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「集合・位相入門」輪読会
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Ｄ)写像の分解
A,Bを集合,f∈B^Aとします.このときfに付随するA上の同値関係をR(f),φ∈(A/R(f))^AをAからA/R(f)
への標準的写像とします.このときg'∈B^(A/R(f))をg'(C(a))=f(a)で定義し,g=g'|V(f),j∈B^(V(f))
を標準的単射とすれば,Aの各元aに対してjgφ(a)=jg(C(a))=j(f(a))=f(a)であるのでf=jgφといつでも
3つの写像に分解できることが分かります.
このときV(f)=V(g)なのでgは全射,g(c(a))=g(C(b))⇔f(a)=f(b)⇔aRb⇔C(a)=C(b)だからgは単射,
即ちgは全単射なのですがこのgをfに付随する全単射といいます.fが全射ならf=gφ,fが単射なら
f=jgとそれぞれj,φを省略できます.ただしfが単射のときはAとA/R(f)を同一視しなきゃいけませんが.
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