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「集合・位相入門」輪読会
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ちょびっと
10 (A_λ)_{λ∈Λ},(B_λ)_{λ∈Λ}を同じ添字集合Λを持つ2つの集合族とし, 各λ∈Λについて
A_λからB_λへの写像f_λが与えられたとする.そのとき, Π_{λ∈Λ}A_λの各元(a_λ)_{λ∈Λ}
にΠ_{λ∈Λ}B_λの元(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}を対応させれば, Π_{λ∈Λ}A_λからΠ_{λ∈Λ}B_λ
への一つの写像fが得られる. この写像fが全射(resp. 単射)であるためには, すべてのλ∈Λについて
f_λが全射(resp. 単射)であることが必要十分であることを示せ.
解答 fが全射とするとすべてのΠ_{λ∈Λ}B_λの元(b_λ)_{λ∈Λ}に対してf((a_λ)_{λ∈Λ})=(b_λ)_{λ∈Λ}
となるΠ_{λ∈Λ}A_λの元(a_λ)_{λ∈Λ}が存在する.fの定義よりf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}).
よってすべてのλ∈Λに対して, すべてのb_λ∈B_λに対してf_λ(a_λ)=b_λを満たすA_λの元a_λが存在する.
fが単射とするとf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}より
すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
このときf_λ(a_ν)=f_(c_ν)であるがa_ν≠c_νであるようなν∈Λがあるとすると
すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)であってもa_ν≠c_ν.
すべてのλ∈Λに対してf_λが全射であるとするとすべてのλ∈Λに対して任意のB_λの元b_λに対して
f_λ(a_λ)=b_λとなるA_λの元a_λが存在するので任意のΠ_{λ∈Λ}B_λの元(b_λ)_{λ∈Λ}
に対してf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}=(b_λ)_{λ∈Λ}となるΠ_{λ∈Λ}A_λの元
(a_λ)_{λ∈Λ}がある.
すべてのλ∈Λに対してf_λが単射であるとするとすべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_(c_λ)⇒a_λ=c_λ.
このときf((a_λ)_{λ∈Λ})=f((c_λ)_{λ∈Λ})⇔(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}=(f_λ(c_λ))_{λ∈Λ}
⇔すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_(c_λ)⇒すべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
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