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「集合・位相入門」輪読会
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(A_λ|λ∈Λ)を集合族とします.
∪_(λ∈Λ)A_λ={x|∃λ∈Λ(x∪A_λ)},
∩_(λ∈Λ)A_λ={x|∀λ∈Λ(x∈A_λ)}
をそれぞれこの族の和集合,共通部分といいます.
§２の定義を少々精密に述べたわけです.
∪_(λ∈Λ)A_λはすべてのλに対するA_λを含むような集合のうちで最小のものです.
実際∀λ∈Λ,A_λ⊂Bなら,x∈∪_(λ∈Λ)A_λとすると∃λ∈Λ;x∈A_λ⊂Bなので
∪_(λ∈Λ)A_λ⊂Bです.
∩_(λ∈Λ)A_λはすべてのλに対するA_λに含まれるような集合のうちで最大のものです.
実際,∀λ∈Λ,B⊂A_λなら,x∈Bとすると∀λ∈Λ,x∈A_λなので
B⊂∩_(λ∈Λ)A_λです.
以下§２で紹介されたような諸公式が成り立ちます.
(5.1) (∪_(λ∈Λ)A_λ)∩B=∪_(λ∈Λ)(A_λ∩B),
(5.1)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)∪b=∩_(λ∈Λ)(A_λ∪b).
また,(A_λ|λ∈Λ)が普遍集合Xの部分集合族であるときは,
(5.2) (∪_(λ∈Λ)A_λ)^c=∩_(λ∈Λ)(A_λ)^c,
(5.2)' (∩_(λ∈Λ)A_λ)^c=∪_(λ∈Λ)(A_λ)^c.
f∈B^A,(P_λ|λ∈Λ),(Q_μ|μ∈M)をそれぞれA,Bの部分集合族とすれば,
(5.3) f(∪_(λ∈Λ)P_λ)=∪_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.4) f(∩_(λ∈Λ)P_λ)⊂∩_(λ∈Λ)f(P_λ),
(5.3)' f^(-1)(∪_(μ∈M)Q_μ)=∪_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ),
(5.4)' f^(-1)(∩_(μ∈M)Q_μ)=∩_(μ∈M)f^(-1)(Q_μ).
以上8命題は演習にしましょう.
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