レス数が1スレッドの最大レス数(1000件)を超えています。残念ながら投稿することができません。
「集合・位相入門」輪読会
-
えー、進んでいいかね。
Ｃ)同値類･商集合
さて>>669の例4では集合Aの直和分割ＭからＭに付随する同値関係を作ったのですが,
その逆をしましょう.集合A上の同値関係RからAの直和分割を作ろうというわけです.
エー先ず,Aの各元aに対してC(a)={x∈A|xRa}とC(a)を定義します.すると,
a∈Aとすると反射律よりa∈C(a)だからX=∪[x∈A]C(x)が言えます.
またaRbであるなら対称律からC(a)=C(b)が言え,逆にa∈A,b∈Aに対して
C(a)=C(b)であるならC(a)もC(b)も空でないのでc∈C(a)=C(b)が存在し,対称律と推移律から
aRbが言えます.すなわち(a,b)∈A×Aに対してaRb⇔C(a)=C(b)なのです.
したがって¬(aRb)であるならC(a)≠C(b)ですが,このときもしC(a)∩C(b)が元を持つなら
対称律と推移律からaRbとなってしまい矛盾を引き起こします.ですから
C(a)≠C(b)ならばC(a)∩C(b)=Φです.以上よりAの部分集合系{C(a)}_[a∈A]はAの直和分割になります.
Aの元aとbがこの直和分割のある元Cにともに属しているならば対称律と推移律によりaRbであることが言え,
Aの元aとbがaRbであるならば,対称律と推移律によりaとbはともにこの直和分割のある元の元になります.
つまりAの元aとbがこの直和分割のある元の元であることとaRbであることは同値なのです.
このことは即ちRがこの直和分割に付随する同値関係と一致することにほかならないのであります.
また,Aの直和分割ＭからＭに付随する同値関係RをつくりRから上の方法で再び直和分割{C(a)}_[a∈A]
をつくるとＭと{C(a)}_[a∈A]は一致します.
実際,C∈Ｍとすると任意にCの元aを1つ固定すればCの任意の元xに対してxRaだから
C=C(a)={x∈A|xRa}∈{C(a)}_[a∈A]であり,任意のAの元aに対してC(a)の任意の元xはxRaを満たすので
xとaはともに同じＭの元に属しておりC(a)∈Ｍとなります.
以上よりＭとＭに付随する同値関係は同一視できることが分かります.定理の形で記すと
掲示板管理者へ連絡
無料レンタル掲示板
