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「集合・位相入門」輪読会
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例4
集合Aとその部分集合系ℳฺについて、次の(i)(ii)が成り立つとき、ℳฺはAの直和分割である、
Aはℳฺに属する集合の直和である(あるいは簡単に、Aはℳฺの直和である)、などという。
(i)∪ℳฺ=A
(ii)ℳฺの相異なる2元は互いに素である、即ちℳฺ∋C,C’；C≠C’⇒C∩C’=φ
ℳฺをAの直和分割とすれば、Aのどの元aに対しても、条件(i)によってa∈Cとなる
ℳฺの元Cが存在するが、条件(ii)によってそのようなCはただ一つしかない。
即ち、あの任意の元は一つしかもただ一つのℳฺの元に含まれる。そこで、Aの元a,b
に対し、aを含むℳฺの元とbを含むℳฺの元が一致するとき、またそのときに限り
aRbであるとして、aにおける関係Rを定義する。このようにして定義された
Rが同値関係であることは直ちに証明される。
これを、直和分割ℳฺに付随する同値関係と言う。
★本文中の「図11」は省略しました。
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