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「集合・位相入門」輪読会
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(b) rf=I_Aとなるようなr:B→Aが存在する場合、fが単射であることは
容易に示される。(§４,問題１０(b)参照)
逆に、f:A→Bが単射であるとしよう。そのとき、fの終集合をV(f)に変えた
写像をf'とすれば、f':A→V(f)は全単射である。(よって逆写像が存在)その逆写像
をr':V(f)→Aとする。そこで、Aの１つの元a_0を任意にきめておき、BからA
への写像rを
r(b)=r'(b) (b∈V(f)のとき)
=a_0 (b∈B-V(f)のとき)
によって定義すれば、rf=I_Aとなることが次のように示される。
aをAの任意の元とし、f(a)=f'(a)=bとすれば、b∈V(f)で、r'=f'^(-1)で
あるから、a=r'(b)=r(b)。したがって、
(rf)(a)=r(f(a))=r(b)=a=I_A（a) ゆえにrf=I_A(証明終)
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