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「集合・位相入門」輪読会
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次に、AからBへの全射が存在⇔m≧nを示す。
(⇒の証明)AからBへの全射が存在して、かつm<nとして矛盾を導く。
そのような全射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。y_kは最大でm種類(y_kが全て異なる場合)であるが、fは全射だから
y_kはn種類でなければならない。これは矛盾。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≧nより、g(x_t)=y_tとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは全射。
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