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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>573
へい、了解。
代数系入門スレを先取りしたような内容ですね。
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F) 多変数の写像
写像f:A→Bの定義域Aが直積A_1×A_2×･･･×A_nの部分集合である場合には、
Aの元aは、当然(a_1,a_2,･･･,a_n)(ただしa_i∈A_i)の形をしている。したがって、
この場合、fによるaの像f(a)は、f((a_1,a_2,･･･,a_n))、あるいは簡単に
f(a_1,a_2,･･･,a_n)とも書かれる。この書き方では、(a_1,a_2,･･･,a_n)という元
の組に対してfのとる値が定まる、という事情が強調されているわけである。
そこで、この記法を用いる場合、fはまた"n変数の写像"であるともいわれる。
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特に、"M×MからMへの写像"という形の2変数の写像は、数学ではきわめて
しばしばあらわれる。
たとえば、x、yを実数とするとき、f(x、y)=x+y、g(x、y)=xyとおけば、f、g
はいずれもR×RからRへの写像である。
また、Xを１つの集合とするとき、2^Xの元A,Bに対してφ(A,B)=A∪B,α(A,B)=A∩B
とおけば、Φ,αは2^X×2^Xから2^Xへの写像となる。
これらの例と同様に、一般に、集合Mの2元からMの1つの元をつくり出す操作
―このような操作のことを、しばしば、Mにおける算法(あるいは演算)という―
は、M×MからMへの(2変数の)写像にほかならないと考えられる。
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これも代数系入門と関係ありそうですね
しかし、前のほうでやったことどんどん忘れていってるような・・・
年かな・・・
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>>575-576
了解です。
>>577
そうですね
A、Bを集合としてΓ(⊂A×B)が対応。
D(Γ)=Aでa=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像。
Bが数の集合のとき関数。
A=B×Bのとき(二項)演算。
A=Bのとき変換。
って名づけられてますね。
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Bが数の集合のとき関数。
→写像のうちBが数の集合であるものが関数。
A=Bのとき変換。
→A=Bのとき(A上の)変換。
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>>578
＞D(Γ)=Aでa=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像。
D(Γ)=Aはわかるのですが、"a=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像"は写像でない
対応でも成り立つのではないですか？
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>>580
あ、そうですね。すみません。
∀a∈A,Γ(a)がシングルトン
に訂正。
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シングル㌧って何ですか？
先生が本スレに投下した問題ですけど、こけ氏も解いてるみたいですよ。
こけ氏のHPにありますた。
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>>582
あ、シングルトンってのは一元集合って訳すのかな、
元がひとつしかない集合です。
こけ氏のところ見てきます。
もしかしたら四元数バージョンで解いてるのかな
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ﾋﾞｸｯ∧ ∧ ∧ ∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
Σ(ﾟДﾟ；≡；ﾟдﾟ) ＜ うお！なんかすごいところに迷いこんじまったぞｺﾞﾙｧ！
./ つ つ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
〜（＿⌒ヽ ﾄﾞｷﾄﾞｷ
)ノ ｀Jззз
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とうとうやって来てしまった・・・
力不足は否めないし、ジョイント的役割となるかと思いますがどうか・・・・m(_ _)m
第五章を読んできました。
早速質問なのですが、
集合族(A_λ|λ∈Λ)とは「写像」のことですよね？あまり写像らしく扱われていなくて
かなり混乱していたのですが、これはΛの各元λのAによる像を並べ立てたもので、
それによりλをどうAの元に対応させるかという規則を表している、という認識でよろしい
でしょうか？
半角プラスは復活したのかな？++＋
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>>585
第五章じゃなくって第一章第五節ね。
＞それによりλをどうAの元に対応させるかという規則を表している
どういうことでしょう？Aは写像なんですが、Aの元とは？
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はい。。第五節でした（謝
後半も表現が間違ってました・・・
λをどう集合{A_λ|λ∈Λ}の一つの元に対応させるか、です。
43ページではNからある集合Aへの写像aを(a_n|n∈N)・・・①と書いています。
そしてこれをa_1,a_2,a_3,・・・・・a_n,・・・・・・②とも表しています。
この表記によりaは
1をa_1というAの元に、2をa_2というAの元に、・・・・
写像していることがわかるので、aがどのような写像かが定義されたことになり、
その意味で②、そして①はある一つの写像を表しているのではないか
と考えたのです。そして集合族でも同じ認識をとったのですが如何ってことです。
幼稚で申し訳ありませんm(_ _)m
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>>587
その受け取り方でよろしいかと。
ややっこしく感じるのは、集合族を写像とみる場合、
その写像は終集合を重視しないことが多いということです。
重視しないってのも穏やかな表現で有体にいえば
終集合が何であるかを無視することが多いのです。
その理由は>>551に述べたとおりです。
それから引用はできるだけこのスレのレス番号でお願いします。
テキスト持ってない人にも門戸を開くという趣旨ですので。
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43ページって書いたのは集合Aが上の写像Aとは別物ってことだけ明示する為だけに
入れたものでしたので・・・・これからは気をつけますm(_ _)m
ラッセルのパラドクスは致命的な一撃に見えますが、最終的には解消されるのでしょうか。。
先生も「素朴集合論では」と書いておられますし・・・
ところで僕も問題やるべきですか（;´Д｀） ？
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じゃMod3で分担しますか
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>>589
そういう致命的な欠陥を根本から見直し、集合の基礎付けを
やり直そうとして生まれたのが公理的集合論です。
ツェルメロ、フレンケル、スコーレム等によって前世紀初めに建設されました。
「集合｣と「属する｣を無定義語にして無限集合の存在を有無を言わせず
公理にしてしまって。
以来ツェルメロ、フレンケルの公理系(ZF)に選択公理(AC)を付け加えた
公理系(ZFC)は現代の数学の基礎となる公理系として標準的に採用されています。
これ以上はいわばスレ違いということで。
こういった話をする場として数学基礎論という分野がありますので、
興味がおありならいずれ台地くんがスレ主になって、
テキストも決めて、この板で輪読会をよびかけてはいかがですか。
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>>590
漏れは4節まで問題やってないので1〜5番のようなやつがいいかなと
思うのですが(＾-＾)
9氏はまた1週間ぐらい不在ですね・・・・
>>591
解説ありがとうございます。激しく(ﾟДﾟ) ﾎﾟｶｰﾝな自分にも集合がものすごく重要だってこと
が伝わってきますた
後半、そんな輝かしいこと漏れには(;´Д｀)
興味というか、そのような分野には尊敬憧れ畏怖を感じています
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では臺地氏は1〜5お願いします
残りの奇数番号を俺、偶数番号を先生でいかがでしょう？
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>>593
了解しました。
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あ
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了解です。。方々で課題に押しつぶされそうなので遅れるかもしれませんが
・・・・・・御容赦（｡･ﾟ･(つд｀)･ﾟ･｡
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では小出しに
6． 集合族(A_λ)_{λ∈Λ}において, λ≠λ'ならばA_λ∩A_λ'=Φとし, 各λ∈Λについて
f_λをA_λからBへの写像とする. そのとき, ∪_{λ∈Λ}A_λからBへの写像fで, すべての
f_λの拡大であるものが一意的に存在することを示せ.
解答 x∈∪_{λ∈Λ}A_λとすると∃λ∈Λ; x∈A_λ.このときλ≠λ'であるとすると
A_λ∩A_λ'=Φなので¬(x∈A_λ').即ちx∈∪_{λ∈Λ}A_λとすると
λ∈Λ; x∈A_λを満たすλが一意に存在する.
このxにf_λ(x)∈Bを対応させる∪_{λ∈Λ}A_λからBへの写像をfとおくとfはその定義から
各f_λの拡大になっている.
g∈B^(∪_{λ∈Λ}A_λ)が各f_λの拡大であるとする.
x∈∪_{λ∈Λ}A_λであるとするとλ∈Λ; x∈A_λを満たすλが一意に存在し,
g(x)=f_λ(x)であるがこのxについてはf(x)=f_λ(x)でもあるのでf(x)=g(x).
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小出しに
8 (A_λ)_{λ∈Λ},(B_λ)_{λ∈Λ}を同じ添字集合Λを持つ2つの集合族とし,すべてのλ∈Λに
対してA_λ∈Φとする.そのとき,Π_{λ∈Λ}A_λ⊂Π_{λ∈Λ}B_λとなるためには,すべての
λ∈Λに対してA_λ⊂B_λであることが必要十分であることを示せ.
解答 十分性を示す.「すべてのλ∈Λに対してA_λ⊂B_λである」とすると,
「すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈A_λならば(a_λ)_{λ∈Λ}∈B_λ」が成り立つ.
このとき, 「すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈A_λならば
すべてのλ∈Λに対して(a_λ)_{λ∈Λ}∈B_λ」
即ち「Π_{λ∈Λ}A_λ⊂Π_{λ∈Λ}B_λ」が成り立つ.
必要性を示す.「¬(A_{λ_0}⊂B_{λ_0})となるようなλ_0∈Λが存在する」とすると
「a_{λ_0}∈A_{λ_0}かつ¬(a_{λ_0}∈B_{λ_0})を満たすa_{λ_0}が存在するような
λ_0∈Λが存在する」.
Λ上で定義された写像bでb(λ_0)=a_{λ_0}, λ≠λ_0でb(λ)∈A_λであるような
b=(b_λ)_{λ∈Λ}については(b_λ)_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}A_λではあるが
¬((b_λ)_{λ∈Λ}∈Π_{λ∈Λ}B_λ)である.
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ちょっと質問があるんですけど、よろしいでしょうか。
SS.5のD)で
集合族(A_λ)λ∈Λの直積ΠA_λについて、
Λは一般の集合ですよね。ということはその元には順番は存在しませんよね。>>16
そして直積ΠA_λはλの順番によって意味が変わりますよね。
たとえば、Λ={a,b,c}とすると、ΠA_λは
P_1= A_a×A_b×A_c
P_2= A_b×A_c×A_a
P_3= A_c×A_a×A_b
P_4= A_4= A_a×A_c×A_b
P_5= A_b×A_a×A_c
P_6= A_c×A_b×A_a
の６つが考えられますが、一般にこの６つは等しくありません。
なのになぜΠA_λと書けるのでしょう。
もしかして私の勘違いで、
ΠA_λ=P_1∪P_2∪・・・∪P_6
ということでしょうか。
もしかしたら重大な勘違いをしているのかもしれない。
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>>597-599
こめんとはしばらくお待ちくださいm(_ _)m
1
実数の区間[0,1/n]をA_n、(0,1/n]をB_n、(-1/n,n)をC_n（n∈N）とするとき、
∪[n=1,∞]A_n、∩[n=1,∞]A_n、∪[n=1,∞]B_n、∩[n=1,∞]B_n、
∪[n=1,∞]C_n、∩[n=1,∞]C_n、を求めよ。
A_1⊃A_2⊃・・・⊃A_ｎ⊃・・・だから、(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂Cを繰り返し用いて、
∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、∪[n=1,∞]A_n⊃A_1は自明。∴∪[n=1,∞]A_n=A_1=[0,1]
同様に∪[n=1,∞]B_n=(0,1]。
∩[n=1,∞]A_n⊂{0}とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。ここでこのxは正の実数であるから、
∃n;x>1/n、このnに対し¬(x∈A_n)で矛盾。∴∩[n=1,∞]A_n⊂{0}
一方∩[n=1,∞]A_n⊃{0}は自明。∴∩[n=1,∞]A_n={0}
同様に∩[n=1,∞]B_n=φ。
∪[n=1,∞]C_n=(-1,∞)を示す。
C_1=(-1,1)より、∪[n=1,∞]C_n⊃(-1,0]。また、任意の正の実数xに対し、n>xとなるnが存在するから
このnに対しx∈C_n。∴∪[n=1,∞]C_n⊃(0,∞)。よって∪[n=1,∞]C_n⊃(-1,∞)。
x<=-1ならば任意のnに対し¬(x∈C_n)は容易にわかる。∴∪[n=1,∞]C_n⊂(-1,∞)。
次に∩[n=1,∞]C_n=[0,1)を示す。
0<=x<1ならば任意のnに対し-1/n<x<nであるから∩[n=1,∞]C_n⊃[0,1)。
一方、x=>1ならば¬(x∈C_1)より¬(x∈∩[n=1,∞]C_n)。
x<0ならば、任意の実数xに対し、-n<xとなるnが存在するからこのnに対し¬(x∈C_n)
∴¬(x∈∩[n=1,∞]C_n)よって∩[n=1,∞]C_n⊂[0,1)。
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>>599
おそらく・・・ですが
"A_a×A_b×A_c"というように書き表せるのは元が順序づけられた場合のみ
ではないでしょうか
ΠA_λについては"A_a×A_b×A_c"のような表記は一般にはできないかと。
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>>601
でもそうだとすると、一般のΛでΠ[λ∈Λ]A_λが定義できなくなりませんか？
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>>602
定義は>>556で何か問題があるのでしょうか？
Π[λ∈Λ]と３,A)で出てきた直積とは別ものかと。
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Π[λ∈Λ]は写像の集合だということでいかがでしょう
Λの元の間に順序があるときは"A_a×A_b×A_c"というように書き換えても
同じだと
説明下手ですんません
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>>603
直積とは別物だったんですね。もうー度考えてみます。
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別物というかより一般化した概念だととらえてますけど
どうなんでしょう？
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まあA_1×A_2={(a, b)|a∈A_1∧b∈A_2}、ペアの集合,
Λ={1, 2}としたときのΠ{λ∈Λ}A_λ={a|aはΛ上で定義された写像でa(1)∈A_1, a(2)∈A_2}
で写像の集合ということで。
だから写像を(a_1, a_2)と像を恣意的に順序付けて並べれば両者は同じになるけど
本来は違う概念であると。 Λが無限集合のときにもΠ{λ∈Λ}A_λを定義したいんだけど
たとえばΛ=Rだったら像を「並べる｣ことは不可能なので写像の集合と定義するほかないということで。
Λが有限集合で順序を適当につけたときは３、A)の直積と５、D)の直積は一致するので
ある種の概念の拡張になってると解釈しといてください。
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>>600
・「ならば」は「→」じゃなくって「⇒」を使うほうが紛れがないかと。
・∪[n=1,∞]A_n⊂A_1は、(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂Cを
繰り返して用いるのじゃなくて論理的に示したほうが
練習になるのでは。
・何度も言って申し訳ないけど自明という言葉はできるだけ
使わないほうがいいかと。
・∩[n=1,∞]A_n⊂{0}とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。←なんで？
∩[n=1,∞]A_n⊂{0}なら∩[n=1,∞]A_n=Φか∩[n=1,∞]A_n={0}
だよね。
・解析概論か解析入門は持ってますか？
・任意の正の実数xに対し、n>xとなるnが存在するから
↑ nが自然数であることを明記するべきでは。
・容易にわかるってのもちょっとね。
いろいろ文句言ってるけど、気を悪くしないでくださいね。
反論は歓迎します。
これに懲りず、次問に挑戦してください。
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ちょびっと
10 (A_λ)_{λ∈Λ},(B_λ)_{λ∈Λ}を同じ添字集合Λを持つ2つの集合族とし, 各λ∈Λについて
A_λからB_λへの写像f_λが与えられたとする.そのとき, Π_{λ∈Λ}A_λの各元(a_λ)_{λ∈Λ}
にΠ_{λ∈Λ}B_λの元(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}を対応させれば, Π_{λ∈Λ}A_λからΠ_{λ∈Λ}B_λ
への一つの写像fが得られる. この写像fが全射(resp. 単射)であるためには, すべてのλ∈Λについて
f_λが全射(resp. 単射)であることが必要十分であることを示せ.
解答 fが全射とするとすべてのΠ_{λ∈Λ}B_λの元(b_λ)_{λ∈Λ}に対してf((a_λ)_{λ∈Λ})=(b_λ)_{λ∈Λ}
となるΠ_{λ∈Λ}A_λの元(a_λ)_{λ∈Λ}が存在する.fの定義よりf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}).
よってすべてのλ∈Λに対して, すべてのb_λ∈B_λに対してf_λ(a_λ)=b_λを満たすA_λの元a_λが存在する.
fが単射とするとf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}より
すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
このときf_λ(a_ν)=f_(c_ν)であるがa_ν≠c_νであるようなν∈Λがあるとすると
すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)であってもa_ν≠c_ν.
すべてのλ∈Λに対してf_λが全射であるとするとすべてのλ∈Λに対して任意のB_λの元b_λに対して
f_λ(a_λ)=b_λとなるA_λの元a_λが存在するので任意のΠ_{λ∈Λ}B_λの元(b_λ)_{λ∈Λ}
に対してf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}=(b_λ)_{λ∈Λ}となるΠ_{λ∈Λ}A_λの元
(a_λ)_{λ∈Λ}がある.
すべてのλ∈Λに対してf_λが単射であるとするとすべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_(c_λ)⇒a_λ=c_λ.
このときf((a_λ)_{λ∈Λ})=f((c_λ)_{λ∈Λ})⇔(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}=(f_λ(c_λ))_{λ∈Λ}
⇔すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_(c_λ)⇒すべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
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>>608
解析概論（高木貞治）買いますた。
少しずつ読んで行こうと思います。
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>>610
精読をお勧めします。
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>>611
了解いたしました。
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>>608順に書きます
・打ちミスでした。「右」で変換してたので・・
・任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なので∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、とします。
･任意のnに対し、A_1⊂A_ｎ。などとすればよいですか？
・これも打ちミス。¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕のつもりでした。
･持ってないです・・・＼
･n∈Nは問題文に書いてあるので・・・
・「x<=-1ならば任意のnに対し、-1/n<x<nとなることはない、即ち¬(x∈C_n)」とします。
他も一応解きましたがノートに書いたことをすべて転載するのは苦しいでつ・・・
もう少しまって下さい。（>>600も省略してしまいました）
こちらこそふにゃふにゃした文章書いてすみません・・・
でも不備はｶﾞﾝｶﾞﾝ指摘してください！ヽ(´∀｀) ノ
>>597-598
漏れは納得です。8番で量化記号を使わなかったのはわざとですか？
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2．
(5.1) (∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B=∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B)
(5.1)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)∪b=∩_(λ∈Λ)(A_λ∪b)
を示せ。
(5.1)
x∈(∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B⇔（∃λ∈Λ;x∈A_λ）∧x∈B
⇔∃λ∈Λ;（x∈A_λ∧x∈B）（∵∃λ∈Λ;x∈B⇔x∈B）
⇔∃λ∈Λ;（x∈A_λ∩B）⇔x∈∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B)□
(5.1)'
x∈(∩_(λ∈Λ)A_λ)∪B⇔（∀λ∈Λ;x∈A_λ）∨x∈B
⇔∀λ∈Λ;（x∈A_λ∨x∈B）（∵∀λ∈Λ;x∈B⇔x∈B）
⇔∀λ∈Λ;（x∈A_λ∪B）⇔x∈∩_(λ∈Λ)(A_λ∪B)□
結局(5.1)'は(5.1)で∪と∩、∨と∧を入れ替えただけです。。
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3．
(A_λ|λ∈Λ)が普遍集合Xの部分集合族であるとき、
(5.2) (∪_(λ∈Λ)A_λ)^c=∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c,
(5.2)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)^c=∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c.
を示せ。
x∈Xの下で考える。（x∈A＾c⇔¬（x∈A)）
(5.2)
x∈(∪_(λ∈Λ)A_λ)^c⇔¬（∃λ∈Λ;x∈A_λ）
⇔∀λ∈Λ;¬（x∈A)⇔∀λ∈Λ;x∈A＾c
⇔x∈∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c□
(5.2)'
x∈(∩_(λ∈Λ)A_λ)^c⇔¬（∀λ∈Λ;x∈A_λ）
⇔∃λ∈Λ;¬（x∈A)⇔∃λ∈Λ;x∈A＾c
⇔x∈∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c□
これも入れ替えただけっていう・・・(;´Д｀)
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あげた方がいいのかな？解析概論って300鳳凰堂ぐらいしましたよね？
ちょっと値段が○|￣|＿
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>>616
俺は （諭吉）^0.8138 で買いますた。
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10 000^0.8138 = 1 799.69952
早速google大活躍（藁
あり？こんなに安いなら漏れも買おうかな(;´Д｀)
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>>616
古本屋を経巡れば五分の一葉くらいで買えるのでは？
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1.0000000001^10 000 000 000 = 2.71828203
(･∀･) ﾆﾔﾆﾔ
>>619
古本屋・・・・神田あたりでしょうか？
因みに彼女はもうでまわってるんですか？ｗｗ
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文体古くて読みづらい気が
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>>620
ブックオフとかにないかなあ。
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>>621
初版が昭和十三年だかなんだかだから。
今の学生版は新漢字新かなづかいだからずいぶんましになったと思いますが。
>>620
忘れてた。彼女は霜月デビューの予定。
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Bo○ｋ Off?
それはおいしいｗｗｗ
>>623漏れの場合旧字旧仮名（ｒｙ
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>>613
・打ちミス・・・了解。
・任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なので∪[n=1,∞]A_n⊂A_1、とします。
任意のnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」なのであるnに対し、「0<=x<=1/nならば0<=x<=1」
となり∪[n=1,∞]A_n⊂A_1というわけですね。了解。
･任意のnに対し、A_1⊂A_ｎ。などとすればよいですか？
そうですね。それだとA_1⊂∩[n=1, ∞]A_nをいったように見えるので
任意のnに対し、A_1⊂A_ｎなので、あるnに対し、A_1⊂A_ｎ。即ちA_1⊂∪[n=1, ∞]A_n
という感じですかね。
・これも打ちミス。¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕のつもりでした。
¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕とすると、∃x;∀n(x∈A_n)。ここでこのxは正の実数であるから
と書くつもりだったのですか？
¬〔∩[n=1,∞]A_n⊂{0}〕とすると、¬((∀n, x∈A_n)ならばx=0)だから∀n, (x∈A_n)∧x≠0となりますが。
･持ってないです・・・＼
安く買えるといいですね。
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･n∈Nは問題文に書いてあるので・・・
問題文中には「各自然数nに対して、(-1/n,n)をC_nとおく」と書いてあります。
これは「各自然数mに対して、(-1/m,m)をC_mとおく」と書いてあったとしてもまったく同じ意味の文
になりますね。つまり問題文中のnは固有名詞的なnでなく、何も書かないわけにはいかないので
とりあえずnとしたという程度のnです。写像f∈B^AというのはAの各元がfという役割によって
Bの何らかの元にうつるとという現象があったときの役割fのことです。たとえばA=B=Rだとして
fがAの各元を二倍するっていう役割を担っているとしましょうか。このときAの各元を仮に
xと表すことにしてf(x)=2xなどと書いたりします。この書き方はfがどんな役割を持っているかを
表すときにはわかりやすいのですが、xという個性ありげな文字を使うところに少々引っかかりを
覚えます。本当は何も書かないわけにはいかないから仮にxという文字を充てただけでもっと無個性な表記
(たとえばf(･)=2･)見たいな書き方のほうがいいのかもしれません。実はこのf(x)という書き方における
文字「x」にも専門用語がつけられています。なんとその名も「場所ふさぎ」。ですから
この問題文中に登場するnを固有名詞のように「前出の」nという風に扱われると、ちょとまてよ。
という気分になってしまうのです。
・「x<=-1ならば任意のnに対し、-1/n<x<nとなることはない、即ち¬(x∈C_n)」とします。
おｋ。
はい。わざと量化子は使いませんでした。
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>>614
(5.1) 一行目から二行目への同値変形。結果は正しいけどカッコ内の注釈はどういう意味でしょう？
(5.2) 一行目から二行目への同値変形。結果は正しいけどカッコ内の注釈はどういう意味でしょう？
>>615
ﾊﾗｼｮｰ
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12 f:A→B, f':B→Cとする.
(a) f, f'がともに全射のとき, s, s'をそれぞれf, f'の右逆写像とすれば, ss'はf'fの右逆写像となることを示せ.
(b) f, f'がともに単射のとき, r, r'をそれぞれf, f'の左逆写像とすれば, rr'はf'fの左逆写像となることを示せ.
解答 (a), (b)とも写像の合成が結合律を持っている(>>456)ことと恒等写像は合成により不変(>>456)であること
から示すことができる.実際,
(a) (f'f)(ss')=f'(f(ss'))=f'((fs)s')=f'(I_Bs')=f's'=I_C,
(b) (rr')(f'f)=r(r'(f'f))=r((r'f')f)=r(I_Bf)=rf=I_A.
-
ひとまず担当終了。
14 f∈B^A, h∈C^Aとする。このとき
∃g∈C^B;h=gf⇔(f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')).
したがってfが単射なら必ず, h=gfなるgが存在する.
解答 ∃g∈C^B;h=gfのもとでf(a)=f(a')とするとh(a)=(gf)(a)=g(f(a))=g(f(a'))=(gf)(a')=h(a).
f(a)=f(a')⇒h(a)=h(a')とする.b∈f(A)ならf^{-1}(b)≠Φ.よって集合族(f^{-1}(b))_{b∈f(A)}は
∀b∈f(A), f^{-1}(b)≠Φを満たす集合族であるので選択公理によって, 各b∈f(A)に対して
φ(b)∈f^{-1}(b)を満たす選択関数φ∈A^{f(A)}が存在する.(>>563のaを選択関数といいます.
選択写像というべきなのかもしれませんがなぜかchoice functionと名づけられています。)
g∈C^Bを次のように定めるとh=gfとなる.b∈f(A)のときはg(b)=h(φ(b)), b∈B-f(A)のときは
任意に固定されたCの元をcとしてg(b)=c.実際, ∀a∈Aに対してf(a)∈f(A)なのでφ(f(a))∈f^{-1}(f(a)).
よってf(φ(f(a)))=f(a)となり(gf)(a)=h(φ(f(a)))=h(a).
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>>625
＞第三段
＞それだとA_1⊂∩[n=1, ∞]A_nをいったように見えるので
＞任意のnに対し、A_1⊂A_ｎなので、あるnに対し、A_1⊂A_ｎ。即ちA_1⊂∪[n=1, ∞]A_n
＞という感じですかね。
あ、確かにそうですね。。そのほうが適切です。了解しました。
＞第五段
すみません書き方が悪すぎました･･･。
先に∩[n=1,∞]A_n⊂{0}を示し、0以外の実数xで、x∈∩[n=1,∞]A_n
となるものが存在すると仮定するとxは正だから〜
と書き直します・・・（謝。(>>600もかの意味で書いてました)
今度からノートにきちっと書き、PCの前であれこれするのは止めまつ
＞第六段
唐突に尋ねられた動機は何（ｒｙ
>>626第一段
うーｍ・・・問題文のnと>>600で使っているnとは意味が違うということですか？
＞何も書かないわけにはいかないのでとりあえずnとしたという程度のn
これは漏れもそのつもりで答案で使っていたんですけど・・・
「各自然数nに対して、(-1/n,n)をC_nとおく、するとそのnに対して〜」としているのが>>600
なのですが。。それとも「そのnに対して」を省略したのがまずかったのでしょうか
第二段をｋです。。量化記号をつかわなかった動機も聞いていいですか？
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>>627
二つとも、λとBは無関係という意味で書いたのですが、これでは雑かなと思ったので・・・
再び>>626で
＞「場所ふさぎ」
笑いましたよｗ明らかに外国語を無理やり和訳したって言う感じですね(･∀･)
整式に「不定元」というのもあるそうですね
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>>630
解析概論には劈頭から実数の連続性が出てきます。
デーデキント･カット⇒上(resp.下)に有界な集合は上限(resp.下限)をもつ
⇒有界単調列は収束する⇒区間縮小法⇒デーデキント･カット
という順で示しています。つまりこの4つの命題はどの二つも互いに
同値なのです。しかしこの4つの同値な命題そのものの証明はかかれて
おりません。この4つの命題を無条件に認めてそこから議論を始めよう
という態度なのです。
∩A_n={0}ってのは区間縮小法そのもので
これを示せといわれたら実数の連続性そのものであると答えるか、
デーデキントカットを議論の出発点とすると断ってから∩A_n={0}を示すか、
あるいは実数論そのものを別の公理(たとえばペアノの公理)から建設する
という3つの方法が、まっとうな方法として考えられます。
ただし、証明ってのは所詮は説得の手段に過ぎないという立場に立つならば、
∀n∈N, 0∈A_nだから{0}⊂∩A_n,
∀n∈N, (-∞, 0)∩A_n=Φだから∩A_n⊂R-(-∞, 0)=[0, ∞),
∀x∈(0, ∞), ∃n∈N;¬(x∈A_n)だから(0, ∞)⊂R-∪A_n即ち∩A_n⊂(-∞, 0].
よって∩A_n⊂(-∞, 0]∩[0, ∞)={0}.
とでもすべきなんでしょうね。
量化子を使うのを避けたのは、意味を見失う危険を避けたかったからです。
∀λ∈Λ, (x∈A_λ⇒x∈B_λ)と
(∀λ∈Λ, x∈A_λ)⇒(∀λ∈Λ, x∈B_λ)を同じことだと思うような危険を避けたかったのです。
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>>629
先にこちらを納得ですｗ
BからCへ行くのにAを経由するってのが何だかベクトルに似てるような感じがしました。。
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4．
(5.3) f(∪_(λ∈Λ)P_λ)=∪_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.4) f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⊂∩_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.3)' f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)=∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ),
(5.4)' f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)=∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ).
を示せ。
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)⇒y=f(x)}
⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「あるP_λ」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき当然「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」ようなλが存在する。
逆も同様。
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}⇒y=f(x)〕
⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ⇒y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)。
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
-
(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「あるQ_μ」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」ようなμが存在する。
逆も成立。
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)⇒f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
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久しぶりにや書いてみますた。。
あとは5番と>>628の読解を・・・。
ラーメン氏は状況がすぐれないのでしょうか
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うん・・・
(>_<)
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まずはごゆっくり静養なさるのが一番だと思います。。
とにかくお大事におながいしますYOm(_ _)m
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>>634-635
(5.3),(5.4),(5.3)',(5.4)二行目。なんで突如として「⇒」が出てくるの？
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>>216を思い切り勘違いしてました。ので全部直すと、(⇒を∧に変更しただけ)
(5.3)
y∈f(∪_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∪_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x{(∃λ∈Λ;x∈P_λ)∧y=f(x)}⇔∃λ∈Λ;∃x(x∈P_λ∧y=f(x))
⇔y∈∪_(λ∈Λ)f(P_λ)
(5.4)
y∈f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⇔∃x∈∩_(λ∈Λ)P_λ;y=f(x)
⇔∃x〔{∀λ∈Λ;x∈P_λ}∧y=f(x)〕⇒∀λ∈Λ;∃x(x∈P_λ∧y=f(x))
⇔y∈∀_(λ∈Λ)f(P_λ)
(5.3)'
x∈f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∪_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∃μ∈Μ;y∈Q_μ)∧f(x)=y}⇔∃μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)∧f(x)=y}
⇔x∈∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
(5.4)'
x∈f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)⇔∃y∈∩_(μ∈Μ)Q_μ;f(x)=y
⇔∃y{(∀μ∈Μ;y∈Q_μ)∧f(x)=y}⇔∀μ∈Μ;∃y{(y∈Q_μ)∧f(x)=y}
⇔x∈∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ)
となりました。
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>>632
レス遅くなりました。ごめんなさいm(_ _)m
察しの通り、本格的な実数論は未習なので、問題1．は書き方に困ったのですが、
問題として求めていたのは先生が書かれたものだと思います。。
四つの同値な命題の内デデキントを最初に持ってくるのはやはり「好み」によるのですかねｗ
>>609も読まなくてはいけなかった・・・お待ちください
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5．
次の等式を示せ。
(a){∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)
(b){∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)
(c){∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}=∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(d){∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}=∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)
(a)
x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∩{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}∧x∈{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧x∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∩B_μ
⇔x∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∩B_μ)■
(b)
x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∪{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔x∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}∨x∈{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∨(∀μ∈Μ；x∈B_λ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨x∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∨B_μ
⇔x∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ∪B_μ)■
-
(c)
(x,y)∈{∪_(λ∈Λ)A_λ}×{∪_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；y∈B_μ)
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧y∈B_μ
⇔∃(λ,μ)∈Λ×Μ；(x,y)∈A_λ×B_μ
⇔(x,y)∈∪_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)■
(d)
(x,y)∈{∩_(λ∈Λ)A_λ}×{∩_(μ∈Μ)B_μ}
⇔(∀λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∀μ∈Μ；y∈B_μ)
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；x∈A_λ∧y∈B_μ
⇔∀(λ,μ)∈Λ×Μ；(x,y)∈A_λ×B_μ
⇔(x,y)∈∩_{(λ,μ)∈Λ×Μ}(A_λ×B_μ)■
-
>>598
亀レスですが問題文の「A_λ∈Φ」は「A_λ∉ฺΦ」ですよね？
>>609
単射の必要条件のところで、
＞fが単射とするとf((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ}より
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
＞このときf_λ(a_ν)=f_(c_ν)であるがa_ν≠c_νであるようなν∈Λがあるとすると
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)であってもa_ν≠c_ν.
二行目までで既に示されているような気がするのですが・・・
あと、この問題で、「全てのλ∈Λに対して〜」と書く代わりに、
「λはΛの任意の元」を前提条件にして議論してもおｋですか？
>>628
納得です。。
今後はどうなさいますか？
-
第1章 §6同値関係
A）関係の概念
前に§1，B）(>>15)で1変数の条件を考えたが、(＾-＾)以上の変数を含む条件、たとえば
(i)x,yは有理数でx<yである；
(ii)x,y,zは実数でx^2+y^2=2zである；
(iii)p,ℓは平面π上の点及び直線で、pはℓの上にある；
のようなものは、一般に、それらの変数の間の関係と呼ばれる。変数の個数がnならば、
それをn変数の関係という。上の(i),(iii)は2変数の関係、(ii)は3変数の関係である。
関係に含まれる各変数には、それぞれその‘変域’、即ちその変数に代入することのできる
もの全体からなる集合が定まっている。たとえば、上の(i)の変数x,yの変域はともにQ；
(ii)の変数x,y,zの変域はいずれもR；(iii)の変数p,ℓの変域は、それぞれ平面π上の集合、
平面π上の直線の集合である。
以後、関係を一般にRのような文字で表し、Rがn変数x_1.x_2,・・・,x_nの関係で､各変数の
変域がそれぞれX_1,X_2,・・・,X_nであるならば、それを
R(x_1.x_2,・・・,x_n) （x_iの変域はX_i）
のように書く（もちろん、Rが数学上の概念としての関係である以上、各変数x_1.x_2,・・・,x_nに
それぞれ具体的な元a_1,a_2,・・・,a_nを代入した場合、R(x_1.x_2,・・・,x_n)が成り立つか成り立た
ないかは、いずれか一方だけにいつもはっきりと定まっていなければならない）。
-
特に、数学では
R(x,y) （x,yの変域は共にA）
という形の‘2変数の関係’がよく考えられる。本節では、これから先このような関係だけを
取り扱う。このような関係のことを以後簡単に‘Aにおける関係’と呼ぶこととし、
またこの場合、R(x,y)をxRyとも書くこととする。
Rを集合Aにおける一つの関係とするとき、aRbが成り立つようなAの元a,bの組(a,b)全体の
集合は、A×Aの一つの部分集合を形作る。この集合を関係Rのグラフといい、G(R)で表す。
即ち、 G(R)={(a,b)｜a∈A，b∈B，aRb} 。
逆に、A×Aの任意の集合Gが与えられたとき、G=G(R)がとなるようなAにおける関係Rを
（ただ一つだけ）定義することができる。即ち、Aの元a,bに対し、(a,b)∈Gのときまたそのときに
限ってaRbが成り立つとして関係Rを定義すればよい。
したがって、Aにおける一つの関係を定めることは、結局A×Aの一つの部分集合を与える
ことと本質的に異ならないことがわかる。
なお今後、RがAにおける関係でa,b∈Aのとき、単に‘aRb’と書いたならばそれは
‘aRbが成り立つ’という意味であると約束しておく。
-
注意
§3 C）(>>263-265)で見たように、AからAへの一つの対応を定めることもそのグラフと呼ば
れるA×Aの一つの部分集合を指定することと同等であった。このことと上に述べたことを考え
合わせれば、‘Aにおける関係’という概念と‘Aにおける対応’という概念とは、実質的には全く
同じものであることが分かる（両概念の間にはいわばニュアンスの違いがあるだけである）。
-
あわわわｗ
>>645三行目
＞(＾-＾)以上の変数
は 「二個以上の変数」に訂正です。。
実は(＾-＾)は数少ない登録単語です（俺がこれを多用するのはそのせいｗｗ）
-
>>640
(5.4)で⇒となってるところが(5.4)'では⇔とできるのはなぜ？
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>>649
>>634-635の説明ではダメでしょうか？
そのままコピーすると、(5.4)では、
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのP_λの交わり」の元xで、fで写像するとyになるものがある。
このとき命題「P_λの元xで、fで写像するとyになるものがある」は任意のλで成立している。
しかし、逆が成立するとは限らない。
一方、(5.4)´では、
二行目⇒三行目の解釈：
「全てのQ_μの交わり」の元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある。
このとき、命題「Q_μの元yで、そのfによる逆像がxを含むものがある」は任意のμで成立。
逆も成立。
(一応理由を書くと、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}ならば∃μ∈Μ;∀y(y∈Q_μ∧f(x)≠y)だから矛盾）
-
>>650
前半おｋ。
Λ={1, 2}, P_1=(-∞, 0], P_2=[0, ∞), ｆ:R∋x→x^2∈Rとすると
f(∩P_λ)=f({0})={0}, ∩f(P_λ)=[0, ∞)とかって判例挙げれば
もっと良かったけど。
後半
¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}
⇔¬{∀μ, x∈f^(-1)Q_μ}
⇔¬{∀μ, ∃y;y∈Q_μ∧f(x)=y}
⇔∃μ;∀y, y∈Q_μ∨f(x)≠y
にならない？
-
>>651
>>650後半は確かに間違いですね。
∃μ∈Μ;∀y{(y∉ฺQ_μ)∨f(x)≠y}
⇔∃μ∈Μ;∀y{(y∈Q_μ)⇒f(x)≠y}です。。
直感的に言えば、¬{x∈(∩f＾(-1)Q_μ)}のとき、xは必ずどれかのf^(-1)(Q_μ)に
「含まれていない」ので、fで写像してもQ_μの交わりには絶対に達しない、と。
逆像では「含まれる」「含まれない」の関係が保存されるのが嬉しいな・・・
-
>>652
>>651の下から二行目も間違い書いちゃったね。
>>652おｋです。
逆像は∩と∪を保存するって言いたかったのかな？
もしそうならそういうことを発見する心を大切に。
実際にも、逆像は∩と∪を保存するってのは
後の章で少々活躍します。
-
x∉ฺP_λ1でもf(x)∈f(P_λ1)となることはあるが
例f(x)=x^2、P_λ1=(0,1)、P_λ2=(-1,0)、
x∉ฺf^(-1)(P_λ1)ならf(x)∉ฺf(P_λ1)ていうことです。
・・・定義から当たり前といえば当たり前ですが
-
>>654
あ、そっちか。
-
>>642
(a) おｋ
(b) 下から二行目の∨は∪ね。
それぞれ三行目と四行目の同値性はそう易しくはないよね。
>>643
(ｃ) おｋ
(d) おｋ
>>644
えと「A_λ≠Φ」ですた。ｽﾏｿ。
＞単射の必要条件
言わなきゃいかんのは、
「ｆが単射という条件の下で『すべてのλでf_λ(a)=f_(c)⇒a=c』」
ですので。(一箇所λが抜けてますね。ｽﾏｿ)
-
↑なまえ変え忘れ
-
>>656
＞下から二行目の∨は∪ね。
その通りです。ごめんなさい。
（こういう打ちミスかな、と思われることも流さず指摘する、という方針ということですね？）
＞それぞれ三行目と四行目の同値性はそう易しくはないよね。
説明しろってことですか？
(∃λ∈Λ；x∈A_λ)∧(∃μ∈Μ；x∈B_μ)ならば
実際にx∈A_λやx∈B_μを成立させている特定の元λ、μをとってきて、
Λ×Μの特定の元(λ,μ)を構成してやれば、それに対してx∈A_λ∧x∈B_μ
が成立しているのは明らかだと思ったのですが。。逆も同様の考え方で。
＞「ｆが単射という条件の下で『すべてのλでf_λ(a)=f_(c)⇒a=c』」
(ここもλが抜けてませんか？)
つまり、>>609で
＞すべてのλ∈Λに対してf_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)ならばすべてのλ∈Λに対してa_λ=c_λ.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
この破線部を取り除きたかったということですね？
-
>>658
えと、打ちミスの指摘は、後から読む人のためにもお互いしたほうがよいかと。
λ抜け、入れるの忘れました。ｽﾏｿ。
えっと。
「f((a_λ))=f((ｃ_λ))⇒(a_λ)=(ｃ_λ)」がいえているという条件の下でなら
「各λについて『ｆ_λ(a)=ｆ_λ(ｃ)⇒a=ｃ』」がいえる
を言ったつもりなのです。
(aとcに添え字をつけてないのはわざとですよ)
-
なんだか混乱してきました。
>>609で先生は
fは単射⇔「f((a_λ))=f((ｃ_λ))⇒(a_λ)=(ｃ_λ)」
⇔「∀λ；f_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)」⇒「∀λ；a_λ=c_λ」(∵f((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ})
と書いたのだと思いますが、(最初ここまでで既に示されたと漏れは思っていました)
実際示したいのは∀λ；「f_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)⇒a_λ=c_λ」
であり、ちょっと形が違うのでｃやνを持ち出して補足したのですよね？
(というのが>>658で言いたいことでした。わかりにくくてすみません)
-
>>660
>>660の二つ目の⇔はいきなり示すのはシンドそうだから「⇒」を
さきに示そうとしてるんですが、>>660に書いてあることは
大体そのとおりです。「大体」と歯切れが悪いのは、
要るから書いたのであって「ちょっと形が違うので」「補足し」たの
ではないからです。
-
あ、ひょっとして
「f((a_λ))=f((ｃ_λ))⇒(a_λ)=(ｃ_λ)」
⇔「∀λ；f_λ(a_λ)=f_λ(c_λ)」⇒「∀λ；a_λ=c_λ」(∵f((a_λ)_{λ∈Λ})=(f_λ(a_λ))_{λ∈Λ})
を示そうとして、>>609では⇒を先に示し、ｃやνを持ち出したのは
←（「⇒」のような矢印に変換できない・・・）を示す為ってことでしょうか？
-
>>662
ちがいます。
cやλを持ち出したのはあくまで⇒を示すためです。
逆向き矢印は、>>609の下から三行で示したつもりです。
-
うーんうーんどこの解釈を間違えているのだろう・・・
「補足」という言葉がまずかったのでしょうか。。
これは漏れも「不必要だけど分かりやすくするために追加すること」という意味ではなく、
「必要だけど、解答の一番中心の幹となる部分の詰めに使うこと」という意味で
言っています。・・・・ここじゃないかなぁ。。
-
飯、風呂なんでちよと待って。
補足っていわれれば
ついでに って意味だと
思ってしまいます。
-
答案外だと一層言い方が雑になってしまいます。申し訳ありませんでした。
たぶんそのころまでに僕はいなくなっていると思うのでお構いなくごゆっくりどうぞ。。
-
第1章 集合と写像 §6 同値関係
B)同値関係
集合Aにおける関係Rが次の(1)、(2)、(3)を満たすとき、RはAにおける同値関係であるという。
(1)Aの全ての元に対して aRa
(2)あの元a,bに対し aRb⇒bRａ
(3)あの元ａ,ｂ,ｃに対し ａRb，bRc⇒aRc
(1)、(2)、(3)をそれぞれ反射律、対称律、推移律といい、これら三つを合わせて同値率と言う｡
RがAにおける同値関係であるとき、aRbであるようなAの元a,bは、Rに関して同値であると言
われる。
(注意)
なお一般に、(1)を満たすような関係は反射的、(2)を満たすような関係は対称的、(3)を満たす
ような関係は推移的であると言われる。同値関係は、反射的、対称的かつ推移的であるような
関係に他ならない。
同値関係はまた、しばしば、≡あるいは〜などの記号で表される。
-
次に同値関係のいくつかの例を挙げよう。
例1
Aを任意の集合とし、RをAの元の間の相当関係=とすれば、これはAにおける一つの同値関係
である。実際、a=bという関係はいうまでもなく同値律を満足するからである。これはいわば
‘最も原始的な’同値関係である。
例2
整数の集合Zと一つの定まった正の整数nとを考える。Zの元a,bは、a-bがnで割り切れるとき、
nに関して(あるいは、nを法として)合同であると言われ、a≡b(mod n)または略してa≡b(n)
と記される。この関係≡(modｎ)はZにおける一つの同値関係である。
実際、まず任意のa∈Zに対し、a-a=0で、0はnで割り切れるから、a≡aである(modn)。
またa,b∈Zに対し、a-bがnで割り切れるならば、b-a=-(a-b)ももちろんnで割り切れる。
即ちa≡b(modn)ならばb≡a(modn)である。
最後にa,b,c∈Zに対し、a-b,b-cが共にnで割り切れれば、a-c=(a-b)+(b-c)もやはり
0で割り切れる。即ちa≡b(modn)、b≡c(modn)ならばa≡c(modn)である。
以上で、≡(modn)は反射律、対称律、推移律を満たすことが示された。
例3
fを集合Aから集合Bへの一つの写像とする。Aの元x,yに対し、それらのfによる像が一致すると
き(即ちf(x)=f(y)となるとき)、またそのときに限りxRyとして関係Rを定義すれば、これは明らか
に、Aにおける同値関係となる。これを写像fに付随する同値関係と言い、しばしばR(f)で表す。
-
例4
集合Aとその部分集合系ℳฺについて、次の(i)(ii)が成り立つとき、ℳฺはAの直和分割である、
Aはℳฺに属する集合の直和である(あるいは簡単に、Aはℳฺの直和である)、などという。
(i)∪ℳฺ=A
(ii)ℳฺの相異なる2元は互いに素である、即ちℳฺ∋C,C’；C≠C’⇒C∩C’=φ
ℳฺをAの直和分割とすれば、Aのどの元aに対しても、条件(i)によってa∈Cとなる
ℳฺの元Cが存在するが、条件(ii)によってそのようなCはただ一つしかない。
即ち、あの任意の元は一つしかもただ一つのℳฺの元に含まれる。そこで、Aの元a,b
に対し、aを含むℳฺの元とbを含むℳฺの元が一致するとき、またそのときに限り
aRbであるとして、aにおける関係Rを定義する。このようにして定義された
Rが同値関係であることは直ちに証明される。
これを、直和分割ℳฺに付随する同値関係と言う。
★本文中の「図11」は省略しました。
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はは、実は代数系入門の方も次は同値関係だったりして。
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みてらっしゃったとは・・・・かなりﾋﾞｸｰﾘです。。
結構向こうとあっちでリンクしているんですね。。
7月最終日ってことで書いてみますた。明日以降は９氏復帰なのでバトンタッチ・・・？
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>>671
31から帰ってきてちょとしなくちゃいけないことあって、今見ました。
えとですね。出来ますれば
一度テキストを読む→反芻する→細かい部分が頭まに入ってない
→もう一回読む→(繰り返す)→何もみないで原稿を書く。
ってのをやれば、いろんな種類の数学の力がつくと思うのですが。
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かなりミスがあるっぽいです・・・ｽﾏｿ
>>667
＞これら三つを合わせて同値率と言う｡
同値率→同値律に訂正。
>>669
＞即ち、あの任意の元は一つ、しかもただ一つのℳฺの元に含まれる。
あの任意の元→Aの任意の元に訂正。
他にもあれば指摘お願いします。
>>672
そうですね・・・また書く機会があれば（ないかもしれません）努力してみます。
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