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「集合・位相入門」輪読会
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６. RをAにおける同値関係,φをAからA/Rへの自然な写像とし,またfをAからBへの写像とする.
そのとき,f=gφとなるようなA/RからBへの写像gが存在するための必要十分条件は,
Aの元a,a'に対し"aRa'⇒f(a)=f(a')"が成り立つことであることを証明せよ.
解答 必要性:aRa'とするとφ(a)=φ(a')このときf(a)=gφ(a)=g(φ(a))=g(φ(a'))=gφ(a')=f(a').
十分性:aRa'⇔φ(a)=φ(a')なのでφ(a)=φ(a')ならばf(a)=f(a')よってA/Rの各元φ(a)に対して
Bの元f(a)を対応させる写像をgとするとf=gφとなる.
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