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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>608順に書きます
・打ちミスでした。「右」で変換してたので・・
・任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なので∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、とします。
･任意のnに対し、A_1⊂A_ｎ。などとすればよいですか？
・これも打ちミス。¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕のつもりでした。
･持ってないです・・・＼
･n∈Nは問題文に書いてあるので・・・
・「x<=-1ならば任意のnに対し、-1/n<x<nとなることはない、即ち¬(x∈C_n)」とします。
他も一応解きましたがノートに書いたことをすべて転載するのは苦しいでつ・・・
もう少しまって下さい。（>>600も省略してしまいました）
こちらこそふにゃふにゃした文章書いてすみません・・・
でも不備はｶﾞﾝｶﾞﾝ指摘してください！ヽ(´∀｀) ノ
>>597-598
漏れは納得です。8番で量化記号を使わなかったのはわざとですか？
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2．
(5.1) (∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B=∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B)
(5.1)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)∪b=∩_(λ∈Λ)(A_λ∪b)
を示せ。
(5.1)
x∈(∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B⇔（∃λ∈Λ;x∈A_λ）∧x∈B
⇔∃λ∈Λ;（x∈A_λ∧x∈B）（∵∃λ∈Λ;x∈B⇔x∈B）
⇔∃λ∈Λ;（x∈A_λ∩B）⇔x∈∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B)□
(5.1)'
x∈(∩_(λ∈Λ)A_λ)∪B⇔（∀λ∈Λ;x∈A_λ）∨x∈B
⇔∀λ∈Λ;（x∈A_λ∨x∈B）（∵∀λ∈Λ;x∈B⇔x∈B）
⇔∀λ∈Λ;（x∈A_λ∪B）⇔x∈∩_(λ∈Λ)(A_λ∪B)□
結局(5.1)'は(5.1)で∪と∩、∨と∧を入れ替えただけです。。
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3．
(A_λ|λ∈Λ)が普遍集合Xの部分集合族であるとき、
(5.2) (∪_(λ∈Λ)A_λ)^c=∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c,
(5.2)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)^c=∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c.
を示せ。
x∈Xの下で考える。（x∈A＾c⇔¬（x∈A)）
(5.2)
x∈(∪_(λ∈Λ)A_λ)^c⇔¬（∃λ∈Λ;x∈A_λ）
⇔∀λ∈Λ;¬（x∈A)⇔∀λ∈Λ;x∈A＾c
⇔x∈∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c□
(5.2)'
x∈(∩_(λ∈Λ)A_λ)^c⇔¬（∀λ∈Λ;x∈A_λ）
⇔∃λ∈Λ;¬（x∈A)⇔∃λ∈Λ;x∈A＾c
⇔x∈∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c□
これも入れ替えただけっていう・・・(;´Д｀)
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あげた方がいいのかな？解析概論って300鳳凰堂ぐらいしましたよね？
ちょっと値段が○|￣|＿
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>>616
俺は （諭吉）^0.8138 で買いますた。
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10 000^0.8138 = 1 799.69952
早速google大活躍（藁
あり？こんなに安いなら漏れも買おうかな(;´Д｀)
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>>616
古本屋を経巡れば五分の一葉くらいで買えるのでは？
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1.0000000001^10 000 000 000 = 2.71828203
(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ
>>619
古本屋・・・・神田あたりでしょうか？
因みに彼女はもうでまわってるんですか？ｗｗ
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文体古くて読みづらい気が
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>>620
ブックオフとかにないかなあ。
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>>621
初版が昭和十三年だかなんだかだから。
今の学生版は新漢字新かなづかいだからずいぶんましになったと思いますが。
>>620
忘れてた。彼女は霜月デビューの予定。
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Bo○ｋ Off?
それはおいしいｗｗｗ
>>623漏れの場合旧字旧仮名（ｒｙ
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>>613
・打ちミス・・・了解。
・任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なので∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、とします。
任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なのであるnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」
となり∪[n=1,∞]A_n⊂A_1というわけですね。了解。
･任意のnに対し、A_1⊂A_ｎ。などとすればよいですか？
そうですね。それだとA_1⊂∩[n=1, ∞]A_nをいったように見えるので
任意のnに対し、A_1⊂A_ｎなので、あるnに対し、A_1⊂A_ｎ。即ちA_1⊂∪[n=1, ∞]A_n
という感じですかね。
・これも打ちミス。¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕のつもりでした。
¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。ここでこのxは正の実数であるから
と書くつもりだったのですか？
¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕とすると、¬((∀n, x∈A_n)ならばx=0)だから∀n, (x∈A_n)∧x≠0となりますが。
･持ってないです・・・＼
安く買えるといいですね。
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･n∈Nは問題文に書いてあるので・・・
問題文中には「各自然数nに対して、(-1/n,n)をC_nとおく」と書いてあります。
これは「各自然数mに対して、(-1/m,m)をC_mとおく」と書いてあったとしてもまったく同じ意味の文
になりますね。つまり問題文中のnは固有名詞的なnでなく、何も書かないわけにはいかないので
とりあえずnとしたという程度のnです。写像f∈B^AというのはAの各元がfという役割によって
Bの何らかの元にうつるとという現象があったときの役割fのことです。たとえばA=B=Rだとして
fがAの各元を二倍するっていう役割を担っているとしましょうか。このときAの各元を仮に
xと表すことにしてf(x)=2xなどと書いたりします。この書き方はfがどんな役割を持っているかを
表すときにはわかりやすいのですが、xという個性ありげな文字を使うところに少々引っかかりを
覚えます。本当は何も書かないわけにはいかないから仮にxという文字を充てただけでもっと無個性な表記
(たとえばf(･)=2･)見たいな書き方のほうがいいのかもしれません。実はこのf(x)という書き方における
文字「x」にも専門用語がつけられています。なんとその名も「場所ふさぎ」。ですから
この問題文中に登場するnを固有名詞のように「前出の」nという風に扱われると、ちょとまてよ。
という気分になってしまうのです。
・「x<=-1ならば任意のnに対し、-1/n<x<nとなることはない、即ち¬(x∈C_n)」とします。
おｋ。
はい。わざと量化子は使いませんでした。
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>>614
(5.1) 一行目から二行目への同値変形。結果は正しいけどカッコ内の注釈はどういう意味でしょう？
(5.2) 一行目から二行目への同値変形。結果は正しいけどカッコ内の注釈はどういう意味でしょう？
>>615
ﾊﾗｼｮｰ
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12 f:A→B, f':B→Cとする.
(a) f, f'がともに全射のとき, s, s'をそれぞれf, f'の右逆写像とすれば, ss'はf'fの右逆写像となることを示せ.
(b) f, f'がともに単射のとき, r, r'をそれぞれf, f'の左逆写像とすれば, rr'はf'fの左逆写像となることを示せ.
解答 (a), (b)とも写像の合成が結合律を持っている(>>456)ことと恒等写像は合成により不変(>>456)であること
から示すことができる.実際,
(a) (f'f)(ss')=f'(f(ss'))=f'((fs)s')=f'(I_Bs')=f's'=I_C,
(b) (rr')(f'f)=r(r'(f'f))=r((r'f')f)=r(I_Bf)=rf=I_A.
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ひとまず担当終了。
14 f∈B^A, h∈C^Aとする。このとき
∃g∈C^B;h=gf⇔(f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')).
したがってfが単射なら必ず, h=gfなるgが存在する.
解答 ∃g∈C^B;h=gfのもとでf(a)=f(a')とするとh(a)=(gf)(a)=g(f(a))=g(f(a'))=(gf)(a')=h(a).
f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')とする.b∈f(A)ならf^{-1}(b)≠Φ.よって集合族(f^{-1}(b))_{b∈f(A)}は
∀b∈f(A), f^{-1}(b)≠Φを満たす集合族であるので選択公理によって, 各b∈f(A)に対して
φ(b)∈f^{-1}(b)を満たす選択関数φ∈A^{f(A)}が存在する.(>>563のaを選択関数といいます.
選択写像というべきなのかもしれませんがなぜかchoice functionと名づけられています。)
g∈C^Bを次のように定めるとh=gfとなる.b∈f(A)のときはg(b)=h(φ(b)), b∈B-f(A)のときは
任意に固定されたCの元をcとしてg(b)=c.実際, ∀a∈Aに対してf(a)∈f(A)なのでφ(f(a))∈f^{-1}(f(a)).
よってf(φ(f(a)))=f(a)となり(gf)(a)=h(φ(f(a)))=h(a).
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>>625
＞第三段
＞それだとA_1⊂∩[n=1, ∞]A_nをいったように見えるので
＞任意のnに対し、A_1⊂A_ｎなので、あるnに対し、A_1⊂A_ｎ。即ちA_1⊂∪[n=1, ∞]A_n
＞という感じですかね。
あ、確かにそうですね。。そのほうが適切です。了解しました。
＞第五段
すみません書き方が悪すぎました･･･。
先に∩[n=1,∞]A_n⊂{0}を示し、0以外の実数xで、x∈∩[n=1,∞]A_n
となるものが存在すると仮定するとxは正だから〜
と書き直します・・・（謝。(>>600もかの意味で書いてました)
今度からノートにきちっと書き、PCの前であれこれするのは止めまつ
＞第六段
唐突に尋ねられた動機は何（ｒｙ
>>626第一段
うーｍ・・・問題文のnと>>600で使っているnとは意味が違うということですか？
＞何も書かないわけにはいかないのでとりあえずnとしたという程度のn
これは漏れもそのつもりで答案で使っていたんですけど・・・
「各自然数nに対して、(-1/n,n)をC_nとおく、するとそのnに対して〜」としているのが>>600
なのですが。。それとも「そのnに対して」を省略したのがまずかったのでしょうか
第二段をｋです。。量化記号をつかわなかった動機も聞いていいですか？
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>>627
二つとも、λとBは無関係という意味で書いたのですが、これでは雑かなと思ったので・・・
再び>>626で
＞「場所ふさぎ」
笑いましたよｗ明らかに外国語を無理やり和訳したって言う感じですね(･∀･)
整式に「不定元」というのもあるそうですね
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>>630
解析概論には劈頭から実数の連続性が出てきます。
デーデキント･カット⇒上(resp.下)に有界な集合は上限(resp.下限)をもつ
⇒有界単調列は収束する⇒区間縮小法⇒デーデキント･カット
という順で示しています。つまりこの4つの命題はどの二つも互いに
同値なのです。しかしこの4つの同値な命題そのものの証明はかかれて
おりません。この4つの命題を無条件に認めてそこから議論を始めよう
という態度なのです。
∩A_n={0}ってのは区間縮小法そのもので
これを示せといわれたら実数の連続性そのものであると答えるか、
デーデキントカットを議論の出発点とすると断ってから∩A_n={0}を示すか、
あるいは実数論そのものを別の公理(たとえばペアノの公理)から建設する
という3つの方法が、まっとうな方法として考えられます。
ただし、証明ってのは所詮は説得の手段に過ぎないという立場に立つならば、
∀n∈N, 0∈A_nだから{0}⊂∩A_n,
∀n∈N, (-∞, 0)∩A_n=Φだから∩A_n⊂R-(-∞, 0)=[0, ∞),
∀x∈(0, ∞), ∃n∈N;¬(x∈A_n)だから(0, ∞)⊂R-∪A_n即ち∩A_n⊂(-∞, 0].
よって∩A_n⊂(-∞, 0]∩[0, ∞)={0}.
とでもすべきなんでしょうね。
量化子を使うのを避けたのは、意味を見失う危険を避けたかったからです。
∀λ∈Λ, (x∈A_λ⇒x∈B_λ)と
(∀λ∈Λ, x∈A_λ)⇒(∀λ∈Λ, x∈B_λ)を同じことだと思うような危険を避けたかったのです。
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>>629
先にこちらを納得ですｗ
BからCへ行くのにAを経由するってのが何だかベクトルに似てるような感じがしました。。
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4．
(5.3) f(∪_(λ∈Λ)P_λ)=∪_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.4) f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⊂∩_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.3)' f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)=∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ),
(5.4)' f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)=∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ).
を示せ。
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)⇒y=f(x)}
⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「あるP_λ」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき当然「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」ようなλが存在する。
逆も同様。
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}⇒y=f(x)〕
⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
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(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「あるQ_μ」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」ようなμが存在する。
逆も成立。
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
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久しぶりにや書いてみますた。。
あとは5番と>>628の読解を・・・。
ラーメン氏は状況がすぐれないのでしょうか
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うん・・・
(>_<)
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まずはごゆっくり静養なさるのが一番だと思います。。
とにかくお大事におながいしますYOm(_ _)m
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>>634-635
(5.3),(5.4),(5.3)',(5.4)二行目。なんで突如として「⇒」が出てくるの？
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>>216を思い切り勘違いしてました。ので全部直すと、(⇒を∧に変更しただけ)
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)∧y=f(x)}⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ∧y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}∧y=f(x)〕⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ∧y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)
(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)∧f(x)=y}⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)∧f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)∧f(x)=y}⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)∧f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
となりました。
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>>632
レス遅くなりました。ごめんなさいm(_ _)m
察しの通り、本格的な実数論は未習なので、問題1．は書き方に困ったのですが、
問題として求めていたのは先生が書かれたものだと思います。。
四つの同値な命題の内デデキントを最初に持ってくるのはやはり「好み」によるのですかねｗ
>>609も読まなくてはいけなかった・・・お待ちください
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5．
次の等式を示せ。
(a){∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)
(b){∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)
(c){∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(d){∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(a)
x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∧x∈{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧x∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∩B_μ
⇔x∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)■
(b)
x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∨x∈{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∨(∀μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨x∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨B_μ
⇔x∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)■
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(c)
(x,y)∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；y∈B_μ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧y∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；(x,y)∈A_λ×B_μ
⇔(x,y)∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)■
(d)
(x,y)∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∀μ∈Μ；y∈B_μ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧y∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；(x,y)∈A_λ×B_μ
⇔(x,y)∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)■
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>>598
亀レスですが問題文の「A_λ∈Φ」は「A_λ∉ฺΦ」ですよね？
>>609
単射の必要条件のところで、
＞fが単射とするとf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}より
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
＞このときf_λ(a_ν)=f_(c_ν)であるがa_ν≠c_νであるようなν∈Λがあるとすると
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)であってもa_ν≠c_ν.
二行目までで既に示されているような気がするのですが・・・
あと、この問題で、「全てのλ∈Λに対して〜」と書く代わりに、
「λはΛの任意の元」を前提条件にして議論してもおｋですか？
>>628
納得です。。
今後はどうなさいますか？
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第1章 §6同値関係
A）関係の概念
前に§1，B）(>>15)で1変数の条件を考えたが、(＾-＾)以上の変数を含む条件、たとえば
(i)x,yは有理数でx<yである；
(ii)x,y,zは実数でx^2+y^2=2zである；
(iii)p,ℓは平面π上の点及び直線で、pはℓの上にある；
のようなものは、一般に、それらの変数の間の関係と呼ばれる。変数の個数がnならば、
それをn変数の関係という。上の(i),(iii)は2変数の関係、(ii)は3変数の関係である。
関係に含まれる各変数には、それぞれその‘変域’、即ちその変数に代入することのできる
もの全体からなる集合が定まっている。たとえば、上の(i)の変数x,yの変域はともにQ；
(ii)の変数x,y,zの変域はいずれもR；(iii)の変数p,ℓの変域は、それぞれ平面π上の集合、
平面π上の直線の集合である。
以後、関係を一般にRのような文字で表し、Rがn変数x_1.x_2,・・・,x_nの関係で､各変数の
変域がそれぞれX_1,X_2,・・・,X_nであるならば、それを
R(x_1.x_2,・・・,x_n) （x_iの変域はX_i）
のように書く（もちろん、Rが数学上の概念としての関係である以上、各変数x_1.x_2,・・・,x_nに
それぞれ具体的な元a_1,a_2,・・・,a_nを代入した場合、R(x_1.x_2,・・・,x_n)が成り立つか成り立た
ないかは、いずれか一方だけにいつもはっきりと定まっていなければならない）。
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特に、数学では
R(x,y) （x,yの変域は共にA）
という形の‘2変数の関係’がよく考えられる。本節では、これから先このような関係だけを
取り扱う。このような関係のことを以後簡単に‘Aにおける関係’と呼ぶこととし、
またこの場合、R(x,y)をxRyとも書くこととする。
Rを集合Aにおける一つの関係とするとき、aRbが成り立つようなAの元a,bの組(a,b)全体の
集合は、A×Aの一つの部分集合を形作る。この集合を関係Rのグラフといい、G(R)で表す。
即ち、 G(R)={(a,b)｜a∈A，b∈B，aRb} 。
逆に、A×Aの任意の集合Gが与えられたとき、G=G(R)がとなるようなAにおける関係Rを
（ただ一つだけ）定義することができる。即ち、Aの元a,bに対し、(a,b)∈Gのときまたそのときに
限ってaRbが成り立つとして関係Rを定義すればよい。
したがって、Aにおける一つの関係を定めることは、結局A×Aの一つの部分集合を与える
ことと本質的に異ならないことがわかる。
なお今後、RがAにおける関係でa,b∈Aのとき、単に‘aRb’と書いたならばそれは
‘aRbが成り立つ’という意味であると約束しておく。
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注意
§3 C）(>>263-265)で見たように、AからAへの一つの対応を定めることもそのグラフと呼ば
れるA×Aの一つの部分集合を指定することと同等であった。このことと上に述べたことを考え
合わせれば、‘Aにおける関係’という概念と‘Aにおける対応’という概念とは、実質的には全く
同じものであることが分かる（両概念の間にはいわばニュアンスの違いがあるだけである）。
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あわわわｗ
>>645三行目
＞(＾-＾)以上の変数
は 「二個以上の変数」に訂正です。。
実は(＾-＾)は数少ない登録単語です（俺がこれを多用するのはそのせいｗｗ）
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>>640
(5.4)で⇒となってるところが(5.4)'では⇔とできるのはなぜ？
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>>649
>>634-635の説明ではダメでしょうか？
そのままコピーすると、(5.4)では、
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
一方、(5.4)´では、
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
-
>>650
前半おｋ。
Λ={1, 2}, P_1=(-∞, 0], P_2=[0, ∞), ｆ:R∋x→x^2∈Rとすると
f(∩P_λ)=f({0})={0}, ∩f(P_λ)=[0, ∞)とかって判例挙げれば
もっと良かったけど。
後半
¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}
⇔¬{∀μ, x∈f^(-1)Q_μ}
⇔¬{∀μ, ∃y;y∈Q_μ∧f(x)=y}
⇔∃μ;∀y, y∈Q_μ∨f(x)≠y
にならない？
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>>651
>>650後半は確かに間違いですね。
∃μ∈Μ;∀y{(y∉ฺQ_μ)∨f(x)≠y}
⇔∃μ∈Μ;∀y{(y∈Q_μ)⇒f(x)≠y}です。。
直感的に言えば、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}のとき、xは必ずどれかのf^(-1)(Q_μ)に
「含まれていない」ので、fで写像してもQ_μの交わりには絶対に達しない、と。
逆像では「含まれる」「含まれない」の関係が保存されるのが嬉しいな・・・
-
>>652
>>651の下から二行目も間違い書いちゃったね。
>>652おｋです。
逆像は∩と∪を保存するって言いたかったのかな？
もしそうならそういうことを発見する心を大切に。
実際にも、逆像は∩と∪を保存するってのは
後の章で少々活躍します。
-
x∉ฺP_λ1でもf(x)∈f(P_λ1)となることはあるが
例f(x)=x^2、P_λ1=(0,1)、P_λ2=(-1,0)、
x∉ฺf^(-1)(P_λ1)ならf(x)∉ฺf(P_λ1)ていうことです。
・・・定義から当たり前といえば当たり前ですが
-
>>654
あ、そっちか。
-
>>642
(a) おｋ
(b) 下から二行目の∨は∪ね。
それぞれ三行目と四行目の同値性はそう易しくはないよね。
>>643
(ｃ) おｋ
(d) おｋ
>>644
えと「A_λ≠Φ」ですた。ｽﾏｿ。
＞単射の必要条件
言わなきゃいかんのは、
「ｆが単射という条件の下で『すべてのλでf_λ(a)=f_(c)⇒a=c』」
ですので。(一箇所λが抜けてますね。ｽﾏｿ)
-
↑なまえ変え忘れ
-
>>656
＞下から二行目の∨は∪ね。
その通りです。ごめんなさい。
（こういう打ちミスかな、と思われることも流さず指摘する、という方針ということですね？）
＞それぞれ三行目と四行目の同値性はそう易しくはないよね。
説明しろってことですか？
(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；x∈B_μ)ならば
実際にx∈A_λやx∈B_μを成立させている特定の元λ、μをとってきて、
Λ×Μの特定の元(λ,μ)を構成してやれば、それに対してx∈A_λ∧x∈B_μ
が成立しているのは明らかだと思ったのですが。。逆も同様の考え方で。
＞「ｆが単射という条件の下で『すべてのλでf_λ(a)=f_(c)⇒a=c』」
(ここもλが抜けてませんか？)
つまり、>>609で
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
この破線部を取り除きたかったということですね？
-
>>658
えと、打ちミスの指摘は、後から読む人のためにもお互いしたほうがよいかと。
λ抜け、入れるの忘れました。ｽﾏｿ。
えっと。
「f((a_λ))=f((ｃ_λ))⇒(a_λ)=(ｃ_λ)」がいえているという条件の下でなら
「各λについて『ｆ_λ(a)=ｆ_λ(ｃ)⇒a=ｃ』」がいえる
を言ったつもりなのです。
(aとcに添え字をつけてないのはわざとですよ)
-
なんだか混乱してきました。
>>609で先生は
fは単射⇔「f((a_λ))=f((ｃ_λ))⇒(a_λ)=(ｃ_λ)」
⇔「∀λ；f_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)」⇒「∀λ；a_λ=c_λ」(∵f((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ})
と書いたのだと思いますが、(最初ここまでで既に示されたと漏れは思っていました)
実際示したいのは∀λ；「f_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)⇒a_λ=c_λ」
であり、ちょっと形が違うのでｃやνを持ち出して補足したのですよね？
(というのが>>658で言いたいことでした。わかりにくくてすみません)
-
>>660
>>660の二つ目の⇔はいきなり示すのはシンドそうだから「⇒」を
さきに示そうとしてるんですが、>>660に書いてあることは
大体そのとおりです。「大体」と歯切れが悪いのは、
要るから書いたのであって「ちょっと形が違うので」「補足し」たの
ではないからです。
-
あ、ひょっとして
「f((a_λ))=f((ｃ_λ))⇒(a_λ)=(ｃ_λ)」
⇔「∀λ；f_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)」⇒「∀λ；a_λ=c_λ」(∵f((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ})
を示そうとして、>>609では⇒を先に示し、ｃやνを持ち出したのは
←（「⇒」のような矢印に変換できない・・・）を示す為ってことでしょうか？
-
>>662
ちがいます。
cやλを持ち出したのはあくまで⇒を示すためです。
逆向き矢印は、>>609の下から三行で示したつもりです。
-
うーんうーんどこの解釈を間違えているのだろう・・・
「補足」という言葉がまずかったのでしょうか。。
これは漏れも「不必要だけど分かりやすくするために追加すること」という意味ではなく、
「必要だけど、解答の一番中心の幹となる部分の詰めに使うこと」という意味で
言っています。・・・・ここじゃないかなぁ。。
-
飯、風呂なんでちよと待って。
補足っていわれれば
ついでに って意味だと
思ってしまいます。
-
答案外だと一層言い方が雑になってしまいます。申し訳ありませんでした。
たぶんそのころまでに僕はいなくなっていると思うのでお構いなくごゆっくりどうぞ。。
-
第1章 集合と写像 §6 同値関係
B)同値関係
集合Aにおける関係Rが次の(1)、(2)、(3)を満たすとき、RはAにおける同値関係であるという。
(1)Aの全ての元に対して aRa
(2)あの元a,bに対し aRb⇒bRａ
(3)あの元ａ,ｂ,ｃに対し ａRb，bRc⇒aRc
(1)、(2)、(3)をそれぞれ反射律、対称律、推移律といい、これら三つを合わせて同値率と言う｡
RがAにおける同値関係であるとき、aRbであるようなAの元a,bは、Rに関して同値であると言
われる。
(注意)
なお一般に、(1)を満たすような関係は反射的、(2)を満たすような関係は対称的、(3)を満たす
ような関係は推移的であると言われる。同値関係は、反射的、対称的かつ推移的であるような
関係に他ならない。
同値関係はまた、しばしば、≡あるいは〜などの記号で表される。
-
次に同値関係のいくつかの例を挙げよう。
例1
Aを任意の集合とし、RをAの元の間の相当関係=とすれば、これはAにおける一つの同値関係
である。実際、a=bという関係はいうまでもなく同値律を満足するからである。これはいわば
‘最も原始的な’同値関係である。
例2
整数の集合Zと一つの定まった正の整数nとを考える。Zの元a,bは、a-bがnで割り切れるとき、
nに関して(あるいは、nを法として)合同であると言われ、a≡b(mod n)または略してa≡b(n)
と記される。この関係≡(modｎ)はZにおける一つの同値関係である。
実際、まず任意のa∈Zに対し、a-a=0で、0はnで割り切れるから、a≡aである(modn)。
またa,b∈Zに対し、a-bがnで割り切れるならば、b-a=-(a-b)ももちろんnで割り切れる。
即ちa≡b(modn)ならばb≡a(modn)である。
最後にa,b,c∈Zに対し、a-b,b-cが共にnで割り切れれば、a-c=(a-b)+(b-c)もやはり
0で割り切れる。即ちa≡b(modn)、b≡c(modn)ならばa≡c(modn)である。
以上で、≡(modn)は反射律、対称律、推移律を満たすことが示された。
例3
fを集合Aから集合Bへの一つの写像とする。Aの元x,yに対し、それらのfによる像が一致すると
き(即ちf(x)=f(y)となるとき)、またそのときに限りxRyとして関係Rを定義すれば、これは明らか
に、Aにおける同値関係となる。これを写像fに付随する同値関係と言い、しばしばR(f)で表す。
-
例4
集合Aとその部分集合系ℳฺについて、次の(i)(ii)が成り立つとき、ℳฺはAの直和分割である、
Aはℳฺに属する集合の直和である(あるいは簡単に、Aはℳฺの直和である)、などという。
(i)∪ℳฺ=A
(ii)ℳฺの相異なる2元は互いに素である、即ちℳฺ∋C,C’；C≠C’⇒C∩C’=φ
ℳฺをAの直和分割とすれば、Aのどの元aに対しても、条件(i)によってa∈Cとなる
ℳฺの元Cが存在するが、条件(ii)によってそのようなCはただ一つしかない。
即ち、あの任意の元は一つしかもただ一つのℳฺの元に含まれる。そこで、Aの元a,b
に対し、aを含むℳฺの元とbを含むℳฺの元が一致するとき、またそのときに限り
aRbであるとして、aにおける関係Rを定義する。このようにして定義された
Rが同値関係であることは直ちに証明される。
これを、直和分割ℳฺに付随する同値関係と言う。
★本文中の「図11」は省略しました。
-
はは、実は代数系入門の方も次は同値関係だったりして。
-
みてらっしゃったとは・・・・かなりﾋﾞｸｰﾘです。。
結構向こうとあっちでリンクしているんですね。。
7月最終日ってことで書いてみますた。明日以降は９氏復帰なのでバトンタッチ・・・？
-
>>671
31から帰ってきてちょとしなくちゃいけないことあって、今見ました。
えとですね。出来ますれば
一度テキストを読む→反芻する→細かい部分が頭まに入ってない
→もう一回読む→(繰り返す)→何もみないで原稿を書く。
ってのをやれば、いろんな種類の数学の力がつくと思うのですが。
-
かなりミスがあるっぽいです・・・ｽﾏｿ
>>667
＞これら三つを合わせて同値率と言う｡
同値率→同値律に訂正。
>>669
＞即ち、あの任意の元は一つ、しかもただ一つのℳฺの元に含まれる。
あの任意の元→Aの任意の元に訂正。
他にもあれば指摘お願いします。
>>672
そうですね・・・また書く機会があれば（ないかもしれません）努力してみます。
-
>>673
はは、このペースじゃあなたが東大生になる頃になっても終わってないんじゃないかな。
-
>>674
確かに・・・
でも９氏、雑談スレ188氏、数学板の中三の方方がいらしてくれれば
３倍速以上で進める予感。
それから、漏れが来年東大生になれるとは限らな（ｒｙ
-
「来年」とは書かれてませんでしたね・・・orz
因みに漏れは浪人するつもりはないっすｗ
-
>>676
来年のつもりで書きましたよ！！
もちろん。
-
あの数学板のスレ熱くなってますね。
刺激を受けた大学生が頑張ろうと励ましあってる。ポジティブになれる彼らを尊敬。
何か漏れの方が老けた考えをしている・・・（ｶﾞｯｸﾘ
>>677
ありがとうございます。先生の予想を裏切らないように何とか突き進みたい・・・・
勉強全般で。
-
微積分や線形代数って理系の大学一年が絶対通る道だし、
どうせなら現代数学の基礎を(しかも予備知識が要らない)ということで
集合位相と代数系のスレを立てましたが、やっぱり
線形代数と微積分のスレも立てといたほうがよかったかなあ。
でも適当なテキストがあんましないんだよなあ。
高木も杉浦も斉藤も分厚すぎるし、でも、もし立てるなら
微積高木、線形斉藤かなあ。
微積スレ、線形スレがあったら人口増えるのかな。
-
どうでしょうかねぇ・・・研究所で新たに入ってきた方はほとんどいないのではないかと
思うのですが・・・。よくカキコする人はみんな2ｃｈの本スレ出身ですし。
核となる人口が少ない以上、新たなスレを立てても計画倒に終わる恐れが・・・・。
別にあってもよいとは思うのですが。
(むしろ計算演習中心と銘打ってあった方がとっつき易いかもしれません)
-
>>645
了解。
>>646
2変数の関係のことを2項関係ともいいます.
「RがGを定め,逆にGから関係を定義できる｣だけなら
「Aにおけるひとつの関係を定めることは,結局A×Aの1つの部分集合
を与えることと本質的に異ならない｣
は本当はちょっと言いすぎですよね。
>>647
了解。
>>648
了解。既に解読してました。
-
>>667
>>673の訂正をこめて了解。
>>668
了解。後に例3が活躍することでしょう。
>>669
了解。ははぁ。ずーっとclassificationの訳は何というんだろう
と思ってました。直和分割っていえばいいのか。
-
>>681-682
＞・・・は本当はちょっと言いすぎですよね
言い過ぎ・・・なのでしょうか。。実を言えば、ここや§3C）はしっくり頭に入って
きませんでした。鵜呑みにしているという感じで・・・。
他は了解です。
-
>>683
まず本来なら,2項関係などという新たな概念を登場させるのなら2つの関
係RとR'が等しいとはどういうことかを定義しなくちゃなんないですよね.
それはまあ集合A上の2項関係RとR'が等しいとは,すべてのA×Aの元(a,b)に対して
aRb=aR'bが成り立つこととすればいいとしましょう.
次にA上の2項関係Rが与えられたときにG(R)={(a,b)∈A×A|aRb}でRのグラフを定義し,
A×Aの部分集合Gが与えられたときにaR(G)b⇔(a,b)∈GでGによる2項関係R(G)を定義します.
このとき常にR(G(R))=RかつG(R(G))=Gであることを示して初めて
「Aにおけるひとつの2項関係を定めることは,結局A×Aの1つの部分集合を与えることと本質的に異ならない｣
といえるのではないでしょうか.
ま,上の定義によればR(G(R))=RもG(R(G))=Gもほぼ自明だし,わざわざそのような記述をすると
かえって混乱を招きかねないというのが著者の意図なのでしょうが.
-
あ、忘れてた。
>>臺地くん
>>669のRがA上の同値関係であることを実際に証明してください。
-
えー、進んでいいかね。
Ｃ)同値類･商集合
さて>>669の例4では集合Aの直和分割ＭからＭに付随する同値関係を作ったのですが,
その逆をしましょう.集合A上の同値関係RからAの直和分割を作ろうというわけです.
エー先ず,Aの各元aに対してC(a)={x∈A|xRa}とC(a)を定義します.すると,
a∈Aとすると反射律よりa∈C(a)だからX=∪[x∈A]C(x)が言えます.
またaRbであるなら対称律からC(a)=C(b)が言え,逆にa∈A,b∈Aに対して
C(a)=C(b)であるならC(a)もC(b)も空でないのでc∈C(a)=C(b)が存在し,対称律と推移律から
aRbが言えます.すなわち(a,b)∈A×Aに対してaRb⇔C(a)=C(b)なのです.
したがって¬(aRb)であるならC(a)≠C(b)ですが,このときもしC(a)∩C(b)が元を持つなら
対称律と推移律からaRbとなってしまい矛盾を引き起こします.ですから
C(a)≠C(b)ならばC(a)∩C(b)=Φです.以上よりAの部分集合系{C(a)}_[a∈A]はAの直和分割になります.
Aの元aとbがこの直和分割のある元Cにともに属しているならば対称律と推移律によりaRbであることが言え,
Aの元aとbがaRbであるならば,対称律と推移律によりaとbはともにこの直和分割のある元の元になります.
つまりAの元aとbがこの直和分割のある元の元であることとaRbであることは同値なのです.
このことは即ちRがこの直和分割に付随する同値関係と一致することにほかならないのであります.
また,Aの直和分割ＭからＭに付随する同値関係RをつくりRから上の方法で再び直和分割{C(a)}_[a∈A]
をつくるとＭと{C(a)}_[a∈A]は一致します.
実際,C∈Ｍとすると任意にCの元aを1つ固定すればCの任意の元xに対してxRaだから
C=C(a)={x∈A|xRa}∈{C(a)}_[a∈A]であり,任意のAの元aに対してC(a)の任意の元xはxRaを満たすので
xとaはともに同じＭの元に属しておりC(a)∈Ｍとなります.
以上よりＭとＭに付随する同値関係は同一視できることが分かります.定理の形で記すと
-
定理８
集合Aに同値関係Rが与えられたときAの各元aに対してC(a)={x∈A|xRa}とおき,Aの部分集合系Ｍを
Ｍ={C(a)|a∈A}とおくとＭはAの直和分割になっておりRはＭに付随する同値関係と一致する.
となります.
上の議論に登場するC(a)をaの同値類,RからＭを作ることをAのRによる類別,ＭをAのRによる商集合
といい,Ｍ=A/Rと書きます.C∈ＭのときCの元をCの代表とか代表元といいます.Cはその元を1つ定めることによって
完全に定まることがその名の由来でしょう.
例1 任意の集合Aに対してA上の関係「=｣は反射律,対称律,推移律をすべて満たすのでA上の同値関係です.
A/(=)={{a}|a∈A}ですがこれはしばしばAと同一視します.
A上のもうひとつ別の関係Rを次で定義します.任意のAの2つの元a,bに対してaRb.
このように定義されたRは反射律,対称律,推移率をすべて満たすのでA上の同値関係です.
A/R={A}です.=をA上のもっとも細かい同値関係,RをA上のもっとも荒い同値関係と呼んだりもします.
名の由来は類別の細かさが反映してるんでしょうね.
-
例2 整数全体の集合Zと任意の固定した2以上の自然数nを考えます.
「≡(mod n)」がZ上の同値関係であることは既に見ました(c.f.>>668).
整数0,1,2,3,…,n-1はどの2つをとっても互いにnを法としては合同ではありません.
したがって同値類C(0),C(1),…,C(n-1)はどの二つをとっても異なる集合です.
一方剰余の定理(c.f.http://jbbs.livedoor.com/study/bbs/read.cgi?BBS=4125&KEY=1082477703/24-26)
によって任意の整数mはm=an+b,a∈Z,b∈Z,0≦b<nと一意に書けます.m≡b(mod n).
即ちC(m)はC(0),…,C(n-1)のどれか1つと一致します.
したがってZ/(≡(mod n))={C(0),…,C(n-1)}となります.
えー,話を元に戻しまして,Aの元aにＭ=A/Rの元C(a)を対応させることによりφ∈Ｍ^Aがひとつ
定まりますがこのφをAからA/Rへの自然な写像または標準的写像といいます.
任意のC(a)∈A/Rに対してφ(a)=C(a)なのでφは全射です.またφ(a)=φ(b)⇔C(a)=C(b)⇔aRbであるので
Rはφに付随する同値関係でもあります.
-
Ｄ)写像の分解
A,Bを集合,f∈B^Aとします.このときfに付随するA上の同値関係をR(f),φ∈(A/R(f))^AをAからA/R(f)
への標準的写像とします.このときg'∈B^(A/R(f))をg'(C(a))=f(a)で定義し,g=g'|V(f),j∈B^(V(f))
を標準的単射とすれば,Aの各元aに対してjgφ(a)=jg(C(a))=j(f(a))=f(a)であるのでf=jgφといつでも
3つの写像に分解できることが分かります.
このときV(f)=V(g)なのでgは全射,g(c(a))=g(C(b))⇔f(a)=f(b)⇔aRb⇔C(a)=C(b)だからgは単射,
即ちgは全単射なのですがこのgをfに付随する全単射といいます.fが全射ならf=gφ,fが単射なら
f=jgとそれぞれj,φを省略できます.ただしfが単射のときはAとA/R(f)を同一視しなきゃいけませんが.
-
問題やったら一章終わりというところまでやっと来ました。
…ラーメンさんと９くんの復帰を切に願いまーす。
-
>>684
定義より、
aR(G(R))b
⇔(a,b)∈G(R)
⇔aRb
(a,b)∈G(R(G))
⇔aR(G)b
⇔(a,b)∈G
は速攻ですね。
-
>>685
問．集合Aとその部分集合系ℳฺについて、
(i)∪ℳฺ=A
(ii)∀C,C'∈ℳฺ；C≠C'⇒C∩C'=φ
が成立している。Aの元aを含むℳฺの元をC(a)とおく。
┃(1)任意のaに対し、C(a)が一意存在することを示せ。
そこで、A上の関係RをaRb⇔C(a)=C(b)で定める。
┃(2)Rが同値関係であることを示せ。
(1)∃b∈A；∀C∈ℳฺ(b∉ฺC)と仮定すると、∀C；b∉ฺC⇔¬{∃C；b∈C}
⇔¬(b∈∪ℳฺ)⇔b∉ฺA(∵条件(i))となり矛盾する。
よって任意のaに対し、C(a)が存在する。
次にあるℳฺの元C、C'に対し、a∈C∧a∈C'とすると、
a∈C∧a∈C'⇔a∈C∩C'。C≠C'ならば条件(ii)よりa∈φとなり矛盾するから、C=C'。
よってAの元aに対しC(a)はただ一つ存在する。■
(2)
Rに関して同値律が成立することを示す。
aRa⇔C(a)=C'(a)。C(a)は(1)より一意存在するからこれは真。よって反射律が成立。
aRb⇔C(a)=C(b)⇔C(b)=C(a)⇔bRa。よって対称律が成立。
aRb∧bRc⇔{C(a)=C(b)}∧{C(b)=C(c)}⇒C(a)=C(c)⇔aRc。よって推移律が成立。
以上よりRは三つの同値律を全て満たすから同値関係である｡■
-
↑の(1)はオマケです。
>>684
「A上の二項関係」という言い方ではなく、
＞Gによる2項関係
とありますが、これは一般的な語法なのでしょうか？
>>686-689
後で読ませてもらいます。
>>690
このままではあと三年経っても終わらない・・・
二人とも消えてしまうつもりなのでしょうか・・・。
-
>>691
うん。速攻です。しかし本当は述べなくちゃいかんことでしょう。
>>692
(1)の最後の行、言いたいことは分かるけど、表現が良くないですね。
>>693
「Gによって定まるA上の2項関係」というべきでした。すいません。
-
>>694
了解です。
(1)の最後の行
って問題文のことですか？
了解です。
問題、どうしましょう・・・
-
>>695
いえ、失礼ながらあなたの回答文。
問題4つしかないからあなたと私と９くんとラーメン師匠で分けときましょうか。
-
>>696
どこがまずいのでしょう？？
問題6つあるような気が・・・
あと失礼ながら第一節〜第四節の問題は保留とかナシで全て解決済みですか？
-
>>697
あ、勘違いでした。すみません。
AとＭの間に全単射があるって書いてあるように読んでしまいました。
大変失礼をば。
問題、六問でしたね。どうしましょう。1と2で１人、3と4で１人、5で1人、6で1人ですかね。
取り組んだものはすべて解決じゃないですかね。
-
>>698
了解です。ドイツ文字Mはどうしましょう？ℳฺはやめますか？
>>541を見ると四節にもまだ未解決題があるような・・・
-
>>699
えと、WRITTENくんじゃないけど、携帯でみたりあるいは
レスアンカーにカーソルもってったとき出てくるポップアップ
では読めないんで、できるだけ使わない方法はないかと思いまして。
-
あ、四章の14,17,20は９くんが解くのを待ってる状態です。
-
四章じゃなくて四節でした。
-
>>700
ギコナビならポップアップも読めますよ。
でも確かに携帯からじゃ無理か・・・
ということでＭ(全角)に統一しましょう。
二人とも問題抱えておられるようなので3つずつやりませんか？
生意気すみません。
-
>>703
では振り分けてください。
-
単純思考回路により
僕が奇数、先生が偶数、でいかがでしょう？
-
>>705
はい、了解。
-
２． 集合Aにおける対称的かつ推移的な関係Rが,次の条件(*)を満たすならば,
Rは同値関係であることを示せ.
(*) 任意のa∈Aに対して,aRxとなるようなx∈Aが(少なくとも1つ)存在する.
解答. 任意のa∈Aに対してaRxであるとすると対称律によってxRa,さらに推移律によって
aRaが成り立つ.即ちRは反射的.
-
はやっっ！速攻でおｋでつ。
-
４． A=Z×(Z-{0})とする.Aの元(m,n),(m',n')に対し
(m,n)R(m',n')⇔mn'=m'n
として関係Rを定義すればRはAにおける同値関係であることを
証明せよ.(この関係Rによる商集合A/rの元φ((m,n))
(φ:A→A/Rは標準的写像)は有理数m/nを表すものと考えられる)
解答 任意のAの元(m,n)に対してmn=mnだからRは反射的.
((m_1,n_1),(m_2,n_2))∈A×Aとし,(m_1,n_1)R(m_2,n_2)とすると
m_1n_2=m_2n_1であるからm_2n_1=m_2n_1となり(m_2,n_2)R(m_1,n_1)
すなわちRは対称的.
((m_1,n_1),(m_2,n_2),(m_3,n_3))∈A×A×Aとし,
(m_1,n_1)R(m_2,n_2),(m_2,n_2)R(m_3,n_3)とすると
m_1n_2=m_2n_1,m_2n_3=m_3n_2であるから
m_1n_3=m_1n_2n_3/n_2=m_2n_1n_3/n_2=m_2n_3n_1/n_2
=m_3n_2n_1/n_2=m_3n_1となり(m_1,n_1)R(m_3,n_3)即ちRは推移的.
-
６. RをAにおける同値関係,φをAからA/Rへの自然な写像とし,またfをAからBへの写像とする.
そのとき,f=gφとなるようなA/RからBへの写像gが存在するための必要十分条件は,
Aの元a,a'に対し"aRa'⇒f(a)=f(a')"が成り立つことであることを証明せよ.
解答 必要性:aRa'とするとφ(a)=φ(a')このときf(a)=gφ(a)=g(φ(a))=g(φ(a'))=gφ(a')=f(a').
十分性:aRa'⇔φ(a)=φ(a')なのでφ(a)=φ(a')ならばf(a)=f(a')よってA/Rの各元φ(a)に対して
Bの元f(a)を対応させる写像をgとするとf=gφとなる.
-
9月中旬ごろから復帰してよろしいですか？
-
>>711
はい。お待ちしております。
えと、読むことは出来てますか？
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