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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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16. Aをm個、Bをn個の元からなる有限集合とする。そのとき、AからBへの
単射が(少なくとも1つ)存在するための必要十分条件はm≦n、AからBへの
全射が(少なくとも1つ)存在するための必要十分条件はm≧nであることを
示せ。また、m=nの場合、AからBへの全射、単射、全単射の概念はすべて
一致することをたしかめよ。
まず、AからBへの単射が存在⇔m≦nを示す。
(⇒の証明)AからBへの単射が存在して、かつm>nとして矛盾を導く。
そのような単射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。fは単射だから、y_kは全て異なる。よってBは少なくともm個の元を
持たなければならないが、これはm>nに反する。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≦nより、g(x_s)=y_sとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは単射。
⇒の左向きになったやつはないのでしょうか？
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次に、AからBへの全射が存在⇔m≧nを示す。
(⇒の証明)AからBへの全射が存在して、かつm<nとして矛盾を導く。
そのような全射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。y_kは最大でm種類(y_kが全て異なる場合)であるが、fは全射だから
y_kはn種類でなければならない。これは矛盾。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≧nより、g(x_t)=y_tとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは全射。
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m=nの場合、AからBへの写像fについて単射⇔全射を示せば十分。
Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_kと定める。
fが単射ならば、y_kは全て異なるから、y_kはm種類ある。よって、m=nより
fは全射。
fが全射ならば、y_kはn種類なければならないが、y_kは最大でm種類(y_kが全て
異なる場合)。よって、m=nより、y_kは全て異なる。そのとき、fは単射である。
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