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「集合・位相入門」輪読会
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では。。
3. P⊂A,Q⊂B,f∈B^Aとする.
(1) fが単射ならばf^(-1)(f(P))⊂P.
(2) fが全射ならばQ⊂f(f^(-1)(Q)).
解答(1)x∈f^(-1)(f(P))ならばf(x)∈f(P)={b∈B|∃a∈P;f(a)=b}なので
∃a∈P;f(x)=f(a).fは単射なのでx=a.よってx∈P.
(2)x∈Qでfが全射ならば∃y∈f^(-1)({x})={a∈A|f(a)=x}なので
∃y∈A;f(y)=x.よってx=f(y)∈f(f^(-1)({x})).(4.1),(4.1)'より
x∈f(f^(-1)(Q)).
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