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「集合・位相入門」輪読会
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4．
(5.3) f(∪_(λ∈Λ)P_λ)=∪_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.4) f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⊂∩_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.3)' f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)=∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ),
(5.4)' f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)=∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ).
を示せ。
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)⇒y=f(x)}
⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「あるP_λ」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき当然「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」ようなλが存在する。
逆も同様。
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}⇒y=f(x)〕
⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
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