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「集合・位相入門」輪読会
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(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「あるQ_μ」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」ようなμが存在する。
逆も成立。
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
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