レス数が1スレッドの最大レス数(1000件)を超えています。残念ながら投稿することができません。
「集合・位相入門」輪読会
-
>>597-599
こめんとはしばらくお待ちくださいm(_ _)m
1
実数の区間[0,1/n]をA_n、(0,1/n]をB_n、(-1/n,n)をC_n（n∈N）とするとき、
∪[n=1,∞]A_n、∩[n=1,∞]A_n、∪[n=1,∞]B_n、∩[n=1,∞]B_n、
∪[n=1,∞]C_n、∩[n=1,∞]C_n、を求めよ。
A_1⊃A_2⊃・・・⊃A_ｎ⊃・・・だから、(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂Cを繰り返し用いて、
∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、∪[n=1,∞]A_n⊃A_1は自明。∴∪[n=1,∞]A_n=A_1=[0,1]
同様に∪[n=1,∞]B_n=(0,1]。
∩[n=1,∞]A_n⊂{0}とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。ここでこのxは正の実数であるから、
∃n;x>1/n、このnに対し¬(x∈A_n)で矛盾。∴∩[n=1,∞]A_n⊂{0}
一方∩[n=1,∞]A_n⊃{0}は自明。∴∩[n=1,∞]A_n={0}
同様に∩[n=1,∞]B_n=φ。
∪[n=1,∞]C_n=(-1,∞)を示す。
C_1=(-1,1)より、∪[n=1,∞]C_n⊃(-1,0]。また、任意の正の実数xに対し、n>xとなるnが存在するから
このnに対しx∈C_n。∴∪[n=1,∞]C_n⊃(0,∞)。よって∪[n=1,∞]C_n⊃(-1,∞)。
x<=-1ならば任意のnに対し¬(x∈C_n)は容易にわかる。∴∪[n=1,∞]C_n⊂(-1,∞)。
次に∩[n=1,∞]C_n=[0,1)を示す。
0<=x<1ならば任意のnに対し-1/n<x<nであるから∩[n=1,∞]C_n⊃[0,1)。
一方、x=>1ならば¬(x∈C_1)より¬(x∈∩[n=1,∞]C_n)。
x<0ならば、任意の実数xに対し、-n<xとなるnが存在するからこのnに対し¬(x∈C_n)
∴¬(x∈∩[n=1,∞]C_n)よって∩[n=1,∞]C_n⊂[0,1)。
掲示板管理者へ連絡
無料レンタル掲示板
