「集合・位相入門」輪読会★2 - 1110808043

33：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/19(土) 12:44:25: [(c)⇒(d)]
(d)の仮定「Мを集合系とし、その（⊂に関する）任意の全順序部分集合Нに対して、
　Нのすべての元を部分集合として含むМの元が存在するとする。」
は(c)の「集合A」を「集合系М」に置き換えた文章そのままである。
よって順序集合（М,⊂)を(c)に適用すればただちに
(d)　Мを集合系とし、その（⊂に関する）任意の全順序部分集合Нに対して、
　Нのすべての元を部分集合として含むМの元が存在するとする。
　そのときМの中には極大な集合が存在する。
が得られる。//
34：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/19(土) 12:45:45: 疲れたんで後半はまた後日
ここまでチェックおながいしまつ
35：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/20(日) 03:23:13: >>28
集合Xの部分集合に関する性質Cが有限的な性質であることの定義は
{Y∈2^X|Yが性質Cを持つ}={Y∈2^X|∀Z∈2^Y(Zが有限集合⇒Zは性質Cを持つ}
と言い換えられるので,
{Y∈2^X|Yが性質Cを持つ}=A,
{Y∈2^X|∀Z∈2^Y(Zが有限集合⇒Zは性質Cを持つ}=Bとおくと
「あるY⊂Xについて(*)が成り立つが別のY'⊂Xについて(*)が成り立たないとき」
というのはA=B≠2^Xってことですから, Cは有限的な性質では？

えと、例を挙げよってのを演習スレに投下しときましょう。
36：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/20(日) 10:18:34: >>29
(a)のステートメントは
「Cを集合Xの部分集合に関する有限的な条件とし、
Cを満たすようなY⊂Xが少なくとも1つ存在するとする。
そのとき性質Cを満たす2^Xの元全体の集合をAとする。
Aに包含関係で順序を入れたとき、Aは極大元をもつ。」

ですね。念のため。
37：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/20(日) 10:23:05: >>30
了解です。
38：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/21(月) 01:42:31: [(c)⇒定理５の証明]
(c)　順序集合Aにおいて、その任意の空でない全順序部分集合が上に有界ならばAは極大元を持つ。
を仮定する。
いまAを帰納的な集合とすれば
定義よりAの任意の空でない全部分集合がAの中に上限を有するので
すなわち(c)の仮定を満たす。
これよりAは極大元を持つことになる。

以上より
定理５　帰納的な順序集合は少なくとも1つ極大元を持つ。
が示された。//

[(d)⇒(a)の証明]
(d)　Мを集合系とし、その（⊂に関する）任意の全順序部分集合Нに対して、
　Нのすべての元を部分集合として含むМの元が存在するとする。
　そのときМの中には極大な集合が存在する。
を仮定する。
上の[定理５⇒(a)の証明]で、∪НはНのすべての元を含むМの元となっているから、証明は実質これと同じ。

これよりただちに(a)が得られる。//
39：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/21(月) 01:42:47: ※注意　定理６の命題(c)は定理５にもっとも近い形をしているが
その仮定の部分は"Aが帰納的である"という仮定よりも弱い形である。
したがってこちらのほうが定理５よりも"いっそうよい"命題だと言える。
通常Zornの補題と呼ばれるのは命題(c)のほうである。
また通常帰納的な順序集合と呼ばれるのも(c)の仮定を満足するような順序集合である。
このテキストで扱っている帰納的順序集合は"強い意味の帰納的順序集合"と呼ぶこともある。

なおAが帰納的順序集合ならば
任意のx_0∈AについてAの部分集合 A'＝{x|x∈A, x_0≦x}も明らかに帰納的である。
よって定理５は次のように一般化することができる。
40：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/21(月) 01:44:13: ＜定理５’＞　Aを帰納的な順序集合、x_0をAの1つの元とすれば
Aの極大元xでしかもx≧x_0であるものが存在する。

＜定理６(a)’＞　Cを集合Xの部分集合に関する有限的な条件とし、Y_0⊂XはCを満たすとする。
そのときCを満たすXの極大な部分集合でしかもY_0を含むものが存在する。

※この2つの定理はイメージ的には
帰納的順序集合を枝分かれ図で書いたとき
枝分かれしてる各方向に1つずつ極大元があるという状態。
たとえばＸの字型の帰納的順序集合ならば2つの極大元があることになる。
41：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/21(月) 06:05:23: >>31
はい了解。
42：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/21(月) 06:14:03: あ
(b)のステートメントは
「(X, ≦)を順序集合とすると順序集合(2^X, ⊂)は
(X, ≦)の全順序部分集合であり(2^X, ⊂)の極大元
であるような集合Aをもつ」
ですね。順序構造が二つでてきてややこしいけど。
43：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/21(月) 06:23:42: >>32
(b)を仮定したのなら二つの順序が登場するから
「上に有界」も「極大」もどちらの順序での話なのかが
はっきりする書き方をしてほしかったです。
まあ、文脈からわかるけどね。

我々はテキストの行間を読まなくてはいけないけど、
このスレには、なるべく読者(ROMさん)に行間を読むことを
強いることのないような書き方を心がけませんか。
44：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/21(月) 06:49:19: >>33
＞(c)の「集合A」を「集合系М」に置き換えた文章そのままである

順序集合(M, ⊂)において、その任意の空でない全順序部分集合Hが、
Hのすべての元を部分集合として含むMの元Kが存在するなら
KはHの上界ってわけですね。
45：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/21(月) 07:21:48: >>38
前半ok。

後半を詳しく書けってのを演習スレにのっけましょう。

>>39
おｋ

>>40
定理５’から定理６(a)を導けってのを演習スレにのっけましょう。
46：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/21(月) 07:49:53: ＞裏画像氏
レスごとにステートメントを書き直してくれて
読むとき非常に助かりました。
いちいちスクロールしなくてすむ。
47：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 11:31:18: >>28
＞あるY⊂Xについて(*)が成り立つが別のY'⊂Xについて(*)が成り立たないとき
＞Cは有限的な性質と言うのか？

言わないと思います。以下理由
その一：定義におけるXの存在意義
性質Cが有限的であるとは、>>28では
＞（*）Xの部分集合Yが性質Cをもつ　⇔　Yのすべての有限部分集合が性質Cをもつ
を満足することと定義されています。もしYで（*）が成り立つがY'で成り立たないのなら、
YはXの部分集合という条件に意味はなくなると思います。
CというのはXの部分集合Y（→変数）についての命題ですが、（*）はX（→任意固定）に
についての命題だと思います。

その二：証明における有限性の利用
裏画像氏は>>30において
＞∴N'⊂N_0。N_0はCを満たすから性質Cの有限性によってN'もCを満たす。
＞任意の有限部分集合N'が性質Cを満たすので、∪НもCを満たす。∴∪Н∈М。
を述べていますが、この二つで（*）が∀Yの意味で利用されていると思います。
(*)が∃Yの意味なら、この二つは言えないのではないでしょうか。

その三：反例の存在
Cを「その集合の中に上限を持つ」という実数の集合Rの部分集合について
の性質とします。これは有限的性質でしょうか？（*）が∃Yの意味でだとすると、
たとえば閉区間[0，1]は上限1を持ち、その有限部分集合がRの中に上限を当然持つので、
（*）を満たすY=[0，1]が存在します。よって∃Yの意味でCは有限的性質です。
それなら定理6(a)>>29によれば、Cを満たすRの（包含関係の意味で）極大な部分集合が
存在することになります。が、それは存在しません(証明できないですけど。直感的に)
なので構成上(*)は∀Yの意味でなくてはなりません。

ついでに、もしCが「有界ならばその集合の中に上限を持つ」だったとします。これは
∀Yの意味で(*)は成立しています。定理6(a)によれば極大元が存在しなくてはなりません
が、R全体がCを満たす(仮定が偽なので)以上、それが極大元です。
48：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 11:40:51: >>30
＞М＝{Y⊂X | Yは性質Cを満たす} とする。
いままではМ＝{Y∈2＾X | Yは性質Cを満たす} のように、｜の前には元として含まれる
集合を書いていたのしか見たことがないのですが、このような表現はよく使われるもの
なのでしょうか？

あと、Μが空でないことを明記すべきではないですか？

>>31,32,33
納得です。
49：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 11:41:09: 「Xが性質Cを満たす」ということを記号で簡潔に表す表現はないのでしょうか？
50：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 18:10:28: >>47のその一は自分で読み返してみても意味不明なのでなかったことにしてください。
たいした意味ではないです・・・。

>>28の疑問の趣旨なんですが。
命題①：Xの部分集合YはCを満たす
命題②：Xの部分集合Yの、任意の有限部分集合はCを満たす
①の真偽と、②の真偽が、あるXの部分集合Yにおいては一致するが、
別のあるXの部分集合Y'においては一致しない場合は、Cを有限的性質と言うのか否か？

でよろしいですか？それとも別のことが言いたかったのでしょうか？
後者の場合でしたら>>47は無視してください。
51：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/21(月) 21:07:52: >>35
その場合A=Bにならない気がする。
>>47が正しいと思う

>>36　>>42
その通り

>>43
以後気をつけます

>>44
その通り
※МとНはそれぞれロシア語のエムとエヌなのでお間違いないよう。

>>48
言われてみれば　{Y⊂X|・・・}　はあまり見ないかも
Мが空でないこと言うべきだった。すまん

>>49
論理学とかだとPを変項xに関する命題としたとき
xについて命題Pが成り立つことをP(x)って書いたりするな
それを真似すればC(X)って書ける。

>>50
そういうことです
52：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 21:31:58: >>38‐40
納得です。
次項どうしましょ
53：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/22(火) 06:59:01: >>51
うん。ごめん。>>35はおかしいね。

集合Xの部分集合に関する性質Cが次の条件(*)を満たすとき、
Cを「有限的な性質（有限的な条件）」と言う。
　(*)　Xの部分集合Yが性質Cをもつ　⇔　Yのすべての有限部分集合が性質Cをもつ

だから(*)はCに関する命題ですね。

D(C)={Z∈2^X|ZはCを満たす}とおくとCが(*)を満たすとは
D(C)∈{D(C)∈2^(2^X)|{Y∈2^X|Y∈D(C)}={Y∈2^X|ZがYの有限部分集合⇒Z∈D(C)}}
ってことですね。
(*)を満たしたり満たさなかったりするのはCであって
2^Xの元が(*)を満たすとか満たさないっていうのは、そもそもヘンなのでは？
で、改めまして
「あるY⊂Xについて(*)が成り立つが別のY'⊂Xについて(*)が成り立たないとき」
というのを
「Y∈D(C)⇔(ZがYの有限部分集合⇒Z∈D(C))
ではあるが
￢(Y'∈D(C)⇔(ZがY'の有限部分集合⇒Z∈D(C)))
のとき」
と解釈するなら、このときはもちろん
{Y∈2^X|Y∈D(C)}≠{Y∈2^X|ZがYの有限部分集合⇒Z∈D(C)}
だから
￢(D(C)∈{D(C)∈2^(2^X)|{Y∈2^X|Y∈D(C)}={Y∈2^X|ZがYの有限部分集合⇒Z∈D(C)}})
即ちCは(*)をみたしませんが。
54：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/22(火) 13:27:13: >>52
他の参加者の反応待ちか？

>>53
＞だから(*)はCに関する命題ですね。
言われてみればその通りだ。漏れはそこで躓いてた
55：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/27(日) 23:46:22: susumenaino?
56：たま：2005/03/28(月) 16:04:14: ROMだったんですけど、新規参入してもいいですか？
とりあえず、第３章の§３まで終わったつもりでいます。
57：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/28(月) 16:10:36: >>56
歓迎！！
ではＤ）を担当願えますか？

えとAMの友達のかた？
58：たま：2005/03/28(月) 23:09:31: >>57
＞えとAMの友達のかた？
うはｗかなりネタが上がってますね。そうです。

じゃあ、D)やらしてもらいます。
輪講はじめてなんで、至らないとこもあるかもしれませんが、よろしくお願いします。
59：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/28(月) 23:30:47: ＞たま氏
うお、よろしくです～
たしかAM氏の掲示板の問題でフェルマーの最終定理使った方ですね？
60：たま （RT2HgTis）：2005/03/29(火) 00:11:06: トリップつけてみる

＞臺地氏
うわｗよく覚えてますね。ご察しの通りです。
こちらこそよろしくです。
61：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/29(火) 01:15:44: またすごい人来てるっぽいね　よろしく
62：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/29(火) 01:45:20: >>60
えーっと。ひょっとしたら、HNの由来は福笑師匠のお弟子さんからとったんですか？
あなたと同窓の。関係なかったらごめん。
63：a：2005/03/29(火) 15:58:31: >>62 【a】
<trackback url=a>a
64：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/29(火) 17:35:39: >>63
？
65：たま （RT2HgTis）：2005/03/29(火) 23:09:53: >>61
よろしくです。全然すごい人じゃない恐れがありますが。

>>62
残念ながら、福笑師匠のお弟子さんとは関係ないです。
由来はかなり適当なんで黙秘しますｗ

とりあえず、今日は整列定理の証明だけ書くことにします。
疲れたんで、残りはまた明日か明後日にでも。
66：たま （RT2HgTis）：2005/03/29(火) 23:11:43: D)整列定理
Zornの補題を用いて、Zermeloの整列定理が証明される。

定理７（Zermeloの整列定理）
Aを任意の集合とするとき、Aに適当な順序≦を定義して、
(A,≦)を整列集合とすることができる。

証明
Aの各部分集合の上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
そこで、Aの部分集合WとW上で定義された順序関係Oとの組、すなわち、
順序集合(W,O)を考え、このような組のうち整列集合になっているものの全体を
Mとする。
Aのただ一つの元aからなる集合{a}には一意的な順序Oが定義されるが、
この({a},O)はもちろん整列集合であるので、Mは空でない。
次に、Mの2元(W,O),(W',O')に対し、両者が一致する（すなわち、W=W'、O=O'である）、
または、(W,O)が(W',O')の切片となっているとき
(W,O)ρ(W',O')
として、関係ρを定義する。
このように定義されたρはMにおける順序となる。――(注１)
ここで、Mは順序ρについて帰納的な順序集合となることを示す。
Nを(ρに関する)Mの任意の全順序部分集合とすると、集合族Nは
A)の補題１(>>http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/940)の仮定を満たす。
実際、NはMの部分集合なのでNの元はすべて整列集合である。
また、Nは全順序なので(W,O),(W',O')∈N,とすると
(W,O)ρ(W',O')または(W',O')ρ(W,O)のいずれかが成り立つ。
ゆえに、(W,O),(W',O')をNの異なる２元とすると、ρの定義より
(W,O),(W',O')のいずれか一方が他方の切片となっていることが分かる。
67：たま （RT2HgTis）：2005/03/29(火) 23:12:13: 従って、A)の補題１より、Nの元(W,O)の台集合全部の和集合∪{W|(W,O)∈N}=W^*には、
次のような性質をもつ順序O^*が定義できる：
(1)(W,O)は整列集合である。(従って、(W^*,O^*)∈M)
(2)Nの各元(W,O)は(W^*,O^*)と一致するか、またはその切片となる。(従って、(W,O)ρ(W^*,O^*))
この(W^*,O^*)がMにおけるNの上限となることは明らかである。――(注２)
従って、(M,ρ)は帰納的となる。ゆえに、Zornの補題より、(M,ρ)には極大元(W_0,O_0)が存在する。
このとき、W_0=Aでなければならないことが次のように示される。
もし、W_0≠Aならば、A-W_0≠φなので、A-W_0から１つの元aをとって、W_0∪{a}=W_1とし、
aを最後の元としてW_0の順序O_0を拡張する。(すなわち、W_0上ではO_1はO_0そのままとして、
∀x∈W_1に対してxO_1aとする。)そうすれば、明らかに(W_1,O_1)∈Mで、
(W_0,O_0)は(W_1,O_1)の切片となる。すなわち、(W_1,O_1)は順序ρの意味で
(W_0,O_0)よりも大きいMの元となる。これは(W_0,O_0)の極大性に反する。
よって、W=Aでなければならない。そこでO_0を≦と書くことにすれば、
≦はAにおける順序で、(A,≦)は整列集合となる。　//
68：たま （RT2HgTis）：2005/03/29(火) 23:13:52: (注１)
反射率
(W,O)=(W,O)より、(W,O)ρ(W,O)
反対称律
(W,O)ρ(W',O')、(W',O')ρ(W,O)とすると、
(W,O)ρ(W',O')よりW⊂W'、(W',O')ρ(W,O)よりW'⊂Wなので、W=W'
よって、(W,O)が(W',O')の切片となることはない。
したがって、(W,O)ρ(W',O')より、(W,O)=(W',O')
推移律
(W,O)ρ(W',O')、(W',O')ρ(W",O")とすると
∃a∈W,(W,O)=(W',O')<a>　かつ　∃b∈W',(W',O')=(W",O")より
(W,O)=(W',O')<a>=((W",O"))<a>=(W",O")となり
(W,O)ρ(W",O")

(注２)
(W^*,O^*)がMにおけるNの上限となることを示す。
性質(1),(2)より(W^*,O^*)はMにおけるNの上界である。
(W^#,O^#)をNの一つの上界とすると∀(W,O)∈N,(W,O)ρ(W^#,O^#)
ゆえに、∀(W,O)∈N,W⊂W^#となるので∪W=W^*⊂W^#
あとは、W^*上で(W^*,O^*)と(W^#,O^#)の順序が一致することを示せばよい。
a,b∈W^*、aO^*bとすると、∃(W,O)∈N　a,b∈WかつaOb　であり、
しかも(W,O)ρ(W^#,O^#)であるので、aO^#bである。
よって、W^*上で(W^*,O^*)と(W^#,O^#)の順序が一致する。
以上より、(W^*,O^*)はMにおけるNの上限となる。
69：たま （RT2HgTis）：2005/03/29(火) 23:19:20: なんか、テキストの文章とあんまり変わらない感じになっちゃったけど、まぁいっか。
質問、苦情などあれば、ばしばしお願いします。
70：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/30(水) 05:11:56: >>66
Nは集合族ではなく集合族の像、あるいはMの部分集合系とでも言っておいたほうが
正確でありましょう。このテキストでは集合族と集合系は区別するそうですから。
(cf.　http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/125,
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/551)

>>67
＞(1)(W,O)は整列集合である。
(1)(W^*,O^*)は整列集合である。
ですかね。http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/940の(2), (3), (4)
からいえることですね。

＞(2)Nの各元(W,O)は(W^*,O^*)と一致するか、またはその切片となる。
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/940の(5)からですね。

>>68
＞推移律
＞(W,O)ρ(W',O')、(W',O')ρ(W",O")とすると
＞∃a∈W,(W,O)=(W',O')<a>　かつ　∃b∈W',(W',O')=(W",O")より
えと, 例えばW=W'<a>となるならaはWではなくW'の元では？
(cf.http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/908)

あとはおｋです。初担当、乙ですた。今後ともよろしく。
71：たま （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 10:43:05: ＞Nは集合族ではなく集合族の像、あるいはMの部分集合系とでも言っておいたほうが
＞正確でありましょう。このテキストでは集合族と集合系は区別するそうですから。
確かに。
添数づけられた元の族のうち、元が集合となっているようなものが集合族で、
ただ単に集合を元とするような集合が集合系でおｋですよね？
ここでは、後者にあたるから、NはMの部分集合系と呼ぶのがよさそうですね。
敢えて集合族という言葉を使うなら、集合族は添数に集合を対応させる写像と考えられるから、
集合系は集合族の像と呼んでもよい。って感じですかね？

＞(1)(W^*,O^*)は整列集合である。ですかね。
そうです。打ち間違えた模様。

＞えと, 例えばW=W'<a>となるならaはWではなくW'の元では？
あう、ほんとですね。
72：たま （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 10:44:44: 見直したら、推移律の部分で他にもおかしな部分がいくつかあったので書き直し。

推移率
(W,O)ρ(W',O')、(W',O')ρ(W",O")とする。
(W,O)=(W',O')または(W',O')=(W",O")が成り立つ場合は明らかなので省略。
(W,O)が(W',O')の切片になる、かつ、(W',O')が(W",O")の切片になる場合、
∃a∈W',(W,O)=(W',O')<a>、かつ、∃b∈W",(W',O')=(W",O")
(W,O)=(W',O')<a>=((W",O"))<a>=(W",O")<a>となり
(W,O)ρ(W",O")

2行目に抜けてた部分追加。
あと、下から2行目を
(W,O)=(W',O')<a>=((W",O"))<a>=(W",O")って書いてたけど、
(W,O)=(W',O')<a>=((W",O"))<a>=(W",O")<a>が正しいかったです。
73：たま （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 10:49:51: あと、>>70みたいなリファレンスを随所に入れたほうが分かりやすそうですね。
今後、できる限り（探すのがめんどくさくならない限り）入れるようにします。たぶん。
74：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/30(水) 10:50:39: >>72
はい。了解です。えと☆1ですね。(知らないかな)
75：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 11:08:19: ぉ(σ･∀･)σ
76：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 16:28:10: 選出公理⇒Zornの補題⇒整列定理
と証明してきたわけですが、
最後に、整列定理から選出公理を導くことにより、
この３つの命題が同値であることを確認します。

が、その前に証明の準備として選出公理の復習を少しします。
選出公理とは
　　　∀λ∈Λ(A_λ≠φ)　⇒　Π[λ∈Λ]A_λ≠φ
というものでした。
(cf.http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/560-566)
これは、空でない集合からなる族(A_λ|λ∈Λ)が与えられたとき、
各A_λから同時に１つの元a_λを選び出せることを主張するものです。
ここで、各A_λは∪[λ∈Λ]A_λの部分集合と考えられるから、
この公理は次の命題Aと同値であることが分かります。

命題A
”任意の集合Aの空でないすべての部分集合の全体Nをとするとき、
任意のM∈Nに対してΦ(M)∈MとなるようなNで定義された写像Φが存在する”

念のため同値であることを証明します。
証明しやすいように上の命題を命題Aと呼ぶことにしました。
77：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 16:28:54: [選出公理⇒命題A]
　集合族(M｜M∈N)を考えると、Nの定義より∀M∈N(M≠φ)が成り立つので
　選出公理より、Π[M∈N]M≠φ
　ゆえにΠ[M∈N]Mの一つの元をΦとすると
　任意のM∈Nに対してΦ(M)∈M　　//
　(cf.直積の定義http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/556)

[命題A⇒選出公理]
　∀λ∈Λ(A_λ≠φ)であるとする。
　∪[λ∈Λ]A_λを考えて、その空でない部分集合の全体Nとすると、
　命題Aより、
　任意のM∈Nに対してΦ(M)∈MとなるようなNで定義された写像Φが存在する。
　ここで、∀λ∈Λ(A_λ≠φ）、かつ、∀λ∈Λ(A_λ⊂∪[λ∈Λ]A_λ)なので
　∀λ∈Λ(A_λ∈N)である。
　従って、∀λ∈Λ(Φ(A_λ)∈A_λ)が成り立つ。
　λにA_λを対応させるような写像をf：Λ→Nとすれば
　∀λ∈Λ(Φf(λ)∈A_λ)　　(ΦfはΦとfの写像の合成)
　よって、Φf∈Π[λ∈Λ]A_λとなるので、
　Π[λ∈Λ]A_λ≠φ　　//
78：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 16:29:50: 選出公理⇔命題Aが分かったので、整列定理⇒選出公理を証明するためには
整列定理⇒命題Aを証明すれば十分です。で、証明に移ります。

[整列定理⇒選出公理の証明]
　Aを任意の集合とすると、整列定理より
　Aに適当な順序≦を定義して(A,≦)を整列集合とすることができる。
　そこで、Aの空でない各部分集合Mに対し
　　　　　Φ(M) = minM
　とおけば、minM∈Mなので、
　このΦは所要の性質を満足する。　　//

これは、各部分集合からどれを選び出すかを「いっせい」に指定することにより、
具体的にΦを構成できる、という風に考えればいいと思います。

以上より、選出公理、Zornの補題、整列定理はすべて互いに同値であることが
わかりました。
79：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 16:33:37: いったん休憩。定理８は今日の夜か明日にでもやります。
打つの結構疲れる('A`)
80：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/30(水) 17:16:04: たま氏乙(まだあるけど)
俺はまだ斜め読みしている段階です
81：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 22:13:04: 再開。

さて、最後に、整列定理および整列集合の比較定理を用いれば、
濃度の比較可能定理(テキストではP.69の末尾の注意参照)が容易に導かれることを示します。
(スレではhttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/766)

定理８(濃度の比較定理)
　任意の２つの濃度は比較可能である。
　すなわち、m,nを任意の濃度とすれば、m≦nまたはn≦mのいずれかが成り立つ

証明
　A,BをそれぞれcardA=m,cardB=nであるような集合とする。
　整列定理(>>66)によって、A,Bにそれぞれ適当な順序≦_A,≦_Bを導入して、
　(A,≦_A),(B,≦_B)を整列集合とすることができる。
　さらに、整列集合の比較定理(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/929)より
　次の２つ場合のいずれか片方が必ず成り立つ。
　　(1)(A,≦_A)が(B,≦_B)またはその切片と順序同型になる。
　　(2)(B,≦_B)が(A,≦_A)またはその切片と順序同型になる。
　(1)の場合、AがBと対等になるか、もしくは、Bのある部分集合
　(この場合、特に(B,≦_B)のある切片)と対等になるので、
　m≦nが成り立つ。
　(2)の場合、BがAと対等になるか、もしくは、Aのある部分集合
　(この場合、特に(A,≦_A)のある切片)と対等になるので、
　n≦mが成り立つ。　　//
82：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/30(水) 22:16:45: とりあえず、担当した分全部終了です。
質問、つっこみ、罵詈雑言などあればなんでもどぞー
83：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/03/30(水) 23:56:39: ＞たま
詳しい解説ご苦労様。漏れは特に疑問なし。
84：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/31(木) 08:43:05: >>76
了解

>>77
了解

>>78
＞これは、各部分集合からどれを選び出すかを「いっせい」に指定することにより、
＞具体的にΦを構成できる、という風に考えればいいと思います。
逆では？各部分集合に対してその最小元を指定する具体的な指定のしかたにより
各部分集合から、そこに属する元を「いっせいに」選び出せる、すなわち選択関数を
具体的に構成できるっていう話ですね。
85：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/31(木) 09:15:58: >>81
おｋ。
これ驚きますね。ベルンシュタインの定理が、整列定理によって
こんなにカンタンに示せるなんて。

なお、個人的には選出定理のことは、選択公理って言ったほうがなじみがある
と、前に言いましたが、整列定理ってのも、僕は整列可能定理という名で
教わりました。
86：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/31(木) 21:23:11: >>83
ぉ、疑問なしｷﾀ━━━━ヽ(ﾟ∀ﾟ )ﾉ━━━━!!!!

>>85
＞逆では？各部分集合に対してその最小元を指定する具体的な指定のしかたにより
＞各部分集合から、そこに属する元を「いっせいに」選び出せる、すなわち選択関数を
＞具体的に構成できるっていう話ですね。
あぅ、改めて自分の文章を見ると逆の説明に見えますね。
逆のつもりで書いたんじゃなかったんですが、うまく言葉にできなくてorz

濃度の比較定理が証明できただけでは、ベルンシュタインの定理が証明できたことにはならないんじゃないですか？
むしろ、ベルンシュタインの定理があるからこそ濃度の比較定理が言えるのでは？
87：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/31(木) 21:26:41: あぅ、アンカー微妙にミスった。ま、いっか。
88：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/31(木) 22:14:47: >>86
あ、失礼。比較定理とベルンシュタインをごっちゃにしてました。

＞むしろ、ベルンシュタインの定理があるからこそ濃度の比較定理が言えるのでは？

ベルンシュタインがいえたら比較定理が言えるっていう意味じゃないですよね。
えと、どういう意味でしょう。
89：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/03/31(木) 22:51:25: >>88
えーっと、定理8を示したときに、ちょっと疑問に思ったことがあって、
(A,≦_A)が整列集合になるような≦_Aの選び方ってのは一つと決まったわけではないですよね。
だから、ある≦_Aを選んだときに、(A,≦_A)が(B,≦_B)のある切片と順序同型になって、
別の≦_A'を選んだときに、(B,≦_B)が(A,≦_A')とある切片と順序同型になったらどうしようって思ったんです。
でも、ベルンシュタインの定理があるから、そんときはm=nになるのかって納得したわけです。
こんなこと考えてたから、濃度の比較定理にはベルンシュタインの定理がいるんだって思って、
>>86みたいのこと書いたんですけど、よく考えたら、”m≦nまたはn≦mのいずれかが成り立つ”ってこと
を示すだけだったら別にベルンシュタインの定理はいらないですね。

あと、これ書いてて思ったんですけど、定理8の証明って勘違いを引き起こしやすそうですね。
ていうのは、(A,≦_A)が(B,≦_B)と順序同型になった場合がm=nで、
(A,≦_A)が(B,≦_B)のある切片と順序同型になった場合はm＜nっていう風にとってしまいそう気がしました。
実際は、ある≦_Aを選んだときに、(A,≦_A)が(B,≦_B)のある切片と順序同型になって、
別の≦_A'を選んだときに、(B,≦_B)が(A,≦_A')とある切片順序同型になったりする場合も
あるから、(A,≦_A)が(B,≦_B)のある切片と順序同型になったからと言って、m＜nとは言えないんだけど。
90：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/04/07(木) 07:23:22: ageとく
91：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/10(日) 20:02:11: ＞たま氏
納得であります
次節だれかおながい。。
92：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/10(日) 21:08:57: >>91
あれ？次は臺地氏の番かとおもってますた。
93：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/04/11(月) 07:13:01: 上に同じく
94：たま(☆1) （RT2HgTis）：2005/04/11(月) 22:44:49: 上の上に同じく。
臺地氏は忙しいんでせうか？
95：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/11(月) 23:18:44: ・・・・いやちっとも忙しくなんかないですけど。
まあ次は楽だし、やりまつよ
96：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/11(月) 23:52:11: 第3章　順序集合，Zornの補題
§4　順序数
p116　A)順序型,順序数

【定義】―順序型
第2章で述べたように、各集合Aにはそれぞれその濃度cardAが付随さらされ、
A,Bの濃度が等しい⇔A,Bは対等　でした。
もっと形式的な言い方をすれば、集合全体の‘集まり’を対等関係という一つの同値関係で‘類別’したときの各‘同値類’が濃度でした。順序集合の間の関係である「順序同型関係」も、同値関係である(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/874の(1.8)～(1.10)参照)から、
同様の操作を考えることができます。すなわち、順序集合全体の‘集まり’を順序同型関係によって
‘同値類’に‘類別’することが可能です。その各‘同値類’を順序型(order type)と呼びます。

Aが与えられた一つの順序集合であるとき、Aの属する‘同値類’を‘Aの順序型’と言い、それを
ordAで表します。このようにして、各順序集合Aにはそれぞれその順序型ordAが付随させられます。
その定義により、順序集合A,Bに対して、ordA=ordB⇔A～B(順序同型)です。

【定義】―順序数
「整列集合の順序型」を特に順序数(ordinal number)と呼びます。
本節では以後順序数のみを取り扱い、それらを一般にμ,ν,ρ,…などの文字で表します。

【定義】―有限順序数、無限順序数(超限順序数)
n個の元からなる有限整列集合はどれも整列集合{1,2,3,・・・,n}と順序同型です。そこで
その順序数を、濃度と同じく「n」で表します。また、空集合も便宜上一つの整列集合と考えて、その順序数を0と定義します。自然数nや0で表される順序数を有限順序数と呼びます。
そうでない、つまり、無限整列集合の順序数を無限順序数または超限順序数と呼びます。
とくに、自然数の集合Nの順序数ordNを通常ωで表します。
97：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/11(月) 23:53:25: 補足いくつかありますがまた明日。
98：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 00:51:20: 【補足1】―順序集合全体は集合か？
‘集合全体の集まり’と同様に、‘順序集合全体の集まり’もこれまで考えてきた意味での
集合ではありません。しかし、前者の場合と同じ発想をして、後者についても‘類別’の
概念を認めることにするのです。

【補足2】―「整列集合の順序型」という語法
Aを整列集合とします。Aにはただ一つの順序型ordAが付随させられることは説明しました。
もし、あるordA'=ordAを満たすA'が整列集合でなかったら、「整列集合の順序型」という語法
は変です。しかし実際には、ordA'=ordAであるなら、A'も整列集合となる・・・＊ので矛盾はありません。

【＊の証明】
ordA'=ordAを仮定する。定義によりA'からAへの順序同型写像fが存在。つまり、fは全単射
であり、しかもm,n∈A'に対してm≦n⇔f(m)≦f(n)。
A'が整列集合、つまりA'の任意の部分集合B'に対してminB'が存在することを示せばよい。
ここで、fの定義域をB'⊂A'に縮小し、値域をf(B')⊂Aに縮小した写像をf_1とする。
f_1：B'→f(B')が順序同型写像であることを示す。定義からf_1は全射であるから、
あとはm,n∈B'に対してm≦n⇔f_1(m)≦f_1(n)となることを示せばよい
(f_1が単射になることはこの主張に含まれている)。

m,n∈B'⊂A'ならば、m≦n⇔f(m)≦f(n)であり、しかもf_1がfの縮小であることから
f(m)=f_1(m)∧f(n)=f_1(n)なので、結局m≦n⇔f_1(m)≦f_1(n)。よってf_1は順序同型写像。
すると、Aが整列集合であることからその部分集合f(B')には最小元cが存在する。
つまり∀b∈f(B')；c≦b⇔∀b'∈B'；c≦f_1(b')⇔∀b'∈B'；f_1^(-1)(c)≦b'(∵f_1は順序同型写像)。
∴B'には最小元f_1^(-1)(c)が存在する。∴A'は整列集合□

【補足3】―n個の元からなる有限整列集合はどれも整列集合{1,2,3,・・・,n}と順序同型であることの証明
また今度。。
99：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/13(水) 23:46:16: 【補足3】―n個の元からなる有限整列集合はどれも整列集合{1,2,3,・・・,n}と順序同型であることの証明
n個の元からなる有限整列集合を、A={a_1,a_2,a_3,・・・,a_n}(a_1<a_2<a_3<・・・<a_n)とおき、
B={1,2,3,・・・,n}とおく。写像f：B→Aをf(i)=a_iで定めると、fは順序同型写像である。
実際、どのAの元a_iに対しても、f(j)=a_iを満たすj∈Bが存在(j=i)するので、fは全射。
m,n∈Bに対して、m≦n⇔a_m≦a_n⇔f(m)≦f(n)が成立するのでfは順序単射。
よってfは順序同型写像。∴B～A(順序同型)⇔A～B。よって示された。□

これで一応終わったつもりです。
100：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/13(水) 23:54:36: >>99
a_1<a_2<a_3<・・・<a_nとできるのはなんでかってのを
すべての自然数nについて述べんなんのでは？
101：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/14(木) 00:18:22: >>100
整列集合なら全順序集合なので・・
102：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/14(木) 01:20:50: 全順序ってだけでは理由として弱いかも

n個の元からなる有限整列集合を、Aとおく。
Aは整列集合なので、Aには最小元が存在するが、それをa_1とおく。
A-{a_1}にも最小元が存在するが、それをa_2とおく。a_1<a_2である。
A-{a_1,a_2}にも最小元が存在するが、それをa_3とおく。a_1<a_2<a_3である。
A-{a_1,a_2,a_3}にも最小元が存在するが、それをa_4とおく。a_1<a_2<a_3<a_4である。
以下この操作を繰り返して、a_1,a_2,a_3,・・・,a_nを構成すると
A={a_1,a_2,a_3,・・・,a_n}であってa_1<a_2<a_3<・・・<a_nとなる。
103：たま （RT2HgTis）：2005/04/16(土) 11:51:58: >>98
【＊の証明】のところでf_1を考えた理由はなんなんだろう？
fのまま議論しても問題ないように思うんだけど。

他んとこはおｋです。
104：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 15:09:00: >>103
A'はAに順序同型です。A'の任意の部分集合Bを考えたとき、
B'はAのある部分集合に順序同型になっていることを示したかったんです。
で、あとは順序同型なら最小元は最小元に移ることをつかって∃minB'を示してフィニッシュ、
という方針でした。
105：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 15:11:55: >>96
訂正：五行目
×付随さらされ
○付随させられ

テキストは「付随せしめられ」でしたけどなんか古めかしいので変えてました。。

>>104にも訂正が。
×A'の任意の部分集合B
○A'の任意の部分集合B'
106：たま （RT2HgTis）：2005/04/16(土) 16:48:04: >>104
なるほろ。なっとくです。
107：裏画像収集家 （ggGgggQQ）：2005/04/24(日) 00:12:32: 次ｈあ漏れの番だと思うが飛ばして進めてください後から追いつく
108：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/24(日) 19:22:20: というわけでたま氏か先生よろしく。
109：たま （RT2HgTis）：2005/04/24(日) 23:09:15: それじゃあ、次は僕がやりますね。
110：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/24(日) 23:17:31: たまちゃん、よろしくおねがいします。
111：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 02:59:40: >>110
たまちゃんって・・・・・こっぱずかしー(〃▽〃 )

今週ちょっと忙しかったんで、遅くなっちゃいました。スマソ。
では、続き投下します。
112：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 03:01:53: B)順序数の大小
順序数に順序を入れることを考えます。
μ、νを二つの順序数とし、A、BをordA=μ、ordB=νでなるような整列集合とすれば、
整列集合の比較定理(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/929)より
次の３つの場合のいずれか１つしかも１つだけが成り立ちます。
　　(��)A、Bは順序同型である。
　　(��)AはBのある切片と順序同型である。
　　(��)BはAのある切片と順序同型である。
(��)の場合、定義よりμ=νです。
そこで、(��)の場合μ＜ν、(��)の場合ν＜νと定義します。（注１）
通常と同じようにμ＜ν又はμ=νであることをμ≦νと書くことにすれば、
≦は明らかに順序数の間の全順序となります。

注１.well-definedであることの証明
　ordA=ordA'=μ、ordB=ordB'=νとすると、A～A'、B～B'（順序同型）
　AはBのある切片と順序同型であるとすると、
　∃b∈B A～B
　f：B→B’；順序同型写像とすると
　A'～A～B～B'<f(b)>となるので、
　μ＜νの定義はA、Bのとり方によらない。
　BがAのある切片と順序同型である場合も同様。　　//
113：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 03:05:23: あっ、文字化けた。訂正してもっかいはります。

B)順序数の大小

順序数に順序を入れることを考えます。
μ、νを二つの順序数とし、A、BをordA=μ、ordB=νでなるような整列集合とすれば、
整列集合の比較定理(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/929)より
次の３つの場合のいずれか１つしかも１つだけが成り立ちます。
　　(1)A、Bは順序同型である。
　　(2)AはBのある切片と順序同型である。
　　(3)BはAのある切片と順序同型である。
(1)の場合、定義よりμ=νです。
そこで、(2)の場合μ＜ν、(3)の場合ν＜νと定義します。（注１）
通常と同じようにμ＜ν又はμ=νであることをμ≦νと書くことにすれば、
≦は明らかに順序数の間の全順序となります。

注１.well-definedであることの証明
　ordA=ordA'=μ、ordB=ordB'=νとすると、A～A'、B～B'（順序同型）
　AはBのある切片と順序同型であるとすると、
　∃b∈B A～B
　f：B→B’；順序同型写像とすると
　A'～A～B～B'<f(b)>となるので、
　μ＜νの定義はA、Bのとり方によらない。
　BがAのある切片と順序同型である場合も同様。　　//
114：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 03:06:50: 有限順序数の間では、いま定義した順序≦が自然数または０の間の通常の順序と一致します。
n個の元からなる有限整列集合はどれも整列集合{1,2,3,・・・,n}と順序同型であること(>>99)とかを鑑みれば、
これは明らかですね。
また、任意の無限整列集合はNと順序同型であるか、またはNと順序同型な切片を含むことが示されます。(後述）
従って、任意の超限順序数μに対してω≦μとなります。
これは、ωが'最小'の超限順序数であることを意味します。

補足.
任意の無限整列集合はNと順序同型であるか、またはNと順序同型な切片を含むことを示せ。

証明
　Aを任意の無限順序集合であるとする。
　整列集合の比較定理より
　　(1)A、Nは順序同型である。
　　(2)AはNのある切片と順序同型である。
　　(3)NはAのある切片と順序同型である。
　のうちいずれか１つしかも１つだけが成り立つ。
　もし、AがNのある切片と順序同型だったとすると、
　∃n∈N A～N<n>となるが、N<n>は有限集合であり、
　これは、Aが無限順序集合であることに矛盾。　　//
115：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 03:11:02: さっき定義した≦によって、任意の順序数からなる集合は全順序集合をなしますが、
さらに詳しく、整列集合をなすことが証明されます。
そのことを証明するために、１つ補題を示しておきます。

【補題】
　μを１つの順序数とし、ν＜μであるような順序数ν全体の集合をS_μとすれば
　S_μは整列集合であって、しかもordS_μ=μとなる。
　
【証明】
　AをordA=μであるような集合とする。
　aをAの任意の元とするとA<a>～A<a>なので、定義よりordA<a>＜ordA=μ
　故に、∀a∈A ordA<a>∈S_μ
　逆に、ν∈S_μとすると、∃a∈A ordA<a>=μ
　しかも、§２の補題３(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/916)より
　a≠a'ならばA<a>とA<a'>は順序同型でないので、このaはνに対して一意的に定まる。
　従って、Aの各元aに対してordA<a>=νを対応させる写像はAからS_νへの全単射である。
　しかも、この写像は順序同型写像になる。
　実際、a＜a'ならばA<a>～(A<a'>)<a>よりordA＜ordA'であり、
　ordA<a>＜ordA<a'>ならば∃a''∈A<a'> A<a>～(A<a'>)<a''>=A<a''>よりa=a''であり、
　a=a''∈A<a'>よりa＜a'となる。
　従って、A～S_μ
　故に、S_μは整列集合であり、S_μ=μ　　//
116：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 03:16:29: これで準備が出来たので、任意の順序数からなる集合が整列集合をなすことの証明に移ります。

【定理9】
　順序集から成る任意の集合は大小の順序に関して整列集合をなす。
　
【証明】
　Sを任意の順序数から成る集合とし、TをSの空でない任意の部分集合とする。
　Tが最小元を持つことを示せばよい。
　Tの１つの元をμとする。もし、μより小さいTの元が存在しないならばμ=minTである。
　μより小さいTの元が存在するならば、T'={ν|ν∈T,ν＜μ}はS_μの空でない部分集合で、
　さきの補題より、S_μは整列集合なので、その空でない部分集合であるT'には最小元minT'が存在する。
　このminT'は明らかにTの最小元でもある。
　Tが最小元を持つことが言えたので、Sは整列集合である。　　//

なお、>>115の補題のS_μに最大元が存在する場合は、それはμの'直前の順序数'となる。
一般に、順序数μに対して、その直前の順序数が存在するとき、μを孤立数という。
それに対して、直前の元を持たないような順序数を極限数という。
０は直前の元を持たないが孤立数のうちに含める。
例えば、ωは明らかに１つの極限数である。また、任意の極限数は明らかに、超限順序数である。
117：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 03:24:39: 担当終了。個人的に、>>115の補題がなんとなく( ﾟДﾟ)ｳﾏ-でした。
質問、つっこみ、罵詈雑言などあればなんでもどぞー。

はやく位相にいきたくてうずうずしてきた今日この頃。
118：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/05/01(日) 03:39:53: たまちゃん。乙でした。
(昔、「たまちゃん」を自称してらしたと思ったもので)
すーっと読める説明ですね。

おっしゃるように>>115の補題はウマーですね。

ええと。概念把握のための練習みたいな話を、演習スレに貼っときます。
(せっかく建てた演習スレだし)

位相まであと少しです。五節もすこし楽しみなんですけどね。
119：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 04:02:31: >>118
いえいえ、たまちゃんで全然問題ないですよｗ
5節も楽しそうですよね。線形の授業ではぐらかされたベクトル空間の基底の存在が示せるみたいでドキドキものです。
（といいつつ、3節のHamelの基底の問題やってたからだいたい方針が見えたりしてるんですけど）

うずうずしてきたのは、不動点定理とかちょこっとやって関数解析への興味がいっそう強くなったからで、
位相を勉強してはやく関数解析へのホットラインを繋げたいなーとおもったり。
120：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/05/01(日) 04:25:54: >>119
集合位相、代数系、をとりあえずやって、
その後は、測度、関数解析、関数論
(この3つはどの順でやるのがいいか迷うし、いっぺんに建てるかも)
の輪読をスレッド上でやるってのが、中期的目標です。

dsで微分幾何の輪読をやるようですね。。
121：たま （RT2HgTis）：2005/05/01(日) 05:34:54: >>120
まほろタンが忙しそうなんであっちはもうちょっとしてからゆっくり始めることになるかと思います。

夜更かししすぎて、空が白んできたんできたし。ねよっと( ･д⊂ヽ゛
122：臺地 （qpPuO9q2）：2005/05/02(月) 22:50:25: >>119-120
＞>>115の補題
>>117のことでは？

>>115
＞通常と同じようにμ＜ν又はμ=νであることをμ≦νと書くことにすれば
細かすぎるけど、このことはこの本では示してないんだよね。
この本の定義ではa<b⇔a≦b∧a≠bだったのにね。
松坂さんはこれは当たり前って思ったのかな。

>>117
＞逆に、ν∈S_μとすると、∃a∈A ordA<a>=μ
最後のμはνでは？

＞実際、a＜a'ならばA<a>～(A<a'>)<a>よりordA＜ordA'であり、
A'って何ですか？
123：臺地 （qpPuO9q2）：2005/05/02(月) 22:56:01: ああごめん俺のギコナビの表示が変なだけだった・・・訂正。

>>113
＞通常と同じようにμ＜ν又はμ=νであることをμ≦νと書くことにすれば
細かすぎるけど、このことはこの本では示してないんだよね。
この本の定義ではa<b⇔a≦b∧a≠bだったのにね。
松坂さんはこれは当たり前って思ったのかな。

>>115
＞逆に、ν∈S_μとすると、∃a∈A ordA<a>=μ
最後のμはνでは？
＞実際、a＜a'ならばA<a>～(A<a'>)<a>よりordA＜ordA'であり、
A'って何ですか？
124：たま （RT2HgTis）：2005/05/02(月) 23:44:25: >>123
＞この本の定義ではa<b⇔a≦b∧a≠bだったのにね。
細かいけど、確かにちょっと怪しいね。
実際、A⊂(A-B)∪Bなわけだし。
一応証明しときます。

【証明】
　反射率より、a=b⇒a≦bが成り立つので
　a≦b⇔a≦b∧(a≠b∨a=b)
　　　⇔(a≦b∨a≠b)∧(a≦b∨a=b)
　　　⇔(a≦b∨a≠b)∧a≦b
　　　⇔a≦b∨a≠b　　//

＞最後のμはνでは？
ほんとだ。書き間違えです。

＞A'って何ですか？
スマソ。ordA＜ordA'じゃなくて、ordA<a>＜ordA<a'>です。
125：臺地 （qpPuO9q2）：2005/05/02(月) 23:48:38: >>115
もひとつ。最終行は
ordS_μ=μですね？

あんま本質と関係ない細かいとこばっかつっこんですみません。
うざがられてもしかたないですが・・。
126：臺地 （qpPuO9q2）：2005/05/02(月) 23:51:42: >>124
ｽﾏｿリロードしてなかった。。納得です。
演習スレの9でもおんなじようなことしているので参照してみてください。
127：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/05/06(金) 00:16:53: えーと。
次はなんとなく裏画像氏の番なのかな。
でもまあ、だれでもいいことにしましょう。
原稿の用意はあるのに、連続投稿になってしまうから、
というような遠慮をしてても、進行が遅くなるだけだし。

次の人はだれの筈だから、今回は遠慮しとこう
というのはやめて、原稿できてる人は、どんどん投稿してよい
っていうシステムにしましょう。なん連続であっても。

投稿がかぶったら両方よんで、両方に突っ込めばいいことだし。

というわけで、つぎまた担当なさってもぜんぜんおｋ
ですよ。たまちゃん。
128：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/05/06(金) 00:37:09: あ、もちろん、裏画像氏でも、臺地くんでも、いいですよ。
129：臺地 （qpPuO9q2）：2005/05/11(水) 23:44:08: 先生かたま氏か裏画像氏よろしく・・・
130：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:33:04: Ｃ）順序数の演算
えー.2つの順序数に対して1つの順序数を対応させる"写像"を考えようというわけです.
写像に""をつけたのは,じゃあ始集合は？って言われたら困るからです.
「すべての順序数の集合(Ωとする)」というの考えてΩ×Ωを始集合にすればよさそう
なのですが,これは,もしあるとすれば>>116によって整列集合になりますので,
ordΩ(=χとおく)が存在します.
Ωの定義からχ∈Ωとなりますが,一方で>>115よりordΩ<χ>=χとなりますので
ordΩ<χ>=ordΩ.即ちΩとΩ<χ>が順序同型となり
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/916
に反します.
したがって「すべての順序数の集合」などというものを集合のうちに入れてしまうのは
ちょとマズーなわけです.
かつて元の族とか集合族を写像で定義した際,「終集合を重視しない立場」に立ちましたが,
こんどは「始集合も重視しない立場」に立って,写像を考えようというわけです.
その"写像"で,2つの順序数をともかく選んできたとき,「和」だの「積」だの「冪」だのと名づけ
るに相応しい,1つの順序数を決める対応を定義しようというわけです.
本来集合Ｓ上の(二項)演算とはS×SからSへの写像のことです.
131：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:33:38: ではまず和の定義から.
μとνを順序数とします.このときこの2つの順序数の和μ+νを次のように定義します.
まず,μとνは順序数ですからordA=μ,ordB=μなる整列集合A,Bが取れます.

ここでもしA∩B≠Φとなっているなら,たとえばA'=A×{☆},B'=B×{★}とし,
(x,☆)(≦_A')(y,☆)⇔x(≦_A)y,
(s,★)(≦_B')(t,★)⇔s(≦_B)t
でA'B'に順序を入れると,AとA',BとB'はそれぞれ順序同型だから,
ordA'=μ,ordB'=ν,A'∩B'=Φ
とすることができます.
もともとA∩B=Φであるならこの操作は省略できます.
132：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:33:57: さてこのとき,
C=A'∪B'に
(x,y)∈A'×A'ならx(≦_C)y⇔x(≦_A')y,
(x,y)∈A'×B'なら,x(＜_C)y,
(x,y)∈B'×B'ならx(≦_C)y⇔x(≦_B')y
と定義すると,
D⊂CならD=(D∩A')∪(D∩B'),(D∩A')∩(D∩B')=Φ.
(x,y)∈(D∩A')×(D∩B')ならx≦yだからDはD∩A'内に最小元をもちます.
だからCは整列集合となります.
整列集合A,Bからこの方法で整列集合Cを作ることを
「Aの上にBを並べてCを作る」
と呼ぶことにしましょう.
このCの順序数ordCをμ+νと定義します.