おしえてえらいひと

184：ブッコ：2013/12/05(木) 16:16:22: >183
成り立たなさそうです。これでどうでしょうか。

A=C[0,1]をH=L^2[0,1]に掛け算作用素として作用させます。
A"=L^{infty}[0,1]です。

x=1_[0,1/2]\in A"とすると、sp(x)={0,1}です。d_HをHausdorff距離として、
x_nをAの列とします。もしd_H(sp(x_n),sp(x))→0となったとすると、
ある番号Nがあって、n>Nに対して d_H(sp(x_n),{0,1})<1/4です。

特に任意のsp(x_n) (n>N)の元λは
min(λ,1-λ)=d(λ,{0,1})<=d_H(sp(x_n),{0,1})<1/4
を満たすので、sp(x_n)は[0,1/4)\cup (3/4,1]に含まれます。
sp(x_n)は連続関数x_nを掛け算作用素として考えた時のspec、よって連結です(中間値の定理)
よって、各nに対してsp(x_n)はI=[0,1/4)またはJ=(3/4,1]に含まれます。

よって{n>N; sp(x_n)はIに含まれる}または{n>N; sp(x_n)はJに含まれる}のいずれかは無限集合です。
前者が無限集合{n_1<n_2<・・・}であったとします。
するとx_{n_k}<=1/4ですから、その強極限はxになり得ません。後者の場合も同様です。

よってsp(x_n)→sp(x)となるx_nはAからはとれません。

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