
supMが存在するなら一意であるってのはなんで？

>上に有界であるようなAの空でない部分集合Mについて、次の３つの場合が考えられる。
>(a) maxMが存在する。このときsupMも存在してmaxM＝supM
>(b) maxMは存在しないがsupMは存在する。このときsupM∈M^c
>（この書き方は若干苦しいがweb上なので止むを得ない。要はsupMはMの元ではないとい>>うこと）
>(c) supMが存在しない。このときmaxＭも存在しない

(a),(b),(c)それぞれ例を挙げてください。理由も書いてください。

>>870
>順序集合でＭ⊂Ａ_1⊂Aであるとき、MがA_1の中に上限をもたなくても
>Aの中で持つことがある。その逆の場合もある。さらにMがA_1、Aの中にそれぞれ異なる>>上限を持つ場合もある。
885：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/12/27(月) 04:42: "逆の場合"と"MがA_1、Aの中にそれぞれ異なる上限を持つ場合"の例を挙げてください。

>>875
納得です。

>>876
>順序集合に関する命題に対し、その命題の中に現れる順序に関する概念を
>それぞれその相対概念でおきかえて得られる命題をはじめの命題の相対命題という。
>ある順序集合についてある命題が成り立つならば、その相対順序集合について前の命題>>の相対命題が成り立つ。

(A,O_1)を順序集合、O_2をO_1の双対順序とする。
(x,y)∈A^2としx,y,O_1に関する命題をp(x,y;O_1)とするとp(x,y;O_1)の双対命題は
p(y,x;O_2)だがxO_1y⇔yO_2xなのでp(x,y;O_1)⇔p(y,x;O_2).

p(x,y;O_1)は「xとyが順序O_1についてムニャムニャである」みたいな文だから
その双対命題は「yとxが順序O_2についてムニャムニャである」即ちp(y,x;O_2)ですよね.
886：Святослав(☆8) （DTxrDxh6）：2004/12/27(月) 04:43: ヘンなところでレスを区切ってしまった。スマソ。
887：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/04(金) 16:27:48: 　　　　　　　　　　　§２　整列集合とその比較定理

　A)　整列集合
　自然数全体の集合Nは大小の順序≦について全順序集合をなすが、さらに
この順序集合は次の定理に述べる重要な性質を有する。
　定理1　Nの任意の空でない部分集合は最小元をもつ。
　証明　この定理は数学的帰納法によって次のように証明される。
　MをNの空でない部分集合とする。M≠Φであるから、Mは少なくとも1つ
の自然数を含む。もし1∈Mならば、もちろん1=minMである。そこで、
Mがn以下のある自然数を含むような場合には、この定理が成り立つものと
して、n+1∈Mの場合にもこの定理が成り立つことを証明する。この場合、
もしMがn以下のある自然数をも含むならば、帰納法の仮定によってMは
最小元をもつ。またMがn以下のどの自然数も含まないならば、当然n+1=minM
となる。(証明終)
　一般に、Wが全順序集合で、その空でない任意の部分集合がいつも最小元
をもつとき、Wを整列集合(well-ordered set)という。Nは最も典型的な
整列集合である。また、有限の全順序集合は明らかに整列集合である。
　本節以後、順序集合を略式にその台集合と同一の記号で表し、特に必要の
ある場合のほかは、順序の記号を付記しない。
888：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/04(金) 16:38:16: 　注意　上の整列集合の定義で、Wの順序が"全順序"であるという仮定は実は
不要である。(すなわち、それは後の条件から自然に導かれる。)実際、a,bを
Wの任意の2元とすれば、後の条件によってmin{a,b}が存在するが、min{a,b}=a
ならばa≦b,min{a,b}=bならばa≧b。いずれにしてもa,bは比較可能となる。ゆえに
Wの順序は全順序である。
　われわれは次に、整列集合の性質を調べるのであるが、そのためにまず、1つの
概念を用意しておこう。
　一般にAを任意の順序集合とし、a,bをAの2つの元とする。もしa<bで、a<x<b
となるようなAの元xが存在しないならば、Aの中でbはaの直後の元、aはbの直前の元
であるという。
889：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/04(金) 17:30:23: 　もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。

bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
　()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b≧x)であるが、これは∃x∈X(a<x≦b)
　
　うまく書けないorz
890：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/06(日) 18:40:10: やり直し・・・演習スレの5を使います。

　もしAが全順序集合であるならば、bがaの直後の元であることは、bがaよりも
大きいAの元の集合X={x|x∈A,a<x}の最小元であることと同等である。

bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在しない⇒
b∈X,(任意のx∈Xに対してb≦x)
　()を背理法で示す。Aは全順序集合だからその部分集合であるXも全順序集合
だから∀x∈X(b≦x)でないと仮定すれば∃x∈X(b>x)であるが、これは∃x∈X(a<x<b)
となり矛盾。
　また、bがXの最小元⇔b∈X,∀x∈X(b≦X)⇒bがaの直後の元⇔a∈A,b∈A,a<b,a<y<b
となるようなAの元yが存在しない
　これを背理法で示す。a∈A,b∈A,a<b,a<y<bとなるようなAの元yが存在するならば
y∈X。bがXの最小元であることにより、b<y。よって￢(y<b)これは(a<)y<bに矛盾。
891：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/07(月) 05:00:58: >>887
「有限の全順序集合が整列集合である」
証明おねがいします。
892：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/07(月) 05:08:06: >>888
おｋ

>>890
最後の行
bがXの最小元であることにより、b<y。
は
bがXの最小元であることにより、b≦y。
ですね。
おｋ。
893：kh：2005/02/07(月) 07:47:41: 今1章の40pぐらいを読んでいます。
追いついたら（暇なので2月中には可能だと思います）
参加させてもらってもいいでしょーか？
894：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/07(月) 09:44:10: >>893
歓迎！！！
895：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/07(月) 19:24:47: >>891
有限の全順序集合Aが整列集合であることを背理法で示す。
Aが整列集合でないとすると、ある空でない部分集合が存在してその部分集合
(以降=Bとする)には最小元が存在しない。Bから任意に1つ元を取り出しそれを
x_1とする。Bに最小元が存在しないことによりx<x_1となるx∈Bが存在するから
そのうち任意の1つをx_2とする。こうしてx_1,x_2,x_3,･･･をとりだしていくと
Bの元がn個であるとすれば高々n+1回このような操作を繰り返せばx_k=x_lとなる
k,l(k>l)がでてくる。これは<における推移律よりx_k<x_l。矛盾。
896：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/07(月) 19:26:24: あ、BはAの部分集合だから全順序集合。それから、ここでも演習スレ5を使ってます。
897：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/07(月) 19:28:54: >>893
893さん大歓迎ですよ～
898：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/07(月) 19:30:17: えと蛇足ですがAが有限だからBも有限です・・・
899：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/07(月) 23:00:13: >>895->>898
了解です。
B={x_1, x_2,…,x_n}であったとしたら
必要なら番号を付け替えることにより
x_1<x_2<…<x_n
とまさしく「整列」できるわけですね。

演習スレ>>8が効いてるわけですねー。
900：kh：2005/02/08(火) 21:44:30: >>894>>897 歓迎感謝！頑張って追いつきます。
901：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/08(火) 21:51:52: >>900
>>1->>899
までのレスへの、質問、ツッコミもよろしく。
902：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/02/09(水) 20:45:26: わりぃ久しぶり
そのうち復帰するんで進めといてｸﾚ
903：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/09(水) 20:54:24: >>902
ｵﾋｻｼﾌﾞﾘ!!
904：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/10(木) 03:34:33: >>887
忘れてました.
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/19
で自然数の整列性を仮定し,数学的帰納法の原理を証明しました.
>>887では,数学的帰納法の正しさは無条件に認めて,
数学的帰納法から,自然数の整列性を示したわけですね.
つまり
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1082477703/19
と>>887によって
自然数の整列性と,数学的帰納法の原理という2つの命題は同値である
ことが示されたわけですね.
でもこの2命題自体の正しさはまだ言ってないことを,注意しておきます.
905：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/11(金) 13:22:12: 続きです。

したがってAが全順序集合である場合、もしAの元aの直後の元が存在するならば、
それはaに対して一意的に定まる。同様に、やはりAが全順序集合であるという仮定
のもとに、aがbの直前の元であることは、a{x|x∈A,x<b}の最大元であることと同様
である。したがってbの直前の元は(もし存在すれば)bに対して一意的に定まる。
　さてそこで、整列集合の考察に戻ろう。
　定義から明らかに、整列集合の任意の部分集合はやはり整列集合である。
906：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/02/11(金) 13:58:56: 　また、Wを任意の整列集合とすれば、次のことが成り立つ。
　(鄯)　minWが存在する。
　(鄱)　aをWの任意の元とするとき、もしaよりも後にあるWの元が存在
　　　すれば、aの直後の元a'が存在する。
　実際、(鄯)は定義から明らかである。また(鄱)の仮定のもとに、W'={x|x
∈W,a<x}は空ではなく、したがって整列集合の定義により、minW'が存在する。
それをa'とすれば、a'はaの直後の元である。
　上の(鄯),(鄱)は、順序集合Nが最小元1をもち、またNの任意の元nに対して
その直後の元n+1が存在する、という周知の性質の、一般の整列集合への拡張で
ある。
　ただし、Nにおいては、1以外の任意の自然数は必ず直前の元は有するが、この
性質は一般の整列集合Wでは必ずしも満たされない。すなわち、aをWの元とする
とき、(a≠minWであっても)aの直前の元は必ずしも存在するとは限らない。しかし、
aの直前の元が存在する場合には、(上にも注意したように)それはaに対して一意に
定まる。
　例　整列集合Wの元a(≠minW)が直前の元をもたないような例は、次のようにして
簡単につくられる。いま、ωを自然数と異なる1つの記号とし、N∪{ω}=Wとおく。W
において順序≦を次のように定める:"Nの元に対しては≦は大小の順序そのままとし、
また任意のn∈Nとωに対してはn<ωとする。"このように≦を定めれば、Wは明らかに
整列集合となるが、その元ωは直前の元を持たない。
907：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/13(日) 04:48:15: >>905
了解。前半は>>868の第一段落によるわけですね。
後半は部分集合の部分集合はまた部分集合というわけですね。

>>906
了解。
908：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/18(金) 23:27:50: Ｂ）切片と超限帰納法
Wを整列集合,aをその元とします.このとき{x|x∈W,x<a}をWのaによる切片といい
W<a>と書きます.
W<a>=Φ⇔a=minWです.実際演習スレ>>8を使えばW<a>=Φ⇔W-W<a>=W⇔{x|x∈W,x≧a}=W⇔a=minW.
また>>905でLAR-menさんが述べてくれたように
a*がaの直前の元⇔a*=maxW<a>.
です.
aが直前の元をもたないとすると,任意のW<a>の元xに対してx≦aですからaはW<a>の上界のひとつです.
a'がW<a>の任意の上界であるとすると,a'<aではありえません.a'<aであるならa'∈W<a>となってしまい,
a'=maxW<a>すなわちa'はaの直前の元という矛盾を起こしてしまいます.だからa≦a'.
以上より,
aが直前の元を持たないならばa=supW<a>
が成り立ちます.
909：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/18(金) 23:28:14: 超限帰納法の原理を説明しましょう.
次が成り立ちます.
W'を整列集合Wの部分集合とします.このとき
W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つならW'=Wが成り立つ…☆
証明　Wが整列集合であるのでW-W'≠Φならmin(W-W')が存在する.
W-W'=V,a=minVとおくとW<a>∩V=Φ,即ちW<a>⊂V^c=W'.
☆の仮定によりa∈W'.矛盾.

☆は言い換えると次の定理２が正しいことの保障になっています.

定理２　整列集合Wの各元aに対してひとつの命題P(a)が対応しているとする.
このとき次の★が成り立てば,Wのすべての元aに対してP(a)は真である.
★…aがWの任意の元とするとき,x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真.

定理２の証明　W'={x|x∈W,P(x)が真}とおく.このとき★が成り立つとすると,
「x<aであるWの元xについてP(x)が真であるなら,P(a)も真｣を仮定したことになるが,
このことは言い換えれば「W<a>⊂W'⇒a∈W'が成り立つ｣である.
☆によりこのときW'=Wであるがこのことは,すべてのWの元aに対してP(a)が真であることを
表している.■
910：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/18(金) 23:28:42: 定理２による論証法はW=Nのとき数学的帰納法,一般のWのとき超限帰納法といいます.
a=minWのとき★は
x<minWであるxについてP(x)が真ならP(minW)も真
になりますが,これは
(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)⇒P(minW)が真
即ち
￢(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)∨P(minW)が真
となり
￢(Wの元xがx<minWをみたす⇒P(x)が真)
が矛盾式であるので結局
P(minW)が真
のみを仮定することと同じです.
実際に超限帰納法を用いて証明するときは
1.P(minW)が真
2.minWでない任意のWの元aについて,x<aなるWの元xに対してP(x)が真ならP(a)も真
の2つを示すことになります.
911：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/02/18(金) 23:29:03: 切片を特徴付ける補題を紹介します.
補題１　Jを整列集合Wの部分集合とする.Jが条件
★★　x∈J,y∈W,y<x⇒y∈J
をみたしているならばJはWと一致するか何らかのWの元の切片と一致する.

証明　★★をみたすJがJ≠WであるとするとW-J≠Φ.整列集合の定義より
min(W-J)が存在する.
x∈J,x>min(W-J)であるとすると★★よりmin(W-J)∈Jとなってしまい,
x∈J,x=min(W-J)であることはありえない.
よってx∈Jならx<min(W-J)となりx∈W<min(W-J)>.即ちJ⊂W<min(W-J)>.
また,(W-J)∩W<min(W-J)>≠Φであるとするとx∈(W-J)∩W<min(W-J)>
なるWの元xが存在することになるがx∈W-Jだからmin(W-J)≦xとなりx∈W<min(W-J)>
とはなりえない.よってW<min(W-J)>⊂J.■