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「集合・位相入門」輪読会
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>>685
問．集合Aとその部分集合系ℳฺについて、
(i)∪ℳฺ=A
(ii)∀C,C'∈ℳฺ；C≠C'⇒C∩C'=φ
が成立している。Aの元aを含むℳฺの元をC(a)とおく。
┃(1)任意のaに対し、C(a)が一意存在することを示せ。
そこで、A上の関係RをaRb⇔C(a)=C(b)で定める。
┃(2)Rが同値関係であることを示せ。
(1)∃b∈A；∀C∈ℳฺ(b∉ฺC)と仮定すると、∀C；b∉ฺC⇔¬{∃C；b∈C}
⇔¬(b∈∪ℳฺ)⇔b∉ฺA(∵条件(i))となり矛盾する。
よって任意のaに対し、C(a)が存在する。
次にあるℳฺの元C、C'に対し、a∈C∧a∈C'とすると、
a∈C∧a∈C'⇔a∈C∩C'。C≠C'ならば条件(ii)よりa∈φとなり矛盾するから、C=C'。
よってAの元aに対しC(a)はただ一つ存在する。■
(2)
Rに関して同値律が成立することを示す。
aRa⇔C(a)=C'(a)。C(a)は(1)より一意存在するからこれは真。よって反射律が成立。
aRb⇔C(a)=C(b)⇔C(b)=C(a)⇔bRa。よって対称律が成立。
aRb∧bRc⇔{C(a)=C(b)}∧{C(b)=C(c)}⇒C(a)=C(c)⇔aRc。よって推移律が成立。
以上よりRは三つの同値律を全て満たすから同値関係である｡■
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