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「集合・位相入門」輪読会
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15. Xを普遍集合,(A,B)∈(2^X)^2とするとき,すべてのx∈Xに対して
χ_A(x)≦χ_B(x)が成り立つことと,A⊂Bであることとは,同等であることを確かめよ.
また,すべてのx∈Xについて次の等式が成り立つことを証明せよ.
(a) χ_(A∩B)(x)=χ_A(x)χ_B(x).
(b) χ_(A∪B)(x)=χ_A(x)+χ_B(x)-χ_(A∩B)(x).
(c) χ_(A^c)(x)=1-χ_A(x).
(d) χ_(A-B)(x)=χ_A(x)(1-χ_B(x)).
(e) χ_(A△B)(x)=|χ_A(x)-χ_B(x)|.
解答 すべてのx∈Xでχ_A(x)≦χ_B(x)を仮定するとx∈Aでもχ_A(x)≦χ_B(x)が
なりたつのでx∈Aで1≦χ_B(x).V(χ_B)={0,1}なのでx∈Aで1=χ_B(x)即ち
x∈Aならx∈B.またA⊂Bを仮定するとx∈Aでχ_A(x)=1,χ_B(x)=1なのでχ_A(x)≦χ_B(x).
x∈B-Aでχ_A(x)=0≦1=χ_B(x).x∈B^cでχ_A(x)=0≦0=χ_B(x).
(a) x∈(A∩B)^c=A^c∪B^cのとき両辺とも0,A∩B⊂A,A∩B⊂Bよりx∈A∩Bのとき両辺とも1.
(b) A∩B⊂A,A∩B⊂B,A∩B⊂A∪Bよりx∈A∩Bのとき両辺とも1,
A△B∈A∪B,A△B⊂(A∩B)^cよりx∈A△Bのとき両辺とも1,
(A∪B)^c=A^c∩B^cよりx∈(A∪B)^cのとき両辺とも0.
(c) x∈A=(A^c)^cのとき両辺とも0,x∈A^cのとき両辺とも1.
(d) (a),(c)のコロラリー.
(e) x∈A-Bのとき両辺とも1,x∈B-Aのときも同様に両辺とも1,x∈A∩Bのとき両辺とも0,
x∈(A∪B)^cのとき両辺とも0.
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