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「集合・位相入門」輪読会
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小出しに
8 (A_λ)_{λ∈Λ},(B_λ)_{λ∈Λ}を同じ添字集合Λを持つ2つの集合族とし,すべてのλ∈Λに
対してA_λ∈Φとする.そのとき,Π_{λ∈Λ}A_λ⊂Π_{λ∈Λ}B_λとなるためには,すべての
λ∈Λに対してA_λ⊂B_λであることが必要十分であることを示せ.
解答 十分性を示す.「すべてのλ∈Λに対してA_λ⊂B_λである」とすると,
「すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈A_λならば(a_λ)_{λ∈Λ}∈B_λ」が成り立つ.
このとき, 「すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈A_λならば
すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈B_λ」
即ち「Π_{λ∈Λ}A_λ⊂Π_{λ∈Λ}B_λ」が成り立つ.
必要性を示す.「¬(A_{λ_0}⊂B_{λ_0})となるようなλ_0∈Λが存在する」とすると
「a_{λ_0}∈A_{λ_0}かつ¬(a_{λ_0}∈B_{λ_0})を満たすa_{λ_0}が存在するような
λ_0∈Λが存在する」.
Λ上で定義された写像bでb(λ_0)=a_{λ_0}, λ≠λ_0でb(λ)∈A_λであるような
b=(b_λ)_{λ∈Λ}については(b_λ)_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}A_λではあるが
¬((b_λ)_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}B_λ)である.
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