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「集合・位相入門」輪読会
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次に同値関係のいくつかの例を挙げよう。
例1
Aを任意の集合とし、RをAの元の間の相当関係=とすれば、これはAにおける一つの同値関係
である。実際、a=bという関係はいうまでもなく同値律を満足するからである。これはいわば
‘最も原始的な’同値関係である。
例2
整数の集合Zと一つの定まった正の整数nとを考える。Zの元a,bは、a-bがnで割り切れるとき、
nに関して(あるいは、nを法として)合同であると言われ、a≡b(mod n)または略してa≡b(n)
と記される。この関係≡(modｎ)はZにおける一つの同値関係である。
実際、まず任意のa∈Zに対し、a-a=0で、0はnで割り切れるから、a≡aである(modn)。
またa,b∈Zに対し、a-bがnで割り切れるならば、b-a=-(a-b)ももちろんnで割り切れる。
即ちa≡b(modn)ならばb≡a(modn)である。
最後にa,b,c∈Zに対し、a-b,b-cが共にnで割り切れれば、a-c=(a-b)+(b-c)もやはり
0で割り切れる。即ちa≡b(modn)、b≡c(modn)ならばa≡c(modn)である。
以上で、≡(modn)は反射律、対称律、推移律を満たすことが示された。
例3
fを集合Aから集合Bへの一つの写像とする。Aの元x,yに対し、それらのfによる像が一致すると
き(即ちf(x)=f(y)となるとき)、またそのときに限りxRyとして関係Rを定義すれば、これは明らか
に、Aにおける同値関係となる。これを写像fに付随する同値関係と言い、しばしばR(f)で表す。
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