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「集合・位相入門」輪読会
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(b) n=1のとき、両辺とも1になる。
次に、j<nであるすべてのjについて問題の式を仮定すれば、(a)より、
S(m,n)=n^m-Σ[j=1,(n-1)]C[n,j]*S(m,j)
=n^m-Σ[j=1,(n-1)]<C[n,j]*Σ[k=0,j]{(-1)^(j-k)*C[j,k]*k^m}>
=n^m-Σ[k=0,(n-1)](<Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[n,j]C[j,k]}>*k^m)
(これは実際書き出してみればわかると思います)
ここで、C[n,j]*C[j,k]=<n!/{j!(n-j)!}>*<j!/{k!(j-k)!}>=
<n!/{k!(n-k)!}>*<(n-k)!/{(j-k)!(n-j)!}>=C[n,k]*C[(n-k),(j-k)]より
S(m,n)=n^m-Σ[k=0,(n-1)]<C[n,k]*k^m*Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[(n-k),(j-k)]}>
ここで、問題18.の最後の公式を用いれば、
Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[(n-k),(j-k)]} (-1)^(n-k)=0だから
Σ[j=k,(n-1)]{(-1)^(j-k)*C[(n-k),(j-k)]}=(-1)^(n-k-1)
よって、S(m,n)=n^m-Σ[k=0,(n-1)]{C[n,k]*k^m*(-1)^(n-k-1)}
=n^m Σ[k=0,(n-1)]{C[n,k]*k^m*(-1)^(n-k)}
=Σ[k=0,n]{C[n,k]*k^m*(-1)^(n-k)} (∵n^m=C[n,n]*n^m*(-1)^(n-n))
ゆえに、j=nのときも成立。
うーん、読みづらいですな・・・
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