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「集合・位相入門」輪読会
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5．
次の等式を示せ。
(a){∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)
(b){∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)
(c){∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(d){∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(a)
x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∧x∈{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧x∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∩B_μ
⇔x∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)■
(b)
x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∨x∈{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∨(∀μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨x∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨B_μ
⇔x∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)■
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