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「集合・位相入門」輪読会
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13. f:A→B、g:B→Cのとき、
(a) gfが全射でgが単射ならば、fは全射
(b) gfが単射でfが全射ならば、gは単射
であることを示せ。
(a)任意のb∈Bに対してg(b)=c∈C、gfは全射だから、そのようなb,cについて
g(b)=c=g(f(a))となるa∈Aが存在する。ここで、gは単射だからb=f(a)。
よって、fは全射。
(b)Bの任意の2つの元をy_1,y_2とすると、fは全射だから、y_1=f(x_1)、
y_2=f(x_2)となるx_1,x_2∈Aが存在する。ここで、g(y_1)=g(y_2)ならば、
gf(x_1)=gf(x_2)となり、gfは単射だから、x_1=x_2。よって、y_1=y_2。
ゆえに、gは単射である。
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