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「集合・位相入門」輪読会
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9. f∈B^A,g∈C^Bとする.
(a) ∀P∈2^A,(gf)(P)=g(f(P)).
(b) ∀R∈2^C,(gf)^(-1)(R)=f^(-1)(g^(-1)(R)).
解答(a)(gf)(P)={z∈C|∃x∈P;(gf)(x)=z}={z∈C|∃x∈P;g(f(x))=z}
={z∈C|∃x∈P;∃y∈B;f(x)=y,g(f(x))=z},
g(f(P))={z∈C|∃y∈f(P);g(y)=z}={z∈C|∃y∈B;∃x∈P;f(x)=y,g(y)=z}.
(b)(gf)^(-1)(R)={x∈A|(gf)(x)∈R}={x∈A|g(f(x))∈R}
f^(-1)(g^(-1)(R))={x∈A|f(x)∈g^(-1)(R)}={x∈A|f(x)∈{y∈B|g(y)∈R}}.
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