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「集合・位相入門」輪読会
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ひとまず担当終了。
14 f∈B^A, h∈C^Aとする。このとき
∃g∈C^B;h=gf⇔(f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')).
したがってfが単射なら必ず, h=gfなるgが存在する.
解答 ∃g∈C^B;h=gfのもとでf(a)=f(a')とするとh(a)=(gf)(a)=g(f(a))=g(f(a'))=(gf)(a')=h(a).
f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')とする.b∈f(A)ならf^{-1}(b)≠Φ.よって集合族(f^{-1}(b))_{b∈f(A)}は
∀b∈f(A), f^{-1}(b)≠Φを満たす集合族であるので選択公理によって, 各b∈f(A)に対して
φ(b)∈f^{-1}(b)を満たす選択関数φ∈A^{f(A)}が存在する.(>>563のaを選択関数といいます.
選択写像というべきなのかもしれませんがなぜかchoice functionと名づけられています。)
g∈C^Bを次のように定めるとh=gfとなる.b∈f(A)のときはg(b)=h(φ(b)), b∈B-f(A)のときは
任意に固定されたCの元をcとしてg(b)=c.実際, ∀a∈Aに対してf(a)∈f(A)なのでφ(f(a))∈f^{-1}(f(a)).
よってf(φ(f(a)))=f(a)となり(gf)(a)=h(φ(f(a)))=h(a).
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