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「集合・位相入門」輪読会
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定理6.
(f,g,h)∈(B^A)×(C^B)×(D^C)であるとするとき
(1) (h(gf),(hg)f)∈(D^A)^2であり,h(gf)=(hg)fである.
(2) f(I_A)=f,(I_B)f=fである.
(3) fが全単射ならf(f^(-1))=I_B,f^(-1)f=I_Aである.
＃(1)は写像の合成が結合律を満たすことを示している.
(2)は合成をA^A上の演算とみたときI_Aが単位元となっていることを示している.
(3)は合成をA^A上の演算とみたとき全単射fの逆元がf^(-1)となっていることを示している.
(1),(2),(3)より{f∈A^A|fは全単射}=S_AとおくとS_Aは合成を演算として群をなしていることがわかる.
定理6の証明.
(1) (f,g)∈(B^A)×(C^B)であるならgfはその定義よりC^Aの元である.
このことを繰り返すと(h(gf),(hg)f)∈(D^A)^2.
また,任意のAの元aに対して(h(gf))(a)=h((gf)(a))=h(g(f(a))),
((hg)f)(a)=(hg)(f(a))=h(g(f(a))).
(2) 任意のAの元aに対してf(I_A)(a)=f(I_A(a))=f(a).
任意のBの元bに対して(I_B)f(b)=I_B(f(b))=f(b).
(3) bをBの任意の元としf^(-1)(b)=aとする.このときf^(-1)の定義からf(a)=b.よって
f(f^(-1))(b)=f(a)=b.
aをAの任意の元としf(a)=bとする.このときf^(-1)の定義からf^(-1)(b)=a.よって
(f^(-1)f)(a)=f^(-1)(f(a))=f^(-1)(b)=a.■
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