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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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では。。
3. P⊂A,Q⊂B,f∈B^Aとする.
(1) fが単射ならばf^(-1)(f(P))⊂P.
(2) fが全射ならばQ⊂f(f^(-1)(Q)).
解答(1)x∈f^(-1)(f(P))ならばf(x)∈f(P)={b∈B|∃a∈P;f(a)=b}なので
∃a∈P;f(x)=f(a).fは単射なのでx=a.よってx∈P.
(2)x∈Qでfが全射ならば∃y∈f^(-1)({x})={a∈A|f(a)=x}なので
∃y∈A;f(y)=x.よってx=f(y)∈f(f^(-1)({x})).(4.1),(4.1)'より
x∈f(f^(-1)(Q)).
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9. f∈B^A,g∈C^Bとする.
(a) ∀P∈2^A,(gf)(P)=g(f(P)).
(b) ∀R∈2^C,(gf)^(-1)(R)=f^(-1)(g^(-1)(R)).
解答(a)(gf)(P)={z∈C|∃x∈P;(gf)(x)=z}={z∈C|∃x∈P;g(f(x))=z}
={z∈C|∃x∈P;∃y∈B;f(x)=y,g(f(x))=z},
g(f(P))={z∈C|∃y∈f(P);g(y)=z}={z∈C|∃y∈B;∃x∈P;f(x)=y,g(y)=z}.
(b)(gf)^(-1)(R)={x∈A|(gf)(x)∈R}={x∈A|g(f(x))∈R}
f^(-1)(g^(-1)(R))={x∈A|f(x)∈g^(-1)(R)}={x∈A|f(x)∈{y∈B|g(y)∈R}}.
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12. (f,f',g)∈B^A×B^A×C^Bとし,gを単射とする.そのときgf=gf'ならばf=f'.
解答gf=gf'なのですべてのAの元xに対してgf(x)=gf'(x).gは単射なのでf(x)=f'(x).
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15. Xを普遍集合,(A,B)∈(2^X)^2とするとき,すべてのx∈Xに対して
χ_A(x)≦χ_B(x)が成り立つことと,A⊂Bであることとは,同等であることを確かめよ.
また,すべてのx∈Xについて次の等式が成り立つことを証明せよ.
(a) χ_(A∩B)(x)=χ_A(x)χ_B(x).
(b) χ_(A∪B)(x)=χ_A(x)+χ_B(x)-χ_(A∩B)(x).
(c) χ_(A^c)(x)=1-χ_A(x).
(d) χ_(A-B)(x)=χ_A(x)(1-χ_B(x)).
(e) χ_(A△B)(x)=|χ_A(x)-χ_B(x)|.
解答 すべてのx∈Xでχ_A(x)≦χ_B(x)を仮定するとx∈Aでもχ_A(x)≦χ_B(x)が
なりたつのでx∈Aで1≦χ_B(x).V(χ_B)={0,1}なのでx∈Aで1=χ_B(x)即ち
x∈Aならx∈B.またA⊂Bを仮定するとx∈Aでχ_A(x)=1,χ_B(x)=1なのでχ_A(x)≦χ_B(x).
x∈B-Aでχ_A(x)=0≦1=χ_B(x).x∈B^cでχ_A(x)=0≦0=χ_B(x).
(a) x∈(A∩B)^c=A^c∪B^cのとき両辺とも0,A∩B⊂A,A∩B⊂Bよりx∈A∩Bのとき両辺とも1.
(b) A∩B⊂A,A∩B⊂B,A∩B⊂A∪Bよりx∈A∩Bのとき両辺とも1,
A△B∈A∪B,A△B⊂(A∩B)^cよりx∈A△Bのとき両辺とも1,
(A∪B)^c=A^c∩B^cよりx∈(A∪B)^cのとき両辺とも0.
(c) x∈A=(A^c)^cのとき両辺とも0,x∈A^cのとき両辺とも1.
(d) (a),(c)のコロラリー.
(e) x∈A-Bのとき両辺とも1,x∈B-Aのときも同様に両辺とも1,x∈A∩Bのとき両辺とも0,
x∈(A∪B)^cのとき両辺とも0.
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18. Bをn個の元からなる有限集合とする.Bのm個の元からなる部分集合の総数をnCmで表す.
もちろん(m>nならnCm=0.)0≦m≦nのとき
nCm=nPm/m!=n(n-1)…(n-m+1)/m!=n!/m!(n-m)!である.
またΣ[m=0,n]nCm=2^n.Σ[m=0,n](-1)^m*nCm=0.
解答 Bのm個の元からなる部分集合を1つ固定しCと名付ける.CからBへのすべての単射の集合を
Dとおく.Dの元の総数はnPmである.Dの元を1つ固定しfと名付ける.
E_f={g|gは値域がV(f)と一致するDの元}とするとEの元はCからV(f)への単射であるから
E_fの元の総数はmPm.D=∪[f∈D]E_fでf≠f'ならE_f∩E_f'=ΦだからnCm=nPm/mPm.
17.の結果を使えばnPm/m!=n(n-1)…(n-m+1)/m!.右辺の分母分子に(n-m)!をかければ
n(n-1)…(n-m+1)/m!=n!/m!(n-m)!.
上の結果はΣ[m=0,n]nCmがBのすべての部分集合の集合2^Bの元の総数を表している
ので2^nに等しい.
n≧1,1≦m≦nとする.n≧1だから∃b∈B.Bのm個の元からなる部分集合は,
B-{b}の(m-1)個の元からなる部分集合と{b}のユニオンか,B-{b}のm個の元からなる
部分集合のどちらかであり,そのどちらでもあることはない.したがって
nCm=(n-1)C(m-1)+(n-1)Cmである.
nが奇数のときはΣ[k=0,(n-1)/2]nC(2k)=Σ[k=0,(n-1)/2]nC(n-2k)=Σ[k=0,(n-1)/2]nC(2k+1).
nが偶数のときはΣ[k=0,n/2]nC(2k)=nC0+Σ[k=1,(n-2)/2]nC(2k)+nCn
=(n-1)C0+Σ[k=1,(n-2)/2]((n-1)C(2k-1)+(n-1)C(2k))+(n-1)C(n-1)
=Σ[k=0,n-1](n-1)Ck
=Σ[k=1,n/2]((n-1)C(2k-2)+(n-1)C(2k-1))
=Σ[k=1,n/2]nC(2k-1).
いずれにせよΣ[m=0,n](-1)^m*nCm=0.
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なんかすごひ・・・
俺はただ今思考停止モードです・・・
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>>467によると俺の担当は4.10.13.16.19.ですか。
小出しにしてやっていきますので、途中で遮っていただいてもOKです。
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4. f:A→Bが単射ならば、(4.3)で等号が成り立つことを示せ。
f(P_1∩P_2)⊃f(P_1)∩f(P_2)を示せばよい。
x∈f(P_1)∩f(P_2)⇒x∈f(P_1)∧x∈f(P_2)⇒<∃c∈P_1(f(c)=x)>∧<∃d∈P_2(f(d)=x)>
⇒<∃c∈P_1(f(c)=x)>∧<∃c∈P_2(f(c)=x)> (∵fは単射だから、c=d) ⇒∃c∈(P_1∩P_2)(f(c)=x)
⇒x∈f(P_1∩P_2)
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>>495
ok.
最後から2行目
⇒∃c∈P_1∩P_2(f(c)=x)
⇒最後の行
ですね。
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10. f:A→B、g:B→Cとするとき、
(a) gfが全射ならば、gは全射
(b) gfが単射ならば、fは単射
であることを示せ。
(a) gfが全射、かつgが全射でないとして矛盾を導く。
gfが全射だから、cをCの任意の元とすると、c=gf(a)となるようなAの元aが存在するが、
このとき、gが全射でないから、あるCの元dに対してd=g(e)となるようなBの元eが存在
しない場合がある。このようなdに対して、d=gf(m)となるAの元mは存在しない。
よって矛盾。
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>>496
すんませんずれました。
書き込み欄と同じサイズみたいですね。
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(b) gfが単射、かつfが単射でないとして矛盾を導く。
fが単射でないから、ある相異なるAの元x,x'が存在して、f(x)=f(x')となる。
このようなx,x'に対して、gf(x)=g(f(x))=g(f(x'))=gf(x')。
これはgfが単射であることに矛盾。
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>>497
「あるCの元dに対してd=g(e)となるようなBの元eが存在しない場合がある。｣
は
「∃d∈C(∀e∈B(g(e)≠d))｣
つまり
「e∈Bに依らないCの元でいかなるBの元eに対してもg(e)とは等しくならない
Cの元dが存在する｣
ですね。
一応
「このようなdに対して、d=gf(m)となるAの元mは存在しない｣理由を
述べておいたほうがいいのでは。
>>498
ぃぇぃぇ
>>499
納得です。
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>>500
＞「∃d∈C(∀e∈B(g(e)≠d))｣
そうでした。
＞「このようなdに対して、d=gf(m)となるAの元mは存在しない｣理由
直観的にしかわからないです・・・
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>>501
えーっと
f(m)∈Bだからじゃないですか？
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あ、
このようなmが存在すると仮定すれば、d=gf(m)=g(f(m))。
しかし、∃d∈C(∀e∈B(g(e)≠d))より、f(m)=kをみたすBの元kは存在しない。
これは矛盾。
こんなんでいいですか？
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>>503
それでいいと思います。
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13むずいです・・・
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>>505
保留にして16に進むもよし、ですね。
９に託すとか。
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>>506
もうちょっと粘ってみまつ。
残りは明日以降ということで。
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ちーす！！！
すんません、昨日は一日中寝てましたｗｗｗｗ（ぉぃ
とりあえず先生とLAR-men氏の解答を
今日中に全部確認させてもらいまつ。
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16. Aをm個、Bをn個の元からなる有限集合とする。そのとき、AからBへの
単射が(少なくとも1つ)存在するための必要十分条件はm≦n、AからBへの
全射が(少なくとも1つ)存在するための必要十分条件はm≧nであることを
示せ。また、m=nの場合、AからBへの全射、単射、全単射の概念はすべて
一致することをたしかめよ。
まず、AからBへの単射が存在⇔m≦nを示す。
(⇒の証明)AからBへの単射が存在して、かつm>nとして矛盾を導く。
そのような単射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。fは単射だから、y_kは全て異なる。よってBは少なくともm個の元を
持たなければならないが、これはm>nに反する。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≦nより、g(x_s)=y_sとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは単射。
⇒の左向きになったやつはないのでしょうか？
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次に、AからBへの全射が存在⇔m≧nを示す。
(⇒の証明)AからBへの全射が存在して、かつm<nとして矛盾を導く。
そのような全射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。y_kは最大でm種類(y_kが全て異なる場合)であるが、fは全射だから
y_kはn種類でなければならない。これは矛盾。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≧nより、g(x_t)=y_tとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは全射。
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m=nの場合、AからBへの写像fについて単射⇔全射を示せば十分。
Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_kと定める。
fが単射ならば、y_kは全て異なるから、y_kはm種類ある。よって、m=nより
fは全射。
fが全射ならば、y_kはn種類なければならないが、y_kは最大でm種類(y_kが全て
異なる場合)。よって、m=nより、y_kは全て異なる。そのとき、fは単射である。
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13. f:A→B、g:B→Cのとき、
(a) gfが全射でgが単射ならば、fは全射
(b) gfが単射でfが全射ならば、gは単射
であることを示せ。
(a)任意のb∈Bに対してg(b)=c∈C、gfは全射だから、そのようなb,cについて
g(b)=c=g(f(a))となるa∈Aが存在する。ここで、gは単射だからb=f(a)。
よって、fは全射。
(b)Bの任意の2つの元をy_1,y_2とすると、fは全射だから、y_1=f(x_1)、
y_2=f(x_2)となるx_1,x_2∈Aが存在する。ここで、g(y_1)=g(y_2)ならば、
gf(x_1)=gf(x_2)となり、gfは単射だから、x_1=x_2。よって、y_1=y_2。
ゆえに、gは単射である。
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>>488
おｋです。
>>489
完璧です。
実は(b)考えてみたんですができなかったんです。。。orz
>>490
おｋです。
>>491から先は明日みます。ほんとすいません。
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>>509
了解です。
>>510
了解です。
後半の全射の構成はt∈[m 1,n]∩Nについても適当に定義したものを
書いといた方がいいような気もしますが。
>>511
了解。
>>512
Хорошо.
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>>514
＞t∈[m 1,n]∩N
t∈[m 1,n]∩Nですよね。
＞適当に定義したものを書いといた方がいいような気もしますが。
気づいてはいたんですが、うまく書けなくて、まあこれでもいいか、と
思ってしまいました・・・
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[m 1,n]
[1 1=2]
[]の中の は消えるのか
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１＋１＝２
1 1=2
小文字の＋は出ないみたい
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>>517
？？
test
a b
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あるぇ？
>>492では出てるのに
n(n-1)…(n-m 1)/m!=n!/m!(n-m)!.
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>>491
おＫです。コロラリーってなんですか？？？
>>492
うぉ…すごい。。おｋです。
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>>495
かんぺきです。
>>497
おｋだと思います。
俺はこんな感じでやってみました。
［証］
gofが全射 ⇔ (∀c∈C)(∃a∈A)(g(f(a))＝c).
ここで f(a)＝b(∈B) とおけば、
(∀c∈C)(∃b∈B)(g(b)＝c) ⇔ gは全射。
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>>509
⇐ฺでいいですか？↓こちらを参照ください。
http://f7.aaacafe.ne.jp/~recchiki/sp_char/chr02.htm
>>509-511
おｋです。
>>512
Sehr Gut!
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>>520
qがpのコロラリーってのは
qがpから直ちに導ける事実であるということです。
「自明」と同じでセミナーであんまり使う言葉じゃないですね。反省。
>>521
これでもいいですね。
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>>523
了解です〜。
まぁこの場合は自明としてもいいんじゃないでしょうかｗｗｗｗ
あぁ。。。最近帰宅時間が遅くてなかなかこっちで時間取れませんが
なるべく頑張って来るよう努力します。
俺の担当分は明日から小出ししていくと思います。
じゃあおやすみなさーい。
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>>524
乙彼親摘
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19. Aをm個、Bをn個の元からなる有限集合とするとき、AからBへの全射の総数
をS(m,n)で表すこととする。
(a) 集合論的考察により、n^m=Σ[k=1,n]{C[n,k]*S(m,k)}を示せ。
(b) (a)(および前問の公式)を用い、nに関する帰納法によって
S(m,n)=Σ[k=0,n]{(-1)^(n-k)*C[n,k]*k^m}
を証明せよ。
(a) AからBへの写像の総数はn^mである。この総数を別の方法で数える。値域が
Bのk個の元からなる部分集合となるものの個数はC[n,k]*S(m,k)に等しい
から、m≧nのときは、これをk=1〜nまで加えればよい。
m<nのときは、k=1〜mまで加えればよいが、k=1〜nまで加えても、k>mのとき
問題16.より、S(m,k)=0となるから、問題ない。
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(b) n=1のとき、両辺とも1になる。
次に、j<nであるすべてのjについて問題の式を仮定すれば、(a)より、
S(m,n)=n^m-Σ[j=1,(n-1)]C[n,j]*S(m,j)
=n^m-Σ[j=1,(n-1)]<C[n,j]*Σ[k=0,j]{(-1)^(j-k)*C[j,k]*k^m}>
=n^m-Σ[k=0,(n-1)](<Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[n,j]C[j,k]}>*k^m)
(これは実際書き出してみればわかると思います)
ここで、C[n,j]*C[j,k]=<n!/{j!(n-j)!}>*<j!/{k!(j-k)!}>=
<n!/{k!(n-k)!}>*<(n-k)!/{(j-k)!(n-j)!}>=C[n,k]*C[(n-k),(j-k)]より
S(m,n)=n^m-Σ[k=0,(n-1)]<C[n,k]*k^m*Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[(n-k),(j-k)]}>
ここで、問題18.の最後の公式を用いれば、
Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[(n-k),(j-k)]} (-1)^(n-k)=0だから
Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[(n-k),(j-k)]}=(-1)^(n-k-1)
よって、S(m,n)=n^m-Σ[k=0,(n-1)]{C[n,k]*k^m*(-1)^(n-k-1)}
=n^m Σ[k=0,(n-1)]{C[n,k]*k^m*(-1)^(n-k)}
=Σ[k=0,n]{C[n,k]*k^m*(-1)^(n-k)} (∵n^m=C[n,n]*n^m*(-1)^(n-n))
ゆえに、j=nのときも成立。
うーん、読みづらいですな・・・
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うぉ、すごぃ。。
今から風呂＋雑事があるので、
それが終わったらチェックさせてもらいます。
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巻末の解答にちょっと手を加えただけですｽﾏｿ
(b)は大学入試レベルかと
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>>526
＞ 値域が
＞ Bのk個の元からなる部分集合となるものの個数はC[n,k]*S(m,k)に等しい
＞ から、
というのは何故でしょうか？？？
>>527
おｋです。すごい！！！
大学入試レベルっすか。。俺には無理かもｗｗｗｗ
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>>530
ぅぐぅ・・・うまく説明できない・・・
B ○○○●●
A ｘｘｘｘｘｘ
こんな図(m=6,n=5,k=3)を思い浮かべて○とｘを線で結ぶイメージで
どうでしょう？説明不足？だめ？
＆氏おすすめ(？)の赤門ラーメンはもう食べた？
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○からは必ず線が出てて、●からは出てない、ｘからは1本だけ出てる、と。
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赤門ラーメンって本郷にしかないんでしょうか。。
まだ食べたことないです。
>>531-532
理解できました。
k個の元からなるBの部分集合の選び方がnCkだってことですね。
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>>533
そうですYO
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5. (4.4) f(A−P)⊃f(A)−f(P) について，
(a) これを証明せよ．
［解］ >>380
(b) 等号の成り立たない例を挙げよ．
［解］ A＝{0, 1, 2}, P＝{0, 1}, f(0)＝f(2)＝0, f(1)＝1 とすれば
f(A−P)＝{0}, f(A)−f(P)＝φ. （終）
(c) fが単射ならば等号が成り立つことを示せ．
［解］ うぐぅ。。。またしても試練が…
もう少し考えてみまつ。
8. f∈B^A, g∈C^B をともに全単射とすれば，gf∈C^A も全単射である（定理5)．
そのとき，(gf)^(-1)＝{f^(-1)}{g^(-1)} であることを示せ．
［解］ ∀x∈C, (gf){(gf)^(-1)}(x)＝x
∴∀x∈C, gf{(gf)^(-1)}(x)＝x
∴∀x∈C, f{(gf)^(-1)}(x)＝{g^(-1)}(x)
∴∀x∈C, {(gf)^(-1)}(x)＝{f^(-1)}{g^(-1)}(x)
∴(gf)^(-1)＝{f^(-1)}{g^(-1)}. （終）
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11. f∈B^A を全射とし，g, g'∈C^B が gf＝g'f を満たすならば，
g＝g' であることを示せ．
[解] fが全射であることから ∀b∈B, ∃a∈A, b＝f(a).
また gf＝g'f より ∀a∈A, g(f(a))＝g'(f(a)).
以上より、∀b∈B, g(b)＝g'(b). よって g＝g'. （終）
少ないですが、今やらなあかん課題が山のようにあるんで、
今日はここまでってことでおながいしまつ。。。
5(c)は明日までに何とか…できならいいなぁ。
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>>535の5(c)の証明。
fが単射であるとき、
b∈f(A−P)（⊂f(A)）
⇔ ∃a∈A−P(f(a)＝b)
⇒ ¬(∃a∈P(f(a)＝b)) （∵fは単射）
⇔ ∀a∈P(f(a)≠b)
⇒ b∈f(A)−f(P)
よって f(A−P)⊂f(A)−f(P) であるから、(4.4)で等号が成立する。
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えっと…とりあえず採点おながいしまつ。
14,17,20はできたら今日の朝やります。
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>>526
了解。
>>527
了解。
>>535
了解。
>>536
同じなんだけど、
fが全射であることから ∀b∈B, ∃a∈A, b＝f(a).
したがって
gf=g'fなので任意のBの元bに対して
g(b)=g(f(a))=(gf)(a)=(g'f)(a)=g'(f(a))=g'(b).
となるAの元aが存在する.
よってg=g'.
っていう具合に書いた方がｂとaの文字の使い方に
曖昧さがなくなる気がする。…同じかなあ。
>>537
⇔ ∀a∈P(f(a)≠b)
はなくてもいいのでは。
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>>539
あ、、そうですね。了解です。
最近時間がなくて全然進めなくてすいません、、、
少しづつがんばりますので…
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さあ、ラーメンさん。14,17,20は９が暇になったときにやって、
先に進むことにって話なんですが、
５節どうします？私が全部担当するのもナンですし。。
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先生決めていただけますか？
それに従います。
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>>542
えーっと。ヤマ場はＤ)とＥ)で、Ａ)からＦ)まであります。
Ｄ)とＥ)とＦ)をやってみますか？
前半を私ということで。
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了解です。
難しそう・・・
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では、今私は外にいますので(これから温泉です)
今日明日中にupいたします。
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９がいないことですしゆっくりいきましょう
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ごめんなさい…
レポ新たに2つかかえてるし、授業の予習もｶﾅｰﾘやばいんで、
こっちはしばらくROMらせてくださいです。。。
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二日も遅れちゃいましたが。。。
§５ 添数づけられた族,一般の直積
Ａ) 元の無限列,有限列
高校で習った数列について再確認しましょう.
(i) -1,1,-1,1…,(-1)^(n-1),…
とか
(ii) 1,4,9,16,…,n^2,…
のように数を一列に並べたものを数列というのでした.
数列に登場する一つ一つの数のことを項といい,特に最初から数えて
n番目の項のことを第n項と呼ぶのでした.
したがってひとつの数列が与えられれば,各自然数nに対して第n項を
対応させるようなNからRへの写像が得られます.
逆に,a∈R^Nが与えられれば,
a(1),a(2),…,a(n),…
と並べることによりひとつの数列が得られます.
2つの数列が相等しいというのは各自然数nに対して第n項同士が等しい
ことだという暗黙の了解がありましょう.
これを写像の言葉で述べれば,a∈R^Nから得られる数列と
b∈R^Nから得られる数列はa=bのとき,またそのときに限り等しいということになります.
以上のことから数列とNからRへの写像は同一視しても差し支えないことになりましょう.
同様に平面π上の点列はNからπへの写像と同一視できましょう.
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一般にNからある集合Aへの写像aを,Aの元の(無限)列ということにしましょう.
んで,a∈R^Nを無限列とみなすときは,n∈Nのaによる像a(n)をa_nと書くことにしましょう.
aそのものは
a_1,a_2,…,a_n,…
とか
(a_n|n∈N)とか(a_n)_(n∈N)とか単に(a_n)と書くことにしましょう.
a_nはこの元の列の第n項と今までどおり呼ぶことにしましょう.
a(N)={a_n|n∈N}はAの部分集合ですが,これのことを{a_n}_{n∈N}とか単に{a_n}と書くことにしましょう.
高校の教科書とか微積分の本では{a_n}を数列そのものの記号に使っていますが,
本当はこれは好ましくないでしょう.なぜなら,前レスの(i)をaとおくと{a_n}={-1,1}
となってしまい,これが数列だとすると無限列ではなくなってしまいますからね.
{a_n}と(a_n)は厳密に区別する方が混乱をまねかなくてすむでしょう.
n∈Nとします.{1,2,…,n}からある集合Aへの写像のことはAの元の(長さnの)有限列といいます.
このときのaは
a_1,…,a_n
とか
(a_n|n∈{1,…,n})とか(a_n|n=1,…,n)とか(a_n)_(n=1,…,n)などと書きます.
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Ｂ) 元の族
ある集合Λからある集合Aへの写像aを,Aの元の族といいます.
詳しくはΛによって添数づけられたAの元の族といいます.
このときも元の列のときのノーテーションを流用して
λ∈Λに対するa(λ)のことをa_λと書き,
a自身のことを(a_λ|λ∈Λ)とか(a_λ)_(λ∈Λ)と書きます.
aの定義域Λのことをaの添数集合といいます.その元は添数ともいいます.
a(Λ)={a_λ|λ∈Λ}は{a_λ}_(λ∈Λ)とも書きます.
添数集合を明記する必要のないときは単に(a_λ),{a_λ}という書き方もアリです.
なお元の族を考えるときには終集合を重視しない立場ってのもあります.
添数集合Λの各元λに対してなにかしらa_λは定まるけれどもa_λがどんな集合
に属しているかは考えないという立場です.
実数の大小≦とか集合の包含関係⊂のような二項関係を順序関係と呼びます.
Rが順序だってのはaRaとaRbかつbRaならa=bとaRbかつbRcならaRcが成り立つことです.
詳しくは次章でやりますので,まあ≦とか⊂みたいなもんだと思っといてください.
ある集合の空でない部分集合がそこに定められた順序関係での最小元を必ず持つとき
その集合を整列集合といいますが,(c.f. 代数系入門スレでやった自然数の整列性)
添数集合が整列集合であるような元の族を元の列というのです.
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Ｃ) 集合族とその和集合,共通部分
添数集合Λによって添数づけられた元の族(A_λ|λ∈Λ)の各A_λが集合であるようなものを
集合族といいます.集合の集合のことは§２で集合系と名づけたのですが,そして集合系と
集合族は同じようなものですが,このテキストでは用語を区別する方針だそうです.
集合族を考えるときには終集合は重視しません.すべての集合の集合を終集合にすればよさそうなものですが
このようなものを考えるとラッセルのパラドックスのような剣呑な事態が起こってしまうので
素朴集合論においては終集合を重視しないっ！と逃げてしまうのです.
ラッセルのパラドックス
すべての集合の集合を(ユニバースの頭文字をとって)Uとおきましょう.
Uはその定義からU∈Uという奇妙な性質を持っています.このUのように
自分自身を元に含む集合を第一種の集合と仮に名づけましょう.第一種の
集合でない集合を第二種の集合と名づけます.Aを第二種の集合全体の集合
としましょう.そうするとAは第一種か第二種のどちらの集合になるでしょうか.
Aが第一種の集合であるとするとA∈Aです.そうするとAは第二種の集合全体の集合
の元なわけですから第二種の集合となってしまい矛盾をおこします.したがって
Aは第二種の集合のはずです.しかしAが第二種の集合であるとするとAは自分自身を
元に含まない集合になりますので,A∈A^cです.このことはAが第二種の集合全体の集合
の元でないことを示していますので,Aは第一種の集合となってしまいます.
（・３・）アルェー.
集合族(A_λ|λ∈Λ)に対し各A_λが皆ある集合Xの部分集合であるとき,(A_λ|λ∈Λ)を
Xの部分集合族といいます.
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(A_λ|λ∈Λ)を集合族とします.
∪_(λ∈Λ)A_λ={x|∃λ∈Λ(x∪A_λ)},
∩_(λ∈Λ)A_λ={x|∀λ∈Λ(x∈A_λ)}
をそれぞれこの族の和集合,共通部分といいます.
§２の定義を少々精密に述べたわけです.
∪_(λ∈Λ)A_λはすべてのλに対するA_λを含むような集合のうちで最小のものです.
実際∀λ∈Λ,A_λ⊂Bなら,x∈∪_(λ∈Λ)A_λとすると∃λ∈Λ;x∈A_λ⊂Bなので
∪_(λ∈Λ)A_λ⊂Bです.
∩_(λ∈Λ)A_λはすべてのλに対するA_λに含まれるような集合のうちで最大のものです.
実際,∀λ∈Λ,B⊂A_λなら,x∈Bとすると∀λ∈Λ,x∈A_λなので
B⊂∩_(λ∈Λ)A_λです.
以下§２で紹介されたような諸公式が成り立ちます.
(5.1) (∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B=∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B),
(5.1)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)∪b=∩_(λ∈Λ)(A_λ∪b).
また,(A_λ|λ∈Λ)が普遍集合Xの部分集合族であるときは,
(5.2) (∪_(λ∈Λ)A_λ)^c=∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c,
(5.2)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)^c=∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c.
f∈B^A,(P_λ|λ∈Λ),(Q_μ|μ∈M)をそれぞれA,Bの部分集合族とすれば,
(5.3) f(∪_(λ∈Λ)P_λ)=∪_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.4) f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⊂∩_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.3)' f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)=∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ),
(5.4)' f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)=∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ).
以上8命題は演習にしましょう.
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>>548-552
了解です。
(5.1)〜の式は前にも同じような式が出てきましたが、
頭に残ってないです・・・OTL
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先生の説明はわかりやすいなあ
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>>554
えへへ。ありがとうございます。お褒めにあずかりうれしゅうございます。
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D) 一般の直積、選出公理
(A_λ|λ∈Λ)を１つの与えられた集合族とするとき、Λで定義された写像aで、
次の条件
(*) Λのどの元に対してもa(λ)=a_λ∈A_λ
を満足するようなもの全体の集合、いいかえれば、条件(*)を満たす族(a_λ|λ∈A)
全体の集合を、集合族(A_λ|λ∈A)の直積(または単に積)といい、記号
Π[λ∈A]A_λ
で表す。直積Π[λ∈A]A_λに対して、各A_λをその直積因子という。
特に、Λ={1,2}とすれば、Π[λ∈{1,2}]A_λは、a_1∈A_1,a_2∈A_2であるような
族a=(a_λ|λ∈{1,2})=(a_1,a_2)全体の集合となるが、これは前に§3,A)で定義した
２つの集合の直積A_1*A_2にほかならない。
＞a=(a_λ|λ∈{1,2})=(a_1,a_2)
(a_1,a_2)を写像aのグラフとみなしているということでしょうか？
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一般に、Λが有限集合Λ={1,2,…,n}であるとき、Π[λ∈Λ]A_λは、
A_1*A_2*･･･*A_n または Π[i=1,n]A_i
とも書かれる。これは、a_1∈A_1,a_2∈A_2,･･･,a_n∈A_nであるような族
(a_1,a_2,･･･,a_n)全体の集合である。(なお、この場合、"族"のかわりにしばしば
"組"という語も用いられる。)また、Λ=Nのときには、Π[λ∈Λ]A_λはΠ[n=1,∞]A_n
ともしるされる。
また(A_λ|λ∈Λ)において、すべてのλ∈Λに対しA_λが同じ集合Aである場合には、
直積Π[λ∈Λ]A_λは、Λで定義され、その各元の像がAの元であるような写像全体の
集合となるが、これは、(写像の終集合を重視すれば)ΛからAへの写像全体の集合に
ほかならないと考えられる。すなわち、この場合Π[λ∈Λ]A_λはA^Λと同一視される。
>>556
Π[λ∈A]A_λ→Π[λ∈Λ]A_λの間違いです。
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>>556
A_1とA_2の直積集合はA_1×A_2と書きます.
数同士の積のように*で代用することは通常しません。
＞(a_1,a_2)を写像aのグラフとみなしているということでしょうか？
(a_1,a_2)は族でもあり列でもあり写像でもあり直積の元でもあります.
写像aは{1,2}で定義された写像ですからaのグラフを考えるとすれば
その横軸は{1,2}軸でなければならないはずです。
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>>556-557
了解です。
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次に、集合論において１つの原理として認められている"選出公理"について
説明しよう。
いま、集合族(A_λ|λ∈Λ)において、A_λ=Φであるようなλ∈Λが少なくとも1つ
存在するならば、Π[λ∈Λ]A_λ=Φであることは、直ちに示される。(実際、Λのある
元λ_0に対してA_(λ_0)=Φとすれば、Λで定義されたいかなる写像aについても
a(λ_0)=a_(λ_0)(*∈)A_(λ_0) (*∈)は∈の否定を表すものとします
したがって、条件(*)を満たすような写像は１つも存在しない。)このことの逆(の対偶)
にあたる命題:
(AC) ∀λ∈Λ(A_λ≠Φ)⇒Π[λ∈Λ]A_λ≠Φ
を、選出公理(axiom of choice)というものである。
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>>558
てｓｔ
AXB
納得しました。
あほなこと書きました。
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>>560
了解です。
当たり前のような、当たり前とはいえんような、
数学の基礎付けにきわめて重要そうな、
でも現実の数学ではめったに意識しない、ハマると数学の話
か否かすら不明になる、
しかし多くの数学者を悩ませかつ魅了し続けてきた、
バナッハ・タルスキの逆理の原因になる、
あの選択公理の話がついに始まるわけですね。
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われわれは以後、この命題を承認されたものとして話を進めるが、先に進む
前に、この命題について少しばかり注釈を付け加えておこう。
命題(AC)は、くわしくいえば、空でない集合からなる族(A_λ|λ∈Λ)が与えられた
とき、Λで定義された写像aで、その各元λにおいてとる値a(λ)=a_λがA_λの元である
ようなものが(少なくとも1つ)存在する、ということを意味する。ところで、その
ような写像aを1つ定める事は、"すべてのλ∈Λにたいし、A_λからそれぞれ1つの元a_λ
を｢いっせいに｣選び出して指定する"ということにほかならない。いま、どのA_λも空
でないとしているのであるから、Λが有限集合ならば、このような｢選出｣が可能である
ことはいうまでもない。(すなわち、Λが有限集合の場合には、命題(AC)は全く自明で
ある。)
-
しかし、Λが無限集合であるときには、"すべてのA_λからa_λを｢いっせいに｣選出
する"ということは、(何等かの規則によって、その選出の方法が具体的に指示されて
いるのでない限り)、いわば"理念上の操作"ともいうべきものであろう。このような
理念上の操作の可能性を、１つの原理として認めることにしたのが、選出公理に
他ならないのである。
注意 集合論におけるこの命題の重要性に注目し、これを公理として提出したのは
Zermelo(1904)である。←"ツェルメロ"でいいですか？
ん〜
Λが無限集合になっても同じように明らかとしか思えないです・・・
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集合族(A_λ|λ∈Λ)において、どのλ∈Λに対してもA_λ≠Φであるとし、この族
の直積をΠ[λ∈Λ]A_λ=Aとする。(AC)によって、この場合A≠Φである。λをΛの1つ
のきめられた元とするとき、Aの元aのλにおいてとる値a(λ)=a_λ(∈A_λ)を、aの
λ成分あるいはλ座標という。Aの各元aにそのλ成分a_λを対応させれば、AからA_λ
への1つの写像が得られる。この写像を、AからA_λへの射影(projection)といい、
しばしば記号pr_λ(あるいはproj_λ)で表す。
定義によって、a=(a_λ|λ∈Λ)ならば
pr_λ(a)=a_λ
である。
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>>563
はい。了解。
>>564
はい。ツェルメロ。ツェルメロ・フレンケルの公理(ZF)のツェルメロです。
Λで定義される関数aを選択関数といいますが、Λ=Nとすると
各nに対してa_n∈A_nとなる列があればいいことになりますが,
先ず、a_1がA_1の元であることがいえて,そのおかげでa_2がA_2の
元であることが言えて,それが理由でa_3がA_3の元であることが言えて…
って感じで列(a_n)が構成できたとします。
これはNが全順序(任意の二元に順序がつくこと)であることでできる構成法です。
Λが全順序集合でないときはこの構成法は使えないので選択関数を
構成しようとすると別の構成法を考えねばなりません。
選択公理(このテキストでは選出公理って言ってますが,選択公理って
言い方のほうが私にはなじみがあるのでこれ使わせてください)
は,Λの構造や構成法とは無関係に選択関数の存在を保証する
という主張をしているのです.
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>>565
はい。了解。
祝！選択公理百周年。
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>>566
わかったようなわからないような感じです・・・
後々わかるようになることを期待して、今は保留しときます
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E) 写像に関する一定理
選出公理の1つの応用として、次の定理を証明しよう。(ただし、この定理
の証明で選出公理が用いられるのは、(a)の後半部分だけである。)
定理７ fをAからBへの写像とする。
(a) fが全射であるとき、またそのときに限り、fs=I_Bとなるような写像
s:B→Aが存在する。
(b) fが単射であるとき、またそのときに限り、rf=I_Aとなるような写像
r:A→Bが存在する。
証明 (a) fs=I_Bとなるような写像s:B→Aが存在する場合、fが全射で
あることは容易に示される(§４,問題１０(a)参照)
逆に、f:A→Bが全射であるとしよう。その場合、Bのどの元bに対しても、
その原像f^(-1)(b)は空ではない。したがって、f^(-1)(b)=A_bとおけば、(A_b|b∈B)
は空でない集合からなる集合族となる。ゆえに(AC)により、Bで定義された写像sで、
すべてのb∈Bに対し、s(b)∈A_bとなるものが存在する。s(b)∈A_b⊂Aである
から、sはBからAへの写像と考えられるが、このsに対して、fs=I_Bが成り立つのである。
実際、bをBの任意の元とし、s(b)=aとすれば、a∈A_b=f^(-1)(b)であるから、
f(a)=b。したがって
(fs)(b)=f(s(b))=f(a)=b=I_B(b) ゆえにfs=I_Bとなる。
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>>569
はい、納得。
はじめてこの定理見たときはﾋﾞｸｰﾘしました。
これ選択公理がなかったらいえないのか！って。
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(b) rf=I_Aとなるようなr:B→Aが存在する場合、fが単射であることは
容易に示される。(§４,問題１０(b)参照)
逆に、f:A→Bが単射であるとしよう。そのとき、fの終集合をV(f)に変えた
写像をf'とすれば、f':A→V(f)は全単射である。(よって逆写像が存在)その逆写像
をr':V(f)→Aとする。そこで、Aの１つの元a_0を任意にきめておき、BからA
への写像rを
r(b)=r'(b) (b∈V(f)のとき)
=a_0 (b∈B-V(f)のとき)
によって定義すれば、rf=I_Aとなることが次のように示される。
aをAの任意の元とし、f(a)=f'(a)=bとすれば、b∈V(f)で、r'=f'^(-1)で
あるから、a=r'(b)=r(b)。したがって、
(rf)(a)=r(f(a))=r(b)=a=I_A（a) ゆえにrf=I_A(証明終)
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>>571
はい、了解。
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f:A→Bが全射であるとき、fs=I_Bとなるような写像s:B→Aをfの"右逆写像"
f:A→Bが単射であるとき、rf=I_Aとなるような写像r:B→Aをfの"左逆写像"
ということがある。これらは、一般に、fに対して一意的には定まらない。
系 A,Bを2つの集合とするとき、AからBへの単射が存在するための必要
十分条件は、BからAへの全射が存在することである。
証明 AからBへの単射φが存在すれば、定理の(b)によってαφ=I_Aとなる
ようなBからAへの写像αが存在し、このαは((a)により)全射である。
逆に、BからAへの全射αが存在すれば、定理の(a)によってαφ=I_AとなるAからB
への写像φが存在し、このφは((b)により)単射である。
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>>573
へい、了解。
代数系入門スレを先取りしたような内容ですね。
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F) 多変数の写像
写像f:A→Bの定義域Aが直積A_1×A_2×･･･×A_nの部分集合である場合には、
Aの元aは、当然(a_1,a_2,･･･,a_n)(ただしa_i∈A_i)の形をしている。したがって、
この場合、fによるaの像f(a)は、f((a_1,a_2,･･･,a_n))、あるいは簡単に
f(a_1,a_2,･･･,a_n)とも書かれる。この書き方では、(a_1,a_2,･･･,a_n)という元
の組に対してfのとる値が定まる、という事情が強調されているわけである。
そこで、この記法を用いる場合、fはまた"n変数の写像"であるともいわれる。
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特に、"M×MからMへの写像"という形の2変数の写像は、数学ではきわめて
しばしばあらわれる。
たとえば、x、yを実数とするとき、f(x、y)=x+y、g(x、y)=xyとおけば、f、g
はいずれもR×RからRへの写像である。
また、Xを１つの集合とするとき、2^Xの元A,Bに対してφ(A,B)=A∪B,α(A,B)=A∩B
とおけば、Φ,αは2^X×2^Xから2^Xへの写像となる。
これらの例と同様に、一般に、集合Mの2元からMの1つの元をつくり出す操作
―このような操作のことを、しばしば、Mにおける算法(あるいは演算)という―
は、M×MからMへの(2変数の)写像にほかならないと考えられる。
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これも代数系入門と関係ありそうですね
しかし、前のほうでやったことどんどん忘れていってるような・・・
年かな・・・
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>>575-576
了解です。
>>577
そうですね
A、Bを集合としてΓ(⊂A×B)が対応。
D(Γ)=Aでa=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像。
Bが数の集合のとき関数。
A=B×Bのとき(二項)演算。
A=Bのとき変換。
って名づけられてますね。
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Bが数の集合のとき関数。
→写像のうちBが数の集合であるものが関数。
A=Bのとき変換。
→A=Bのとき(A上の)変換。
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>>578
＞D(Γ)=Aでa=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像。
D(Γ)=Aはわかるのですが、"a=b(∈A)⇒Γ(a)=Γ(b)のとき写像"は写像でない
対応でも成り立つのではないですか？
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>>580
あ、そうですね。すみません。
∀a∈A,Γ(a)がシングルトン
に訂正。
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シングル㌧って何ですか？
先生が本スレに投下した問題ですけど、こけ氏も解いてるみたいですよ。
こけ氏のHPにありますた。
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>>582
あ、シングルトンってのは一元集合って訳すのかな、
元がひとつしかない集合です。
こけ氏のところ見てきます。
もしかしたら四元数バージョンで解いてるのかな
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ﾋﾞｸｯ∧ ∧ ∧ ∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
Σ(ﾟДﾟ；≡；ﾟдﾟ) ＜ うお！なんかすごいところに迷いこんじまったぞｺﾞﾙｧ！
./ つ つ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
〜（＿⌒ヽ ﾄﾞｷﾄﾞｷ
)ノ ｀Jззз
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とうとうやって来てしまった・・・
力不足は否めないし、ジョイント的役割となるかと思いますがどうか・・・・m(_ _)m
第五章を読んできました。
早速質問なのですが、
集合族(A_λ|λ∈Λ)とは「写像」のことですよね？あまり写像らしく扱われていなくて
かなり混乱していたのですが、これはΛの各元λのAによる像を並べ立てたもので、
それによりλをどうAの元に対応させるかという規則を表している、という認識でよろしい
でしょうか？
半角プラスは復活したのかな？++＋
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>>585
第五章じゃなくって第一章第五節ね。
＞それによりλをどうAの元に対応させるかという規則を表している
どういうことでしょう？Aは写像なんですが、Aの元とは？
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はい。。第五節でした（謝
後半も表現が間違ってました・・・
λをどう集合{A_λ|λ∈Λ}の一つの元に対応させるか、です。
43ページではNからある集合Aへの写像aを(a_n|n∈N)・・・①と書いています。
そしてこれをa_1,a_2,a_3,・・・・・a_n,・・・・・・②とも表しています。
この表記によりaは
1をa_1というAの元に、2をa_2というAの元に、・・・・
写像していることがわかるので、aがどのような写像かが定義されたことになり、
その意味で②、そして①はある一つの写像を表しているのではないか
と考えたのです。そして集合族でも同じ認識をとったのですが如何ってことです。
幼稚で申し訳ありませんm(_ _)m
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