群・部分群のペア H < G に対する以下の条件を考える。
G の任意のユニタリ表現 π は、もし H への制限 π|_H が
weakly regularなら、 G 上でもweakly regular。
(weakly regular = regular repnにweakly contained)
H < G がco-amenable（G/H上にG-invariant meanが存在する）なら
上の条件が成り立つけど、他に例はないものか？
初等的従順群のクラスEAとは、以下の条件を満たす最小のクラスのことだ。
(1) EAは、全ての有限群と無限巡回群Zの和集合 B を含む。
(2) EAは、部分群、商群、拡大、増大和について閉じている。
ある性質(P)がEAにおいて真であるためには、以下で十分であることが知られている。
(ｲ) 性質(P)は B において真である。
(ﾛ) 性質(P)は増大和、B による拡大(*)について閉じている。
（*: 1-> N -> G -> H -> 1で N \in (P) & H \in B => G \in (P).）
一般に初等的従順群のC*環の性質について知りたいのだが、近年の分類理論の中に、
群環が上の操作で閉じているようなクラスはないものだろうか。
Zによる拡大（半直積）だって、不変な忠実跡もあるわけだし。
何かしら非自明なことを示せれば、これらの環がQDであることも分かるだろう。
von Neumann環 N を固定したとき、全行列環 M_n の N への埋め込みは全てユニタリ同値
だってことを論文に書く必要があるんだけど、何かいい文献を誰か知らんかね。
埋め込み e_{ij} と f_{ij} が与えられたときに、e_{11} と f_{11} がM-vN同値であること
を言えばいいんだけど、これは(generalized or extended) dimension function d
に対して n d(e_{11})=d(1)=n d(f_{11}) であることから従う。ところがこのことが
ちゃんと書いてある教科書がないんだよね。忠実状態が存在する（あるいは可分）の
時だけでもいいんだけどね。（可算性の仮定があれば、中心は普通のL^\inftyだし、
次元関数の出力値に基数を使う必要もなく簡単に記述できる。）教科書でなく論文でも
型に関係なく書いてあるのはShermanのしか見つからんかった。忠実状態が存在する
（あるいは可分）の時だけでもいいんだけどね。う〜ん。
II_1でないvN環のcentral sequenceについては疎いんだが、
C*環 A のnorm central sequence (a_n)_n は A^{**} のcentral sequence:
$f( [a_n, x]^* [a_n, x] ) \to 0$ for every x in A^{**} & f in S(A)
って事実は（non-trivialだと思うが）どこかで誰か使ってる？
局所コンパクト群 G が余コンパクト従順閉部分群 H を持っていたら、全C*群環 C*(G) は核型？
余コンパクトとは、等質空間 G/H がコンパクトってことね。
モヂュラ関数 Δ_G|_H と Δ_H が異なるときは、G/H に非零な G 不変測度は存在しないから、
上の条件を満たしていても G が従順になるとは限らない。
条件を強化して、G にコンパクト部分群 K が存在して G = KH としても応用上それほど違わない（？）。
例: G=SL(n,R), H=上三角(可解群), K=SO(n)。より一般に、概連結な G についても同様に G = KH。
概連結な G に対して、C*(G) が核型であることはHilbert 5th + 連結Lie群の表現論から従う。
C*_red(G) が完全であることなら、コンパクト G 空間 G/H が従順であることから分かるんだけどね。
AがC*環, τ 跡状態, p in A 直交射影のとき, 任意の x in pA(1-p), || x || < 1 に対して
τ(1+(p-xx^*)^{1/2}-(1-p-x^*x)^{1/2}) = 2τ(p)
になるんだけど, なんか簡単な理由でもあるのか？
このクイズの答えは掲示板のどこかに書いておいた。
無限局所有限体 K に対して，局所有限群 G=PSL(n,K) のC*群環 A を考えると，
A はAF環で単位指標の核 I は単純環になるのだが，具体的にK_0を計算できないだろうか？
I が単純であることは，I上稠密に定義された正定値跡が正則表現跡の定数倍に限る
ことから従う．（τがI上稠密に定義された実正定値跡ならexp(-τ(1-g))はG上の
正定値跡になるので，鐚損・富むの指標剛性を使うとτ(1-g)がg \neq 1に依らない
ことが分かる．）
Aronszajn--SmithやLomonosovに影響されて次のようなことを考えてみたが、
どうだろうか。余り考えていないので簡単に反例が見つかるかもしれないが。
Aがバナッハ環, V, W が左Aバナッハ加群, T: V -> W がコンパクトA線形写像.
予想： Vは有限次元であるか, 非自明なA不変閉部分空間を持つ.
群 G の(可算)集合 X 上の作用が全面的に従順であるとは、任意の G 軌道上に不変平均があるときを言う。
別の言い方をすれば、\ell_\infty(X) から \ell_\infty(X)^G への G 不変条件付期待値があるときをいう。
G_1 と G_2 が X 上に可換に作用していて、両方とも全面的に従順なら、G_1×G_2 作用も全面的に従順？
証明が見つからないから反例があるのだと思うが、はたしていかに。
有限生成群 G = <S> が擬対角的であることと、
∀ε>0 ∃H \ell_2G の有限次元部分空間
s.t. δ_1 \in H and max_{s∈S} ||[P_H,λ(s)]|| < ε
が同値だ。そのような H の中で dim H を最小化して d_S(ε) と置く。
ε→0 としたときの d_S(ε) の増大度は生成元 S の取り方に依らないので、
G の擬対角的エントロピーが定義できる。これはどういったもんなんじゃろ？
growth function |S^n| との関係は分からぬが、少なくともベキ零群のときは
d_S(ε) が 1/ε の多項式で抑えられるようだ。これは劣指数的増大度を持つ
群が擬対角的であることを示唆しているように見えるが、はてさて。
A \otimes M から M への全射準同型が存在するから、M に可分性の仮定がある場合は、
（M が可分前双対を持つときは）M の可分Hilbert空間への作用はnormalなものに限る
という事実を使えば直積分を経由しなくとも証明できそう。一般の因子環 M でも、
M から M への準同型はnormalなものに限るんじゃないか？ふむう。
そんな面倒なことをしなくとも、AがC*環で\phiが忠実状態のとき、
線形写像 T: A -> A が || T(x) ||_2 \le K || x || を満たすなら、
一様有界性原理から
|| \phi( aT( . ) ) || \le C || a ||_{L^1(\phi)}
が成り立ち、Tが有界なことが分かるよ。
有限型von Neumann環 M とその部分環 N があったら、
いつも正規条件付き期待値があるんだよね？だれか知らない？
M のσ有限な中心射影の増大ネット z_i で 1 に収束する
ものをとれば、E_i: Mz_i -> Nz_i は見つけられるから、
Nz_i をnon-unitalに M に埋め込むことで E_i を M 上の写像と
みて極限操作すると M から N への条件付き期待値は見つかる
けど、これじゃ正規にはならないね。
昼めし食いに行ったらあっという間に解けた。
M がσ有限vN環の直和なら、勝手な埋め込み N ⊂ M は、
N = π N_j ⊂ M_0=π M_j と Θ: N -> M_1 を使って
N ∋ x -> (x,Θ(x)) ∈ M_0 \oplus M_1 = M と書ける。
ここで、各 N_j ⊂ M_j はσ有限。
ふと気になったHecke環についての質問です。
(G,H)がHecke対、つまり H が G でcommensuratedなとき、
任意の G ユニタリ表現 (π,V) を V^H (H-invariant vectors) への
射影 p で切ると、V^H 上の Hecke環 H(G,H) の表現が出来る：
HgH -> p π(g) p
Hecke環 H(G,H) の任意の表現がこのような形をしているのは
どんなとき？
言い換えると、普遍包絡C*環 H_max(G,H) が p C*_max(G) p と
同型になるのはいつ？
