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「集合・位相入門」輪読会
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では小出しに
6． 集合族(A_λ)_{λ∈Λ}において, λ≠λ'ならばA_λ∩A_λ'=Φとし, 各λ∈Λについて
f_λをA_λからBへの写像とする. そのとき, ∪_{λ∈Λ}A_λからBへの写像fで, すべての
f_λの拡大であるものが一意的に存在することを示せ.
解答 x∈∪_{λ∈Λ}A_λとすると∃λ∈Λ; x∈A_λ.このときλ≠λ'であるとすると
A_λ∩A_λ'=Φなので¬(x∈A_λ').即ちx∈∪_{λ∈Λ}A_λとすると
λ∈Λ; x∈A_λを満たすλが一意に存在する.
このxにf_λ(x)∈Bを対応させる∪_{λ∈Λ}A_λからBへの写像をfとおくとfはその定義から
各f_λの拡大になっている.
g∈B^(∪_{λ∈Λ}A_λ)が各f_λの拡大であるとする.
x∈∪_{λ∈Λ}A_λであるとするとλ∈Λ; x∈A_λを満たすλが一意に存在し,
g(x)=f_λ(x)であるがこのxについてはf(x)=f_λ(x)でもあるのでf(x)=g(x).
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