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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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D) 一般の直積、選出公理
(A_λ|λ∈Λ)を１つの与えられた集合族とするとき、Λで定義された写像aで、
次の条件
(*) Λのどの元に対してもa(λ)=a_λ∈A_λ
を満足するようなもの全体の集合、いいかえれば、条件(*)を満たす族(a_λ|λ∈A)
全体の集合を、集合族(A_λ|λ∈A)の直積(または単に積)といい、記号
Π[λ∈A]A_λ
で表す。直積Π[λ∈A]A_λに対して、各A_λをその直積因子という。
特に、Λ={1,2}とすれば、Π[λ∈{1,2}]A_λは、a_1∈A_1,a_2∈A_2であるような
族a=(a_λ|λ∈{1,2})=(a_1,a_2)全体の集合となるが、これは前に§3,A)で定義した
２つの集合の直積A_1*A_2にほかならない。
＞a=(a_λ|λ∈{1,2})=(a_1,a_2)
(a_1,a_2)を写像aのグラフとみなしているということでしょうか？
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一般に、Λが有限集合Λ={1,2,…,n}であるとき、Π[λ∈Λ]A_λは、
A_1*A_2*･･･*A_n または Π[i=1,n]A_i
とも書かれる。これは、a_1∈A_1,a_2∈A_2,･･･,a_n∈A_nであるような族
(a_1,a_2,･･･,a_n)全体の集合である。(なお、この場合、"族"のかわりにしばしば
"組"という語も用いられる。)また、Λ=Nのときには、Π[λ∈Λ]A_λはΠ[n=1,∞]A_n
ともしるされる。
また(A_λ|λ∈Λ)において、すべてのλ∈Λに対しA_λが同じ集合Aである場合には、
直積Π[λ∈Λ]A_λは、Λで定義され、その各元の像がAの元であるような写像全体の
集合となるが、これは、(写像の終集合を重視すれば)ΛからAへの写像全体の集合に
ほかならないと考えられる。すなわち、この場合Π[λ∈Λ]A_λはA^Λと同一視される。
>>556
Π[λ∈A]A_λ→Π[λ∈Λ]A_λの間違いです。
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