レス数が1スレッドの最大レス数(1000件)を超えています。残念ながら投稿することができません。
「集合・位相入門」輪読会
-
とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
-
D) 一般の直積、選出公理
(A_λ|λ∈Λ)を１つの与えられた集合族とするとき、Λで定義された写像aで、
次の条件
(*) Λのどの元に対してもa(λ)=a_λ∈A_λ
を満足するようなもの全体の集合、いいかえれば、条件(*)を満たす族(a_λ|λ∈A)
全体の集合を、集合族(A_λ|λ∈A)の直積(または単に積)といい、記号
Π[λ∈A]A_λ
で表す。直積Π[λ∈A]A_λに対して、各A_λをその直積因子という。
特に、Λ={1,2}とすれば、Π[λ∈{1,2}]A_λは、a_1∈A_1,a_2∈A_2であるような
族a=(a_λ|λ∈{1,2})=(a_1,a_2)全体の集合となるが、これは前に§3,A)で定義した
２つの集合の直積A_1*A_2にほかならない。
＞a=(a_λ|λ∈{1,2})=(a_1,a_2)
(a_1,a_2)を写像aのグラフとみなしているということでしょうか？
-
一般に、Λが有限集合Λ={1,2,…,n}であるとき、Π[λ∈Λ]A_λは、
A_1*A_2*･･･*A_n または Π[i=1,n]A_i
とも書かれる。これは、a_1∈A_1,a_2∈A_2,･･･,a_n∈A_nであるような族
(a_1,a_2,･･･,a_n)全体の集合である。(なお、この場合、"族"のかわりにしばしば
"組"という語も用いられる。)また、Λ=Nのときには、Π[λ∈Λ]A_λはΠ[n=1,∞]A_n
ともしるされる。
また(A_λ|λ∈Λ)において、すべてのλ∈Λに対しA_λが同じ集合Aである場合には、
直積Π[λ∈Λ]A_λは、Λで定義され、その各元の像がAの元であるような写像全体の
集合となるが、これは、(写像の終集合を重視すれば)ΛからAへの写像全体の集合に
ほかならないと考えられる。すなわち、この場合Π[λ∈Λ]A_λはA^Λと同一視される。
>>556
Π[λ∈A]A_λ→Π[λ∈Λ]A_λの間違いです。
-
>>556
A_1とA_2の直積集合はA_1×A_2と書きます.
数同士の積のように*で代用することは通常しません。
＞(a_1,a_2)を写像aのグラフとみなしているということでしょうか？
(a_1,a_2)は族でもあり列でもあり写像でもあり直積の元でもあります.
写像aは{1,2}で定義された写像ですからaのグラフを考えるとすれば
その横軸は{1,2}軸でなければならないはずです。
-
>>556-557
了解です。
-
次に、集合論において１つの原理として認められている"選出公理"について
説明しよう。
いま、集合族(A_λ|λ∈Λ)において、A_λ=Φであるようなλ∈Λが少なくとも1つ
存在するならば、Π[λ∈Λ]A_λ=Φであることは、直ちに示される。(実際、Λのある
元λ_0に対してA_(λ_0)=Φとすれば、Λで定義されたいかなる写像aについても
a(λ_0)=a_(λ_0)(*∈)A_(λ_0) (*∈)は∈の否定を表すものとします
したがって、条件(*)を満たすような写像は１つも存在しない。)このことの逆(の対偶)
にあたる命題:
(AC) ∀λ∈Λ(A_λ≠Φ)⇒Π[λ∈Λ]A_λ≠Φ
を、選出公理(axiom of choice)というものである。
-
>>558
てｓｔ
AXB
納得しました。
あほなこと書きました。
-
>>560
了解です。
当たり前のような、当たり前とはいえんような、
数学の基礎付けにきわめて重要そうな、
でも現実の数学ではめったに意識しない、ハマると数学の話
か否かすら不明になる、
しかし多くの数学者を悩ませかつ魅了し続けてきた、
バナッハ・タルスキの逆理の原因になる、
あの選択公理の話がついに始まるわけですね。
-
われわれは以後、この命題を承認されたものとして話を進めるが、先に進む
前に、この命題について少しばかり注釈を付け加えておこう。
命題(AC)は、くわしくいえば、空でない集合からなる族(A_λ|λ∈Λ)が与えられた
とき、Λで定義された写像aで、その各元λにおいてとる値a(λ)=a_λがA_λの元である
ようなものが(少なくとも1つ)存在する、ということを意味する。ところで、その
ような写像aを1つ定める事は、"すべてのλ∈Λにたいし、A_λからそれぞれ1つの元a_λ
を｢いっせいに｣選び出して指定する"ということにほかならない。いま、どのA_λも空
でないとしているのであるから、Λが有限集合ならば、このような｢選出｣が可能である
ことはいうまでもない。(すなわち、Λが有限集合の場合には、命題(AC)は全く自明で
ある。)
-
しかし、Λが無限集合であるときには、"すべてのA_λからa_λを｢いっせいに｣選出
する"ということは、(何等かの規則によって、その選出の方法が具体的に指示されて
いるのでない限り)、いわば"理念上の操作"ともいうべきものであろう。このような
理念上の操作の可能性を、１つの原理として認めることにしたのが、選出公理に
他ならないのである。
注意 集合論におけるこの命題の重要性に注目し、これを公理として提出したのは
Zermelo(1904)である。←"ツェルメロ"でいいですか？
ん〜
Λが無限集合になっても同じように明らかとしか思えないです・・・
-
集合族(A_λ|λ∈Λ)において、どのλ∈Λに対してもA_λ≠Φであるとし、この族
の直積をΠ[λ∈Λ]A_λ=Aとする。(AC)によって、この場合A≠Φである。λをΛの1つ
のきめられた元とするとき、Aの元aのλにおいてとる値a(λ)=a_λ(∈A_λ)を、aの
λ成分あるいはλ座標という。Aの各元aにそのλ成分a_λを対応させれば、AからA_λ
への1つの写像が得られる。この写像を、AからA_λへの射影(projection)といい、
しばしば記号pr_λ(あるいはproj_λ)で表す。
定義によって、a=(a_λ|λ∈Λ)ならば
pr_λ(a)=a_λ
である。
-
>>563
はい。了解。
>>564
はい。ツェルメロ。ツェルメロ・フレンケルの公理(ZF)のツェルメロです。
Λで定義される関数aを選択関数といいますが、Λ=Nとすると
各nに対してa_n∈A_nとなる列があればいいことになりますが,
先ず、a_1がA_1の元であることがいえて,そのおかげでa_2がA_2の
元であることが言えて,それが理由でa_3がA_3の元であることが言えて…
って感じで列(a_n)が構成できたとします。
これはNが全順序(任意の二元に順序がつくこと)であることでできる構成法です。
Λが全順序集合でないときはこの構成法は使えないので選択関数を
構成しようとすると別の構成法を考えねばなりません。
選択公理(このテキストでは選出公理って言ってますが,選択公理って
言い方のほうが私にはなじみがあるのでこれ使わせてください)
は,Λの構造や構成法とは無関係に選択関数の存在を保証する
という主張をしているのです.
-
>>565
はい。了解。
祝！選択公理百周年。
-
>>566
わかったようなわからないような感じです・・・
後々わかるようになることを期待して、今は保留しときます
-
E) 写像に関する一定理
選出公理の1つの応用として、次の定理を証明しよう。(ただし、この定理
の証明で選出公理が用いられるのは、(a)の後半部分だけである。)
定理７ fをAからBへの写像とする。
(a) fが全射であるとき、またそのときに限り、fs=I_Bとなるような写像
s:B→Aが存在する。
(b) fが単射であるとき、またそのときに限り、rf=I_Aとなるような写像
r:A→Bが存在する。
証明 (a) fs=I_Bとなるような写像s:B→Aが存在する場合、fが全射で
あることは容易に示される(§４,問題１０(a)参照)
逆に、f:A→Bが全射であるとしよう。その場合、Bのどの元bに対しても、
その原像f^(-1)(b)は空ではない。したがって、f^(-1)(b)=A_bとおけば、(A_b|b∈B)
は空でない集合からなる集合族となる。ゆえに(AC)により、Bで定義された写像sで、
すべてのb∈Bに対し、s(b)∈A_bとなるものが存在する。s(b)∈A_b⊂Aである
から、sはBからAへの写像と考えられるが、このsに対して、fs=I_Bが成り立つのである。
実際、bをBの任意の元とし、s(b)=aとすれば、a∈A_b=f^(-1)(b)であるから、
f(a)=b。したがって
(fs)(b)=f(s(b))=f(a)=b=I_B(b) ゆえにfs=I_Bとなる。
-
>>569
はい、納得。
はじめてこの定理見たときはﾋﾞｸｰﾘしました。
これ選択公理がなかったらいえないのか！って。
-
(b) rf=I_Aとなるようなr:B→Aが存在する場合、fが単射であることは
容易に示される。(§４,問題１０(b)参照)
逆に、f:A→Bが単射であるとしよう。そのとき、fの終集合をV(f)に変えた
写像をf'とすれば、f':A→V(f)は全単射である。(よって逆写像が存在)その逆写像
をr':V(f)→Aとする。そこで、Aの１つの元a_0を任意にきめておき、BからA
への写像rを
r(b)=r'(b) (b∈V(f)のとき)
=a_0 (b∈B-V(f)のとき)
によって定義すれば、rf=I_Aとなることが次のように示される。
aをAの任意の元とし、f(a)=f'(a)=bとすれば、b∈V(f)で、r'=f'^(-1)で
あるから、a=r'(b)=r(b)。したがって、
(rf)(a)=r(f(a))=r(b)=a=I_A（a) ゆえにrf=I_A(証明終)
-
>>571
はい、了解。
-
f:A→Bが全射であるとき、fs=I_Bとなるような写像s:B→Aをfの"右逆写像"
f:A→Bが単射であるとき、rf=I_Aとなるような写像r:B→Aをfの"左逆写像"
ということがある。これらは、一般に、fに対して一意的には定まらない。
系 A,Bを2つの集合とするとき、AからBへの単射が存在するための必要
十分条件は、BからAへの全射が存在することである。
証明 AからBへの単射φが存在すれば、定理の(b)によってαφ=I_Aとなる
ようなBからAへの写像αが存在し、このαは((a)により)全射である。
逆に、BからAへの全射αが存在すれば、定理の(a)によってαφ=I_AとなるAからB
への写像φが存在し、このφは((b)により)単射である。
-
>>573
へい、了解。
代数系入門スレを先取りしたような内容ですね。
-
F) 多変数の写像
写像f:A→Bの定義域Aが直積A_1×A_2×･･･×A_nの部分集合である場合には、
Aの元aは、当然(a_1,a_2,･･･,a_n)(ただしa_i∈A_i)の形をしている。したがって、
この場合、fによるaの像f(a)は、f((a_1,a_2,･･･,a_n))、あるいは簡単に
f(a_1,a_2,･･･,a_n)とも書かれる。この書き方では、(a_1,a_2,･･･,a_n)という元
の組に対してfのとる値が定まる、という事情が強調されているわけである。
そこで、この記法を用いる場合、fはまた"n変数の写像"であるともいわれる。
-
特に、"M×MからMへの写像"という形の2変数の写像は、数学ではきわめて
しばしばあらわれる。
たとえば、x、yを実数とするとき、f(x、y)=x+y、g(x、y)=xyとおけば、f、g
はいずれもR×RからRへの写像である。
また、Xを１つの集合とするとき、2^Xの元A,Bに対してφ(A,B)=A∪B,α(A,B)=A∩B
とおけば、Φ,αは2^X×2^Xから2^Xへの写像となる。
これらの例と同様に、一般に、集合Mの2元からMの1つの元をつくり出す操作
―このような操作のことを、しばしば、Mにおける算法(あるいは演算)という―
は、M×MからMへの(2変数の)写像にほかならないと考えられる。
-
これも代数系入門と関係ありそうですね
しかし、前のほうでやったことどんどん忘れていってるような・・・
年かな・・・
-
>>575-576
了解です。
>>577
そうですね
A、Bを集合としてΓ(⊂A×B)が対応。
D(Γ)=Aでa=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像。
Bが数の集合のとき関数。
A=B×Bのとき(二項)演算。
A=Bのとき変換。
って名づけられてますね。
-
Bが数の集合のとき関数。
→写像のうちBが数の集合であるものが関数。
A=Bのとき変換。
→A=Bのとき(A上の)変換。
-
>>578
＞D(Γ)=Aでa=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像。
D(Γ)=Aはわかるのですが、"a=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像"は写像でない
対応でも成り立つのではないですか？
-
>>580
あ、そうですね。すみません。
∀a∈A,Γ(a)がシングルトン
に訂正。
-
シングル㌧って何ですか？
先生が本スレに投下した問題ですけど、こけ氏も解いてるみたいですよ。
こけ氏のHPにありますた。
-
>>582
あ、シングルトンってのは一元集合って訳すのかな、
元がひとつしかない集合です。
こけ氏のところ見てきます。
もしかしたら四元数バージョンで解いてるのかな
-
ﾋﾞｸｯ∧ ∧ ∧ ∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
Σ(ﾟДﾟ；≡；ﾟдﾟ) ＜ うお！なんかすごいところに迷いこんじまったぞｺﾞﾙｧ！
./ つ つ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
〜（＿⌒ヽ ﾄﾞｷﾄﾞｷ
)ノ ｀Jззз
-
とうとうやって来てしまった・・・
力不足は否めないし、ジョイント的役割となるかと思いますがどうか・・・・m(_ _)m
第五章を読んできました。
早速質問なのですが、
集合族(A_λ|λ∈Λ)とは「写像」のことですよね？あまり写像らしく扱われていなくて
かなり混乱していたのですが、これはΛの各元λのAによる像を並べ立てたもので、
それによりλをどうAの元に対応させるかという規則を表している、という認識でよろしい
でしょうか？
半角プラスは復活したのかな？++＋
-
>>585
第五章じゃなくって第一章第五節ね。
＞それによりλをどうAの元に対応させるかという規則を表している
どういうことでしょう？Aは写像なんですが、Aの元とは？
-
はい。。第五節でした（謝
後半も表現が間違ってました・・・
λをどう集合{A_λ|λ∈Λ}の一つの元に対応させるか、です。
43ページではNからある集合Aへの写像aを(a_n|n∈N)・・・①と書いています。
そしてこれをa_1,a_2,a_3,・・・・・a_n,・・・・・・②とも表しています。
この表記によりaは
1をa_1というAの元に、2をa_2というAの元に、・・・・
写像していることがわかるので、aがどのような写像かが定義されたことになり、
その意味で②、そして①はある一つの写像を表しているのではないか
と考えたのです。そして集合族でも同じ認識をとったのですが如何ってことです。
幼稚で申し訳ありませんm(_ _)m
-
>>587
その受け取り方でよろしいかと。
ややっこしく感じるのは、集合族を写像とみる場合、
その写像は終集合を重視しないことが多いということです。
重視しないってのも穏やかな表現で有体にいえば
終集合が何であるかを無視することが多いのです。
その理由は>>551に述べたとおりです。
それから引用はできるだけこのスレのレス番号でお願いします。
テキスト持ってない人にも門戸を開くという趣旨ですので。
-
43ページって書いたのは集合Aが上の写像Aとは別物ってことだけ明示する為だけに
入れたものでしたので・・・・これからは気をつけますm(_ _)m
ラッセルのパラドクスは致命的な一撃に見えますが、最終的には解消されるのでしょうか。。
先生も「素朴集合論では」と書いておられますし・・・
ところで僕も問題やるべきですか（;´Д｀） ？
-
じゃMod3で分担しますか
-
>>589
そういう致命的な欠陥を根本から見直し、集合の基礎付けを
やり直そうとして生まれたのが公理的集合論です。
ツェルメロ、フレンケル、スコーレム等によって前世紀初めに建設されました。
「集合｣と「属する｣を無定義語にして無限集合の存在を有無を言わせず
公理にしてしまって。
以来ツェルメロ、フレンケルの公理系(ZF)に選択公理(AC)を付け加えた
公理系(ZFC)は現代の数学の基礎となる公理系として標準的に採用されています。
これ以上はいわばスレ違いということで。
こういった話をする場として数学基礎論という分野がありますので、
興味がおありならいずれ台地くんがスレ主になって、
テキストも決めて、この板で輪読会をよびかけてはいかがですか。
-
>>590
漏れは4節まで問題やってないので1〜5番のようなやつがいいかなと
思うのですが(＾-＾)
9氏はまた1週間ぐらい不在ですね・・・・
>>591
解説ありがとうございます。激しく(ﾟДﾟ) ﾎﾟｶｰﾝな自分にも集合がものすごく重要だってこと
が伝わってきますた
後半、そんな輝かしいこと漏れには(;´Д｀)
興味というか、そのような分野には尊敬憧れ畏怖を感じています
-
では臺地氏は1〜5お願いします
残りの奇数番号を俺、偶数番号を先生でいかがでしょう？
-
>>593
了解しました。
-
あ
-
了解です。。方々で課題に押しつぶされそうなので遅れるかもしれませんが
・・・・・・御容赦（｡･ﾟ･(つд｀)･ﾟ･｡
-
では小出しに
6． 集合族(A_λ)_{λ∈Λ}において, λ≠λ'ならばA_λ∩A_λ'=Φとし, 各λ∈Λについて
f_λをA_λからBへの写像とする. そのとき, ∪_{λ∈Λ}A_λからBへの写像fで, すべての
f_λの拡大であるものが一意的に存在することを示せ.
解答 x∈∪_{λ∈Λ}A_λとすると∃λ∈Λ; x∈A_λ.このときλ≠λ'であるとすると
A_λ∩A_λ'=Φなので¬(x∈A_λ').即ちx∈∪_{λ∈Λ}A_λとすると
λ∈Λ; x∈A_λを満たすλが一意に存在する.
このxにf_λ(x)∈Bを対応させる∪_{λ∈Λ}A_λからBへの写像をfとおくとfはその定義から
各f_λの拡大になっている.
g∈B^(∪_{λ∈Λ}A_λ)が各f_λの拡大であるとする.
x∈∪_{λ∈Λ}A_λであるとするとλ∈Λ; x∈A_λを満たすλが一意に存在し,
g(x)=f_λ(x)であるがこのxについてはf(x)=f_λ(x)でもあるのでf(x)=g(x).
-
小出しに
8 (A_λ)_{λ∈Λ},(B_λ)_{λ∈Λ}を同じ添字集合Λを持つ2つの集合族とし,すべてのλ∈Λに
対してA_λ∈Φとする.そのとき,Π_{λ∈Λ}A_λ⊂Π_{λ∈Λ}B_λとなるためには,すべての
λ∈Λに対してA_λ⊂B_λであることが必要十分であることを示せ.
解答 十分性を示す.「すべてのλ∈Λに対してA_λ⊂B_λである」とすると,
「すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈A_λならば(a_λ)_{λ∈Λ}∈B_λ」が成り立つ.
このとき, 「すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈A_λならば
すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈B_λ」
即ち「Π_{λ∈Λ}A_λ⊂Π_{λ∈Λ}B_λ」が成り立つ.
必要性を示す.「¬(A_{λ_0}⊂B_{λ_0})となるようなλ_0∈Λが存在する」とすると
「a_{λ_0}∈A_{λ_0}かつ¬(a_{λ_0}∈B_{λ_0})を満たすa_{λ_0}が存在するような
λ_0∈Λが存在する」.
Λ上で定義された写像bでb(λ_0)=a_{λ_0}, λ≠λ_0でb(λ)∈A_λであるような
b=(b_λ)_{λ∈Λ}については(b_λ)_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}A_λではあるが
¬((b_λ)_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}B_λ)である.
-
ちょっと質問があるんですけど、よろしいでしょうか。
SS.5のD)で
集合族(A_λ)λ∈Λの直積ΠA_λについて、
Λは一般の集合ですよね。ということはその元には順番は存在しませんよね。>>16
そして直積ΠA_λはλの順番によって意味が変わりますよね。
たとえば、Λ={a,b,c}とすると、ΠA_λは
P_1= A_a×A_b×A_c
P_2= A_b×A_c×A_a
P_3= A_c×A_a×A_b
P_4= A_4= A_a×A_c×A_b
P_5= A_b×A_a×A_c
P_6= A_c×A_b×A_a
の６つが考えられますが、一般にこの６つは等しくありません。
なのになぜΠA_λと書けるのでしょう。
もしかして私の勘違いで、
ΠA_λ=P_1∪P_2∪・・・∪P_6
ということでしょうか。
もしかしたら重大な勘違いをしているのかもしれない。
-
>>597-599
こめんとはしばらくお待ちくださいm(_ _)m
1
実数の区間[0,1/n]をA_n、(0,1/n]をB_n、(-1/n,n)をC_n（n∈N）とするとき、
∪[n=1,∞]A_n、∩[n=1,∞]A_n、∪[n=1,∞]B_n、∩[n=1,∞]B_n、
∪[n=1,∞]C_n、∩[n=1,∞]C_n、を求めよ。
A_1⊃A_2⊃・・・⊃A_ｎ⊃・・・だから、(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂Cを繰り返し用いて、
∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、∪[n=1,∞]A_n⊃A_1は自明。∴∪[n=1,∞]A_n=A_1=[0,1]
同様に∪[n=1,∞]B_n=(0,1]。
∩[n=1,∞]A_n⊂{0}とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。ここでこのxは正の実数であるから、
∃n;x>1/n、このnに対し¬(x∈A_n)で矛盾。∴∩[n=1,∞]A_n⊂{0}
一方∩[n=1,∞]A_n⊃{0}は自明。∴∩[n=1,∞]A_n={0}
同様に∩[n=1,∞]B_n=φ。
∪[n=1,∞]C_n=(-1,∞)を示す。
C_1=(-1,1)より、∪[n=1,∞]C_n⊃(-1,0]。また、任意の正の実数xに対し、n>xとなるnが存在するから
このnに対しx∈C_n。∴∪[n=1,∞]C_n⊃(0,∞)。よって∪[n=1,∞]C_n⊃(-1,∞)。
x<=-1ならば任意のnに対し¬(x∈C_n)は容易にわかる。∴∪[n=1,∞]C_n⊂(-1,∞)。
次に∩[n=1,∞]C_n=[0,1)を示す。
0<=x<1ならば任意のnに対し-1/n<x<nであるから∩[n=1,∞]C_n⊃[0,1)。
一方、x=>1ならば¬(x∈C_1)より¬(x∈∩[n=1,∞]C_n)。
x<0ならば、任意の実数xに対し、-n<xとなるnが存在するからこのnに対し¬(x∈C_n)
∴¬(x∈∩[n=1,∞]C_n)よって∩[n=1,∞]C_n⊂[0,1)。
-
>>599
おそらく・・・ですが
"A_a×A_b×A_c"というように書き表せるのは元が順序づけられた場合のみ
ではないでしょうか
ΠA_λについては"A_a×A_b×A_c"のような表記は一般にはできないかと。
-
>>601
でもそうだとすると、一般のΛでΠ[λ∈Λ]A_λが定義できなくなりませんか？
-
>>602
定義は>>556で何か問題があるのでしょうか？
Π[λ∈Λ]と３,A)で出てきた直積とは別ものかと。
-
Π[λ∈Λ]は写像の集合だということでいかがでしょう
Λの元の間に順序があるときは"A_a×A_b×A_c"というように書き換えても
同じだと
説明下手ですんません
-
>>603
直積とは別物だったんですね。もうー度考えてみます。
-
別物というかより一般化した概念だととらえてますけど
どうなんでしょう？
-
まあA_1×A_2={(a, b)|a∈A_1∧b∈A_2}、ペアの集合,
Λ={1, 2}としたときのΠ{λ∈Λ}A_λ={a|aはΛ上で定義された写像でa(1)∈A_1, a(2)∈A_2}
で写像の集合ということで。
だから写像を(a_1, a_2)と像を恣意的に順序付けて並べれば両者は同じになるけど
本来は違う概念であると。 Λが無限集合のときにもΠ{λ∈Λ}A_λを定義したいんだけど
たとえばΛ=Rだったら像を「並べる｣ことは不可能なので写像の集合と定義するほかないということで。
Λが有限集合で順序を適当につけたときは３、A)の直積と５、D)の直積は一致するので
ある種の概念の拡張になってると解釈しといてください。
-
>>600
・「ならば」は「→」じゃなくって「⇒」を使うほうが紛れがないかと。
・∪[n=1,∞]A_n⊂A_1は、(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂Cを
繰り返して用いるのじゃなくて論理的に示したほうが
練習になるのでは。
・何度も言って申し訳ないけど自明という言葉はできるだけ
使わないほうがいいかと。
・∩[n=1,∞]A_n⊂{0}とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。←なんで？
∩[n=1,∞]A_n⊂{0}なら∩[n=1,∞]A_n=Φか∩[n=1,∞]A_n={0}
だよね。
・解析概論か解析入門は持ってますか？
・任意の正の実数xに対し、n>xとなるnが存在するから
↑ nが自然数であることを明記するべきでは。
・容易にわかるってのもちょっとね。
いろいろ文句言ってるけど、気を悪くしないでくださいね。
反論は歓迎します。
これに懲りず、次問に挑戦してください。
-
ちょびっと
10 (A_λ)_{λ∈Λ},(B_λ)_{λ∈Λ}を同じ添字集合Λを持つ2つの集合族とし, 各λ∈Λについて
A_λからB_λへの写像f_λが与えられたとする.そのとき, Π_{λ∈Λ}A_λの各元(a_λ)_{λ∈Λ}
にΠ_{λ∈Λ}B_λの元(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}を対応させれば, Π_{λ∈Λ}A_λからΠ_{λ∈Λ}B_λ
への一つの写像fが得られる. この写像fが全射(resp. 単射)であるためには, すべてのλ∈Λについて
f_λが全射(resp. 単射)であることが必要十分であることを示せ.
解答 fが全射とするとすべてのΠ_{λ∈Λ}B_λの元(b_λ)_{λ∈Λ}に対してf((a_λ)_{λ∈Λ})=(b_λ)_{λ∈Λ}
となるΠ_{λ∈Λ}A_λの元(a_λ)_{λ∈Λ}が存在する.fの定義よりf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}).
よってすべてのλ∈Λに対して, すべてのb_λ∈B_λに対してf_λ(a_λ)=b_λを満たすA_λの元a_λが存在する.
fが単射とするとf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}より
すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
このときf_λ(a_ν)=f_(c_ν)であるがa_ν≠c_νであるようなν∈Λがあるとすると
すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)であってもa_ν≠c_ν.
すべてのλ∈Λに対してf_λが全射であるとするとすべてのλ∈Λに対して任意のB_λの元b_λに対して
f_λ(a_λ)=b_λとなるA_λの元a_λが存在するので任意のΠ_{λ∈Λ}B_λの元(b_λ)_{λ∈Λ}
に対してf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}=(b_λ)_{λ∈Λ}となるΠ_{λ∈Λ}A_λの元
(a_λ)_{λ∈Λ}がある.
すべてのλ∈Λに対してf_λが単射であるとするとすべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_(c_λ)⇒a_λ=c_λ.
このときf((a_λ)_{λ∈Λ})=f((c_λ)_{λ∈Λ})⇔(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}=(f_λ(c_λ))_{λ∈Λ}
⇔すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_(c_λ)⇒すべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
-
>>608
解析概論（高木貞治）買いますた。
少しずつ読んで行こうと思います。
-
>>610
精読をお勧めします。
-
>>611
了解いたしました。
-
>>608順に書きます
・打ちミスでした。「右」で変換してたので・・
・任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なので∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、とします。
･任意のnに対し、A_1⊂A_ｎ。などとすればよいですか？
・これも打ちミス。¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕のつもりでした。
･持ってないです・・・＼
･n∈Nは問題文に書いてあるので・・・
・「x<=-1ならば任意のnに対し、-1/n<x<nとなることはない、即ち¬(x∈C_n)」とします。
他も一応解きましたがノートに書いたことをすべて転載するのは苦しいでつ・・・
もう少しまって下さい。（>>600も省略してしまいました）
こちらこそふにゃふにゃした文章書いてすみません・・・
でも不備はｶﾞﾝｶﾞﾝ指摘してください！ヽ(´∀｀) ノ
>>597-598
漏れは納得です。8番で量化記号を使わなかったのはわざとですか？
-
2．
(5.1) (∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B=∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B)
(5.1)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)∪b=∩_(λ∈Λ)(A_λ∪b)
を示せ。
(5.1)
x∈(∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B⇔（∃λ∈Λ;x∈A_λ）∧x∈B
⇔∃λ∈Λ;（x∈A_λ∧x∈B）（∵∃λ∈Λ;x∈B⇔x∈B）
⇔∃λ∈Λ;（x∈A_λ∩B）⇔x∈∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B)□
(5.1)'
x∈(∩_(λ∈Λ)A_λ)∪B⇔（∀λ∈Λ;x∈A_λ）∨x∈B
⇔∀λ∈Λ;（x∈A_λ∨x∈B）（∵∀λ∈Λ;x∈B⇔x∈B）
⇔∀λ∈Λ;（x∈A_λ∪B）⇔x∈∩_(λ∈Λ)(A_λ∪B)□
結局(5.1)'は(5.1)で∪と∩、∨と∧を入れ替えただけです。。
-
3．
(A_λ|λ∈Λ)が普遍集合Xの部分集合族であるとき、
(5.2) (∪_(λ∈Λ)A_λ)^c=∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c,
(5.2)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)^c=∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c.
を示せ。
x∈Xの下で考える。（x∈A＾c⇔¬（x∈A)）
(5.2)
x∈(∪_(λ∈Λ)A_λ)^c⇔¬（∃λ∈Λ;x∈A_λ）
⇔∀λ∈Λ;¬（x∈A)⇔∀λ∈Λ;x∈A＾c
⇔x∈∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c□
(5.2)'
x∈(∩_(λ∈Λ)A_λ)^c⇔¬（∀λ∈Λ;x∈A_λ）
⇔∃λ∈Λ;¬（x∈A)⇔∃λ∈Λ;x∈A＾c
⇔x∈∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c□
これも入れ替えただけっていう・・・(;´Д｀)
-
あげた方がいいのかな？解析概論って300鳳凰堂ぐらいしましたよね？
ちょっと値段が○|￣|＿
-
>>616
俺は （諭吉）^0.8138 で買いますた。
-
10 000^0.8138 = 1 799.69952
早速google大活躍（藁
あり？こんなに安いなら漏れも買おうかな(;´Д｀)
-
>>616
古本屋を経巡れば五分の一葉くらいで買えるのでは？
-
1.0000000001^10 000 000 000 = 2.71828203
(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ
>>619
古本屋・・・・神田あたりでしょうか？
因みに彼女はもうでまわってるんですか？ｗｗ
-
文体古くて読みづらい気が
-
>>620
ブックオフとかにないかなあ。
-
>>621
初版が昭和十三年だかなんだかだから。
今の学生版は新漢字新かなづかいだからずいぶんましになったと思いますが。
>>620
忘れてた。彼女は霜月デビューの予定。
-
Bo○ｋ Off?
それはおいしいｗｗｗ
>>623漏れの場合旧字旧仮名（ｒｙ
-
>>613
・打ちミス・・・了解。
・任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なので∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、とします。
任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なのであるnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」
となり∪[n=1,∞]A_n⊂A_1というわけですね。了解。
･任意のnに対し、A_1⊂A_ｎ。などとすればよいですか？
そうですね。それだとA_1⊂∩[n=1, ∞]A_nをいったように見えるので
任意のnに対し、A_1⊂A_ｎなので、あるnに対し、A_1⊂A_ｎ。即ちA_1⊂∪[n=1, ∞]A_n
という感じですかね。
・これも打ちミス。¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕のつもりでした。
¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。ここでこのxは正の実数であるから
と書くつもりだったのですか？
¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕とすると、¬((∀n, x∈A_n)ならばx=0)だから∀n, (x∈A_n)∧x≠0となりますが。
･持ってないです・・・＼
安く買えるといいですね。
-
･n∈Nは問題文に書いてあるので・・・
問題文中には「各自然数nに対して、(-1/n,n)をC_nとおく」と書いてあります。
これは「各自然数mに対して、(-1/m,m)をC_mとおく」と書いてあったとしてもまったく同じ意味の文
になりますね。つまり問題文中のnは固有名詞的なnでなく、何も書かないわけにはいかないので
とりあえずnとしたという程度のnです。写像f∈B^AというのはAの各元がfという役割によって
Bの何らかの元にうつるとという現象があったときの役割fのことです。たとえばA=B=Rだとして
fがAの各元を二倍するっていう役割を担っているとしましょうか。このときAの各元を仮に
xと表すことにしてf(x)=2xなどと書いたりします。この書き方はfがどんな役割を持っているかを
表すときにはわかりやすいのですが、xという個性ありげな文字を使うところに少々引っかかりを
覚えます。本当は何も書かないわけにはいかないから仮にxという文字を充てただけでもっと無個性な表記
(たとえばf(･)=2･)見たいな書き方のほうがいいのかもしれません。実はこのf(x)という書き方における
文字「x」にも専門用語がつけられています。なんとその名も「場所ふさぎ」。ですから
この問題文中に登場するnを固有名詞のように「前出の」nという風に扱われると、ちょとまてよ。
という気分になってしまうのです。
・「x<=-1ならば任意のnに対し、-1/n<x<nとなることはない、即ち¬(x∈C_n)」とします。
おｋ。
はい。わざと量化子は使いませんでした。
-
>>614
(5.1) 一行目から二行目への同値変形。結果は正しいけどカッコ内の注釈はどういう意味でしょう？
(5.2) 一行目から二行目への同値変形。結果は正しいけどカッコ内の注釈はどういう意味でしょう？
>>615
ﾊﾗｼｮｰ
-
12 f:A→B, f':B→Cとする.
(a) f, f'がともに全射のとき, s, s'をそれぞれf, f'の右逆写像とすれば, ss'はf'fの右逆写像となることを示せ.
(b) f, f'がともに単射のとき, r, r'をそれぞれf, f'の左逆写像とすれば, rr'はf'fの左逆写像となることを示せ.
解答 (a), (b)とも写像の合成が結合律を持っている(>>456)ことと恒等写像は合成により不変(>>456)であること
から示すことができる.実際,
(a) (f'f)(ss')=f'(f(ss'))=f'((fs)s')=f'(I_Bs')=f's'=I_C,
(b) (rr')(f'f)=r(r'(f'f))=r((r'f')f)=r(I_Bf)=rf=I_A.
-
ひとまず担当終了。
14 f∈B^A, h∈C^Aとする。このとき
∃g∈C^B;h=gf⇔(f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')).
したがってfが単射なら必ず, h=gfなるgが存在する.
解答 ∃g∈C^B;h=gfのもとでf(a)=f(a')とするとh(a)=(gf)(a)=g(f(a))=g(f(a'))=(gf)(a')=h(a).
f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')とする.b∈f(A)ならf^{-1}(b)≠Φ.よって集合族(f^{-1}(b))_{b∈f(A)}は
∀b∈f(A), f^{-1}(b)≠Φを満たす集合族であるので選択公理によって, 各b∈f(A)に対して
φ(b)∈f^{-1}(b)を満たす選択関数φ∈A^{f(A)}が存在する.(>>563のaを選択関数といいます.
選択写像というべきなのかもしれませんがなぜかchoice functionと名づけられています。)
g∈C^Bを次のように定めるとh=gfとなる.b∈f(A)のときはg(b)=h(φ(b)), b∈B-f(A)のときは
任意に固定されたCの元をcとしてg(b)=c.実際, ∀a∈Aに対してf(a)∈f(A)なのでφ(f(a))∈f^{-1}(f(a)).
よってf(φ(f(a)))=f(a)となり(gf)(a)=h(φ(f(a)))=h(a).
-
>>625
＞第三段
＞それだとA_1⊂∩[n=1, ∞]A_nをいったように見えるので
＞任意のnに対し、A_1⊂A_ｎなので、あるnに対し、A_1⊂A_ｎ。即ちA_1⊂∪[n=1, ∞]A_n
＞という感じですかね。
あ、確かにそうですね。。そのほうが適切です。了解しました。
＞第五段
すみません書き方が悪すぎました･･･。
先に∩[n=1,∞]A_n⊂{0}を示し、0以外の実数xで、x∈∩[n=1,∞]A_n
となるものが存在すると仮定するとxは正だから〜
と書き直します・・・（謝。(>>600もかの意味で書いてました)
今度からノートにきちっと書き、PCの前であれこれするのは止めまつ
＞第六段
唐突に尋ねられた動機は何（ｒｙ
>>626第一段
うーｍ・・・問題文のnと>>600で使っているnとは意味が違うということですか？
＞何も書かないわけにはいかないのでとりあえずnとしたという程度のn
これは漏れもそのつもりで答案で使っていたんですけど・・・
「各自然数nに対して、(-1/n,n)をC_nとおく、するとそのnに対して〜」としているのが>>600
なのですが。。それとも「そのnに対して」を省略したのがまずかったのでしょうか
第二段をｋです。。量化記号をつかわなかった動機も聞いていいですか？
-
>>627
二つとも、λとBは無関係という意味で書いたのですが、これでは雑かなと思ったので・・・
再び>>626で
＞「場所ふさぎ」
笑いましたよｗ明らかに外国語を無理やり和訳したって言う感じですね(･∀･)
整式に「不定元」というのもあるそうですね
-
>>630
解析概論には劈頭から実数の連続性が出てきます。
デーデキント･カット⇒上(resp.下)に有界な集合は上限(resp.下限)をもつ
⇒有界単調列は収束する⇒区間縮小法⇒デーデキント･カット
という順で示しています。つまりこの4つの命題はどの二つも互いに
同値なのです。しかしこの4つの同値な命題そのものの証明はかかれて
おりません。この4つの命題を無条件に認めてそこから議論を始めよう
という態度なのです。
∩A_n={0}ってのは区間縮小法そのもので
これを示せといわれたら実数の連続性そのものであると答えるか、
デーデキントカットを議論の出発点とすると断ってから∩A_n={0}を示すか、
あるいは実数論そのものを別の公理(たとえばペアノの公理)から建設する
という3つの方法が、まっとうな方法として考えられます。
ただし、証明ってのは所詮は説得の手段に過ぎないという立場に立つならば、
∀n∈N, 0∈A_nだから{0}⊂∩A_n,
∀n∈N, (-∞, 0)∩A_n=Φだから∩A_n⊂R-(-∞, 0)=[0, ∞),
∀x∈(0, ∞), ∃n∈N;¬(x∈A_n)だから(0, ∞)⊂R-∪A_n即ち∩A_n⊂(-∞, 0].
よって∩A_n⊂(-∞, 0]∩[0, ∞)={0}.
とでもすべきなんでしょうね。
量化子を使うのを避けたのは、意味を見失う危険を避けたかったからです。
∀λ∈Λ, (x∈A_λ⇒x∈B_λ)と
(∀λ∈Λ, x∈A_λ)⇒(∀λ∈Λ, x∈B_λ)を同じことだと思うような危険を避けたかったのです。
-
>>629
先にこちらを納得ですｗ
BからCへ行くのにAを経由するってのが何だかベクトルに似てるような感じがしました。。
-
4．
(5.3) f(∪_(λ∈Λ)P_λ)=∪_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.4) f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⊂∩_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.3)' f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)=∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ),
(5.4)' f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)=∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ).
を示せ。
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)⇒y=f(x)}
⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「あるP_λ」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき当然「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」ようなλが存在する。
逆も同様。
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}⇒y=f(x)〕
⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
-
(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「あるQ_μ」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」ようなμが存在する。
逆も成立。
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
-
久しぶりにや書いてみますた。。
あとは5番と>>628の読解を・・・。
ラーメン氏は状況がすぐれないのでしょうか
-
うん・・・
(>_<)
-
まずはごゆっくり静養なさるのが一番だと思います。。
とにかくお大事におながいしますYOm(_ _)m
-
>>634-635
(5.3),(5.4),(5.3)',(5.4)二行目。なんで突如として「⇒」が出てくるの？
-
>>216を思い切り勘違いしてました。ので全部直すと、(⇒を∧に変更しただけ)
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)∧y=f(x)}⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ∧y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}∧y=f(x)〕⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ∧y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)
(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)∧f(x)=y}⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)∧f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)∧f(x)=y}⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)∧f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
となりました。
-
>>632
レス遅くなりました。ごめんなさいm(_ _)m
察しの通り、本格的な実数論は未習なので、問題1．は書き方に困ったのですが、
問題として求めていたのは先生が書かれたものだと思います。。
四つの同値な命題の内デデキントを最初に持ってくるのはやはり「好み」によるのですかねｗ
>>609も読まなくてはいけなかった・・・お待ちください
-
5．
次の等式を示せ。
(a){∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)
(b){∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)
(c){∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(d){∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(a)
x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∧x∈{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧x∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∩B_μ
⇔x∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)■
(b)
x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∨x∈{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∨(∀μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨x∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨B_μ
⇔x∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)■
-
(c)
(x,y)∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；y∈B_μ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧y∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；(x,y)∈A_λ×B_μ
⇔(x,y)∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)■
(d)
(x,y)∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∀μ∈Μ；y∈B_μ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧y∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；(x,y)∈A_λ×B_μ
⇔(x,y)∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)■
-
>>598
亀レスですが問題文の「A_λ∈Φ」は「A_λ∉ฺΦ」ですよね？
>>609
単射の必要条件のところで、
＞fが単射とするとf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}より
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
＞このときf_λ(a_ν)=f_(c_ν)であるがa_ν≠c_νであるようなν∈Λがあるとすると
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)であってもa_ν≠c_ν.
二行目までで既に示されているような気がするのですが・・・
あと、この問題で、「全てのλ∈Λに対して〜」と書く代わりに、
「λはΛの任意の元」を前提条件にして議論してもおｋですか？
>>628
納得です。。
今後はどうなさいますか？
-
第1章 §6同値関係
A）関係の概念
前に§1，B）(>>15)で1変数の条件を考えたが、(＾-＾)以上の変数を含む条件、たとえば
(i)x,yは有理数でx<yである；
(ii)x,y,zは実数でx^2+y^2=2zである；
(iii)p,ℓは平面π上の点及び直線で、pはℓの上にある；
のようなものは、一般に、それらの変数の間の関係と呼ばれる。変数の個数がnならば、
それをn変数の関係という。上の(i),(iii)は2変数の関係、(ii)は3変数の関係である。
関係に含まれる各変数には、それぞれその‘変域’、即ちその変数に代入することのできる
もの全体からなる集合が定まっている。たとえば、上の(i)の変数x,yの変域はともにQ；
(ii)の変数x,y,zの変域はいずれもR；(iii)の変数p,ℓの変域は、それぞれ平面π上の集合、
平面π上の直線の集合である。
以後、関係を一般にRのような文字で表し、Rがn変数x_1.x_2,・・・,x_nの関係で､各変数の
変域がそれぞれX_1,X_2,・・・,X_nであるならば、それを
R(x_1.x_2,・・・,x_n) （x_iの変域はX_i）
のように書く（もちろん、Rが数学上の概念としての関係である以上、各変数x_1.x_2,・・・,x_nに
それぞれ具体的な元a_1,a_2,・・・,a_nを代入した場合、R(x_1.x_2,・・・,x_n)が成り立つか成り立た
ないかは、いずれか一方だけにいつもはっきりと定まっていなければならない）。
-
特に、数学では
R(x,y) （x,yの変域は共にA）
という形の‘2変数の関係’がよく考えられる。本節では、これから先このような関係だけを
取り扱う。このような関係のことを以後簡単に‘Aにおける関係’と呼ぶこととし、
またこの場合、R(x,y)をxRyとも書くこととする。
Rを集合Aにおける一つの関係とするとき、aRbが成り立つようなAの元a,bの組(a,b)全体の
集合は、A×Aの一つの部分集合を形作る。この集合を関係Rのグラフといい、G(R)で表す。
即ち、 G(R)={(a,b)｜a∈A，b∈B，aRb} 。
逆に、A×Aの任意の集合Gが与えられたとき、G=G(R)がとなるようなAにおける関係Rを
（ただ一つだけ）定義することができる。即ち、Aの元a,bに対し、(a,b)∈Gのときまたそのときに
限ってaRbが成り立つとして関係Rを定義すればよい。
したがって、Aにおける一つの関係を定めることは、結局A×Aの一つの部分集合を与える
ことと本質的に異ならないことがわかる。
なお今後、RがAにおける関係でa,b∈Aのとき、単に‘aRb’と書いたならばそれは
‘aRbが成り立つ’という意味であると約束しておく。
-
注意
§3 C）(>>263-265)で見たように、AからAへの一つの対応を定めることもそのグラフと呼ば
れるA×Aの一つの部分集合を指定することと同等であった。このことと上に述べたことを考え
合わせれば、‘Aにおける関係’という概念と‘Aにおける対応’という概念とは、実質的には全く
同じものであることが分かる（両概念の間にはいわばニュアンスの違いがあるだけである）。
-
あわわわｗ
>>645三行目
＞(＾-＾)以上の変数
は 「二個以上の変数」に訂正です。。
実は(＾-＾)は数少ない登録単語です（俺がこれを多用するのはそのせいｗｗ）
-
>>640
(5.4)で⇒となってるところが(5.4)'では⇔とできるのはなぜ？
-
>>649
>>634-635の説明ではダメでしょうか？
そのままコピーすると、(5.4)では、
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
一方、(5.4)´では、
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
-
>>650
前半おｋ。
Λ={1, 2}, P_1=(-∞, 0], P_2=[0, ∞), ｆ:R∋x→x^2∈Rとすると
f(∩P_λ)=f({0})={0}, ∩f(P_λ)=[0, ∞)とかって判例挙げれば
もっと良かったけど。
後半
¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}
⇔¬{∀μ, x∈f^(-1)Q_μ}
⇔¬{∀μ, ∃y;y∈Q_μ∧f(x)=y}
⇔∃μ;∀y, y∈Q_μ∨f(x)≠y
にならない？
-
>>651
>>650後半は確かに間違いですね。
∃μ∈Μ;∀y{(y∉ฺQ_μ)∨f(x)≠y}
⇔∃μ∈Μ;∀y{(y∈Q_μ)⇒f(x)≠y}です。。
直感的に言えば、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}のとき、xは必ずどれかのf^(-1)(Q_μ)に
「含まれていない」ので、fで写像してもQ_μの交わりには絶対に達しない、と。
逆像では「含まれる」「含まれない」の関係が保存されるのが嬉しいな・・・
-
>>652
>>651の下から二行目も間違い書いちゃったね。
>>652おｋです。
逆像は∩と∪を保存するって言いたかったのかな？
もしそうならそういうことを発見する心を大切に。
実際にも、逆像は∩と∪を保存するってのは
後の章で少々活躍します。
-
x∉ฺP_λ1でもf(x)∈f(P_λ1)となることはあるが
例f(x)=x^2、P_λ1=(0,1)、P_λ2=(-1,0)、
x∉ฺf^(-1)(P_λ1)ならf(x)∉ฺf(P_λ1)ていうことです。
・・・定義から当たり前といえば当たり前ですが
-
>>654
あ、そっちか。
|
|
掲示板管理者へ連絡
無料レンタル掲示板
