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「集合・位相入門」輪読会
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19. Aをm個、Bをn個の元からなる有限集合とするとき、AからBへの全射の総数
をS(m,n)で表すこととする。
(a) 集合論的考察により、n^m=Σ[k=1,n]{C[n,k]*S(m,k)}を示せ。
(b) (a)(および前問の公式)を用い、nに関する帰納法によって
S(m,n)=Σ[k=0,n]{(-1)^(n-k)*C[n,k]*k^m}
を証明せよ。
(a) AからBへの写像の総数はn^mである。この総数を別の方法で数える。値域が
Bのk個の元からなる部分集合となるものの個数はC[n,k]*S(m,k)に等しい
から、m≧nのときは、これをk=1〜nまで加えればよい。
m<nのときは、k=1〜mまで加えればよいが、k=1〜nまで加えても、k>mのとき
問題16.より、S(m,k)=0となるから、問題ない。
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